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1、2.4.1正態(tài)分布關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述:曲線關(guān)于直線x=對稱,這個曲線在x軸上方;曲線關(guān)于直線x=對稱,這個曲線只有當(dāng)x(-3,3)時才在x軸上方;曲線關(guān)于y軸對稱,因?yàn)榍€對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù);曲線在x=時處于最高點(diǎn),由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低;曲線的對稱軸由確定,曲線的形狀由確定;越大,曲線越“矮胖”,越小,曲線越“瘦高”;上述說法正確的是 一、 知識梳理1正態(tài)分布的重要性 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布,其重要性我們可以從以下兩方面來理解:一方面,正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。一般說來,若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多,而每個因素所起的作用都不太大,則這
2、個指標(biāo)服從正態(tài)分布。 2正態(tài)曲線及其性質(zhì) 正態(tài)分布函數(shù):,x(-,+)其中實(shí)數(shù)為參數(shù),我們稱的圖像為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線。 3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0,1)是一種特殊的正態(tài)分布曲線,以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a,b)內(nèi)取值概率。 4一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化 由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關(guān)于y軸對稱,對于任一正態(tài)總體,其取值小于x的概率。只要會用它求正態(tài)總體在某個特定區(qū)間的概率即可。一般地,如果對于任何實(shí)數(shù),隨機(jī)變量X滿足則稱X的分布為正態(tài)分布,記作,如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則記為??梢园l(fā)現(xiàn),正態(tài)曲線有以下特點(diǎn):(1) 曲線位于x軸上方,與x軸不相交;(2) 曲
3、線是單峰的,它關(guān)于直線對稱;(3) 曲線在處達(dá)到峰值;(4) 曲線與x軸之間的面積為1;(5) 當(dāng)一定時,曲線隨著德變化而沿x軸平移;(6) 當(dāng)一定時,曲線的形狀由確定,越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散。若,則對于任何實(shí)數(shù)概率對于固定的而言,給面積隨著的減少。這說明越小,X落在區(qū)間的概率越小,即X集中在周圍概率越大.特別有可以看到,正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)。而在此區(qū)間以外取值的概率只有,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量X只取之間的值,簡稱之為原則三、 典型例題例1. 在某次數(shù)學(xué)考
4、試中,考生的成績服從一個正態(tài)分布,即。(1) 試求考試成績位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少?(2) 若這次考試共有2000名考生,試估計(jì)考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人?變式訓(xùn)練.已知一次考試共有60名同學(xué)參加,考生的成績據(jù)此估計(jì),大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)?( ) 四、 反饋測評1給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式,請找出其均值和標(biāo)準(zhǔn)差 ()()()2.若隨機(jī)變量,則在區(qū)間上的取值的概率等于在下列哪個區(qū)間上取值的概率( ) 3若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則在區(qū)間上取值的概率等于( ) 4.若一個正態(tài)總體落在區(qū)間里的概率是0.5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x= 時,達(dá)
5、到最高點(diǎn)。一、 選擇題1.下列函數(shù)中,可以作為正態(tài)分布密度函數(shù)的是( ) 2函數(shù),的奇偶性為( )A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.無法判斷3若隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布,則關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述正確的是( )A.越大,曲線越“矮胖”,越小,曲線越“瘦高”.B. 越大,曲線越“瘦高”, 越小,曲線越“矮胖”C. 的大小,和曲線的“瘦高”,“矮胖”沒有關(guān)系D.曲線的“瘦高”,“矮胖”受到的影響二、填空題4.隨機(jī)變量,其密度函數(shù)f(x)的最大值是 5.工人制造機(jī)器零件,零件的尺寸服從分布,則不屬于這個尺寸范圍的零件約占總數(shù)的 9設(shè),則落在內(nèi)的概率是()10正態(tài)分布在下面幾個區(qū)間內(nèi)的取值概率依次為() 14在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果服從正態(tài)分布若在內(nèi)取值的概率為
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