初高中銜接37

1、（十六） 一元二次不等式解法（1）二次函數(shù)yx2x6的對應值表與圖象如下：x32101234y60466406由對應值表及函數(shù)圖象(如圖2.31)可知當x2，或x3時，y0，即x2x60；當x2，或x3時，y0，即x2x60；當2x3時，y0，即x2x60這就是說，如果拋物線y= x2x6與x軸的交點是(2，0)與(3，0)，那么xO23yx2x6yy0y0y0圖2.31一元二次方程x2x60的解就是x12，x23；同樣，結合拋物線與x軸的相關位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次

2、方程的解和對應的一元二次不等式的解集 那么，怎樣解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象來解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 為了方便起見，我們先來研究二次項系數(shù)a0時的一元二次不等式的解xyOx1x2xyOx1= x2yxO圖2.32我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0(a0)，設b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分別為下列三種情況有兩個不相等的實數(shù)解、有兩個相等的實數(shù)解和沒有實數(shù)解，相應地，拋物線yax2bxc（a0）與x軸分別有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點(如圖2.32所示)，因此，我們可以

3、分下列三種情況討論對應的一元二次不等式ax2bxc0（a0）與ax2bxc0（a0）的解（1）（1）當0時，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個公共點(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2(x1x2)，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解為 x1xx2 （2）當0時，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有且僅有一個公共點，方程ax2bxc0有兩個相等的實數(shù)根x1x2，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為 x； 不等式ax2bxc0無解（3）如果0，拋物線yax2bxc（a0）與x軸沒有公共點，方程

4、ax2bxc0沒有實數(shù)根，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為一切實數(shù)；不等式ax2bxc0無解今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結論直接求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以1，將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結論去解不等式例 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21 不等式的解為 3x1 （2）整理，得 x2x60 0，方程x2x6=0的解為 x12，x23所以，原不等式的解為x2，或x&g

5、t;3（3）整理，得 (2x1)20.由于上式對任意實數(shù)x都成立，原不等式的解為一切實數(shù)（4）整理，得 (x3)20.由于當x3時，(x3)20成立；而對任意的實數(shù)x，(x3)20都不成立，原不等式的解為 x3（5）整理，得 x2x400，所以，原不等式的解為一切實數(shù)練習：解下列不等式：1.；2.3.4. 5. （十七） 一元二次不等式解法（2）例1 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，即 由于，所以不等式可變?yōu)?，即 整理，得 所以，不等式的解是 x1，或x說明：本例利用了方程與不等式之間的相互關系來解決問題例2 解關于的一元二次不等式為實數(shù)).分

6、析 對于一元二次不等式,按其一般解題步驟,首先應該將二次項系數(shù)變成正數(shù),本題已滿足這一要求,欲求一元二次不等式的解,要討論根的判別式的符號,而這里的是關于未知系數(shù)的代數(shù)式, 的符號取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此,再根據解題的需要,對的符號進行分類討論. 解: , 當 所以,原不等式的解集為 或； 當0，即a±2時，原不等式的解為 x； 當為一切實數(shù) . 綜上,當a2，或a2時，原不等式的解是 或；當為一切實數(shù) 例3 已知函數(shù)yx22ax1(a為常數(shù))在2x1上的最小值為n，試將n用a表示出來分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對稱軸的位置有關，于是需要對對稱軸的位置進行分類討論 解：y(xa)21a2， 拋物線yx22ax1的對稱軸方程是xa （1）若2a1，由圖2.3-3可知,當xa時，該函數(shù)取最小值 n1a2； (2)若a-2時, 由圖2.3-3可知,