橢圓問題中最值得關(guān)注地基本題型

1、橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型題型分析·高考展望橢圓問題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多.分析歷年的高考試題，在填空題、解答題中都涉及到橢圓的題，所以我們對橢圓知識必須系統(tǒng)的掌握.對各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解.?？碱}型精析題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題例1如圖，焦點在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，求·的最大值和最小值.點評熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問題、最值問題，利用a、b、c之間的關(guān)系和橢圓的對稱性可構(gòu)造方程.變式訓(xùn)練1(2014·課標(biāo)

2、全國)已知點A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)OPQ的面積最大時，求l的方程.題型二直線與橢圓相交問題例2(2015·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心、以3為半徑的圓與以F2為圓心、以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.()求的值；()求

3、ABQ面積的最大值.點評解決直線與橢圓相交問題的一般思路：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決.求范圍或最值問題，也可考慮求“交點”，由“交點”在橢圓內(nèi)(外)，得出不等式，解不等式.變式訓(xùn)練2(2014·四川)已知橢圓C：1 (a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.證明OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點)；當(dāng)最小時，求點T的坐標(biāo).題型三利用“點差法，設(shè)而不求思想”解題例3已知橢圓y21，

4、求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程.點評當(dāng)涉及平行弦的中點軌跡，過定點的弦的中點軌跡，過定點且被定點平分的弦所在直線方程時，用“點差法”來求解.變式訓(xùn)練3(2015·揚州模擬)已知橢圓1(a>b>0)的一個頂點為B(0,4)，離心率e，直線l交橢圓于M，N兩點.(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.高考題型精練1.(2015·課標(biāo)全國改編)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y28x的焦點重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則AB_.2.(2014·大綱全國

5、改編)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點.若AF1B的周長為4，則C的方程為_.3.(2014·福建改編)設(shè)P，Q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點，則P，Q兩點間的最大距離是_.4.若橢圓和雙曲線具有相同的焦點F1，F(xiàn)2，離心率分別為e1，e2，P是兩曲線的一個公共點，且滿足PF1PF2，則的值為_.5.橢圓C：1 (a>b>0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且·的最大值的取值范圍是c2,2c2，其中c是橢圓的半焦距，則橢圓的離心率取值范圍是_.6.(2014

6、3;遼寧)已知橢圓C：1，點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則ANBN_.7.(2014·江西)過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于_.8.(2014·安徽)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左，右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點.若AF13F1B，AF2x軸，則橢圓E的方程為_.9.(2014·江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓1(a>b>0)的左，右焦點

7、，頂點B的坐標(biāo)為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結(jié)F1C.(1)若點C的坐標(biāo)為，且BF2，求橢圓的方程；(2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.10.(2015·重慶)如圖，橢圓1(ab0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P、Q兩點，且PQPF1.(1)若PF12，PF22，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若PF1PQ，求橢圓的離心率e.11.(2015·陜西)已知橢圓E：1(ab0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1

8、)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程.12.(2015·泰州模擬)已知橢圓G：1(a>b>0)的離心率為，右焦點為(2，0).斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3,2).(1)求橢圓G的方程；(2)求PAB的面積.答案精析第29練橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型?？碱}型典例剖析例1解設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0).由題意知a2，e，c1，b2a2c23.所求橢圓方程為1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，·xx02yxx01(x02)2.當(dāng)x02時，·

9、取得最小值0，當(dāng)x02時，·取得最大值4.變式訓(xùn)練1解(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時，x1,2.從而PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的距離d，所以O(shè)PQ的面積SOPQ·d·PQ.設(shè)t，則t>0，SOPQ.因為t4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k±時等號成立，且滿足>0，所以，當(dāng)OPQ的面積最大時l的方程為yx2或yx2

10、.例2解(1)由題意知2a4，則a2，又，a2c2b2，可得b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)由(1)知橢圓E的方程為1.()設(shè)P(x0，y0)，由題意知Q(x0，y0).因為y1，又1，即1，所以2，即2.()設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).將ykxm代入橢圓E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，則有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因為直線ykxm與y軸交點的坐標(biāo)為(0，m)，所以O(shè)AB的面積S|m|x1x2|2.設(shè)t，將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22，

11、故S2，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即m214k2時取得最大值2.由()知，ABQ面積為3S，所以ABQ面積的最大值為6.變式訓(xùn)練2(1)解由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)證明由(1)可得F的坐標(biāo)是(2,0)，設(shè)T點的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm.當(dāng)m0時，直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程是xmy2.當(dāng)m0時，直線PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)>0，所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ

12、的中點M的坐標(biāo)為(，).所以直線OM的斜率kOM.又直線OT的斜率kOT，所以點M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.解由可得TF，PQ .所以 .當(dāng)且僅當(dāng)m21，即m±1時，等號成立，此時取得最小值.所以當(dāng)最小時，T點的坐標(biāo)是(3,1)或(3，1).例3解設(shè)弦的兩端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為R(x，y)，則x2y2，x2y2，兩式相減并整理可得，將2代入式，得所求的軌跡方程為x4y0(<x<).變式訓(xùn)練3解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓的方程為1.則4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦長

13、MN|x2x1|.(2)如圖，橢圓右焦點F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線段MN的中點為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐標(biāo)為(3，2).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，且1，1，以上兩式相減得0，kMN·×，故直線MN的方程為y2(x3)，即6x5y280.常考題型精練1.6解析因為e，y28x的焦點為(2,0)，所以c2，a4，故橢圓方程為1，將x2代入橢圓方程，解得y±3，所以AB6.2.1解析由e得.又AF1B的周長為4，由橢圓定義，得4a4，得a，

14、代入得c1，b2a2c22，故C的方程為1.3.6解析如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以r為半徑的圓的方程為x2(y6)2r2(r>0)，與橢圓方程y21聯(lián)立得方程組，消掉x2得9y212yr2460.令1224×9(r246)0，解得r250，即r5.由題意易知P，Q兩點間的最大距離為r6.4.2解析由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長為2a，雙曲線的實軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上.由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2m，由橢圓的定義知|PF1|PF2|2a，又PF1PF2，F(xiàn)1PF290°，|PF1|2|PF2|24c2，式的平方加上式的平方得|PF1|2|P

15、F2|22a22m2，由得a2m22c2，即2，2.5.解析設(shè)M(x0，y0)，則(cx0，y0)，(cx0，y0)，·xc2yxc2b2xc2b2xc2b2.x0a，a，當(dāng)x0±a時，·有最大值b2，c2b22c2，c2a2c22c2，2c2a23c2，e.6.12解析橢圓1中，a3.如圖，設(shè)MN的中點為D，則DF1DF22a6.D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點，BN2DF2，AN2DF1，ANBN2(DF1DF2)12.7.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0，·.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2

16、c2)，a22c2，.8.x2y21解析設(shè)點B的坐標(biāo)為(x0，y0).x21，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0).AF2x軸，A(，b2).AF13F1B，3，(2，b2)3(x0，y0).x0，y0.點B的坐標(biāo)為.將B代入x21，得b2.橢圓E的方程為x2y21.9.解設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0).(1)因為B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因為點C在橢圓上，所以1，解得b21.故所求橢圓的方程為y21.(2)因為B(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，所以直線AB的方程為1.解方程組得所以點A的坐標(biāo)為.又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，可得點C的坐標(biāo)為.因為直線

17、F1C的斜率為，直線AB的斜率為，且F1CAB，所以·1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e.10.解(1)由橢圓的定義，得2aPF1PF2(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2cF1F22，即c，從而b1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)方法一如圖，設(shè)點P(x0，y0)在橢圓上，且PF1PF2，則1，xyc2，求得x0± ，y0±.由PF1PQPF2得x00，從而PF2.2(a2b2)2a(a)2.由橢圓的定義，PF1PF22a，QF1QF22a，從而由PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由PF1PQ

18、，PF1PQ，知QF1PF1，因此，(2)PF14a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e .方法二如圖，由橢圓的定義，得PF1PF22a，QF1QF22a.從而由PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由PF1PQ，PF1PQ，知QF1PF1，因此，4a2PF1PF1，得PF12(2)a，從而PF22aPF12a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知PFPFF1F(2c)2，因此e.11.解(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率.(2)方法一由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點，且AB.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，