柯西不等式原始版題型分類

1、柯西不等式（原始版）的習(xí)題分類柯西不等式已經(jīng)成為高考當(dāng)中的新貴，去年全國(guó)卷II的選修4-5不等式選講，已經(jīng)出現(xiàn)了柯西不等式命題，因此對(duì)柯西不等式幾種典型習(xí)題加以分類，有助于知識(shí)的掌握。1、 柯西不等式（原始版）1、 ，當(dāng)且僅當(dāng)向量，同向時(shí)候成立，如果時(shí)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。2、 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。3、 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。由以上柯西不等式（原始版）來(lái)看，柯西不等式是齊次，不等式左右兩邊的式子的次數(shù)相等，因此做題的時(shí)候可以抓住這個(gè)關(guān)鍵進(jìn)行應(yīng)用。2、 常見(jiàn)題型1、。例1、已知，且，求的最小值。解析：這道題的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是應(yīng)用柯西不等式更加方便?？紤]最后求解的形式

2、一定是，為某個(gè)常數(shù)，那么不等式左邊次，右邊為0次，并不相等，所以左邊要乘以，這樣左邊變成了，次數(shù)就成為了0，就可以應(yīng)用柯西不等式。，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4。顯然以上對(duì)例1的求解，柯西不等式比均值定理更為簡(jiǎn)單，有些優(yōu)勢(shì)，而且柯西不等式的應(yīng)用范圍更加廣泛。例2、若，求證。解析：可以直接應(yīng)用柯西不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。練習(xí)：1、已知，證明：。2、已知，證明：。提示：。3、已知，并且，求的最小值。提示：；。4：已知，證明。提示：設(shè)，則，且。例3、已知，求的取值范圍。解析：這道題可以用橢圓求切線的方法，也可以利用參數(shù)方程，但是利用柯西不等式會(huì)更簡(jiǎn)單。這類問(wèn)題是轉(zhuǎn)化形如（為某兩個(gè)常數(shù)）的柯西不等式進(jìn)行求解，關(guān)鍵是常數(shù)的確定。觀察柯西不等式，有，相應(yīng)的，易得。所以，即，所以。例4、已知，求的取值范圍。分析：需要轉(zhuǎn)化為形如的柯西不等式，有，解得。解：，即，所以。例5、已知，求的最小值。解析：，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為。例6、求函數(shù)的最大值。解析：設(shè)，則（一定要是其平方和為常數(shù)），則，由柯西不等式，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，