2020-2021學年廣東省中山市高二上學期期末數(shù)學試題(解析版)

1、第1頁共 18 頁2020-2021 學年廣東省中山市高二上學期期末數(shù)學試題、單選題1 .已知 0 X 1 ,0 y 1，記Mxy, Nx y 1,則M與N的大小關(guān)系是（）A .M NB.M NC.M -ND .M與N的大小關(guān)系不確定【答案】B【分析】利用作差法比較即可【詳解】解：因為 M xy, N xy 1,所以 N M x y1 xy x(1 y) (1 y：)(1 y)(x1),因為 0 x1 , 0y 1，所以 x1 0,1y0 ,所以(1 y)(x 1)0，所以N M0,即MN故選：B2 .在 ABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是，a,b,c ,右 a2 2,A45 , B

2、60，則b=A .3B.、2C. 1D . 2.3【答案】D【詳解】試題分析： 由正弦定理得asin Bh2 .2 sin602、3.故選D .usin Asin 45【解析】正弦定理.3 .在等差數(shù)列an中，若a4a5as15, 則 a2a8()A . 6B. 10C. 7D . 5【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a2a82 a5，代入可得 兔5,而要求的值為2a5，代入可得.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a2a82a5所以a4日厶日點15，即 3a515 ,a55 ,故q日82$2 510,故選：B.4.音樂與數(shù)學有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的三分損益法”：

3、以 宮”為基3本音，宮”經(jīng)過一次 損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到 徵”；徵”經(jīng)過一次 益”，頻率變2第2頁共 18 頁3為原來的3，得到 商”；依次損益交替變化，獲得了4音階據(jù)此可推得（）嘰即可得答案;【詳解】設(shè)宮”的頻率為3a，由題意經(jīng)過一次 損”，可得 徵”的頻率是-a ；2徵”經(jīng)過一次益”，可得9商”的頻率是-a ,8商”經(jīng)過一次損”，可得27羽的頻率是a ；16最后 羽”經(jīng)過一次 益”，可得 角”的頻率是乞 a ,649 81 由于a,：a,a 成等比數(shù)列，所以 宮、商、角的頻率成等比數(shù)列.864故選：A.【點睛】本題考查等差、等比數(shù)列在數(shù)學文化中的運用，考查邏輯推理能力、運算求解 能力

4、5.已知雙曲線的一條漸近線方程為y 2x,且經(jīng)過點2,2.5，則該雙曲線的標準方程為2y21B.x21422y1D.y2x144【答案】B【分析】對選項逐一分析排除，由此得出正確選項1【詳解】對于 A 選項，雙曲線的漸近線為 y x，不符合題意對于 B 選項，雙曲線 的漸近線為y2x，且過點 2,2.5，符合題意對于 C 選項，雙曲線的漸近線為y 2x，但不過點 2,2 5，不符合題意對于 D 選項，雙曲線的漸近線為 y x , 不符合題意綜上所述，本小題選 B.【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線標準方程的求法，屬于基礎(chǔ)題宮、徵、商、羽、角”五個A 宮、商、角”的頻率成等比數(shù)

5、列C 商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列【答案】A【分析】根據(jù)等差等比通項公式，分別計算B 宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列D 徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列宮、徵、商、羽、角”五個音階，再對照選2xA 4C x2第3頁共 18 頁6 測量河對岸某一高層建筑物AB 的高度時，可以選擇與建筑物的最低點B在同一水4【答案】B第 3 頁共 18 頁平面內(nèi)的兩個觀測點C和D，如圖，測得BCD 15,BDC 30,CD 30m，并 在C處測得建筑物頂端A的仰角為60，則建筑物 AB 的高度為A. 30 .6mB. 15 6mC. 5.6mD. 15 .2m【答案】B【詳解】分析：先根據(jù)三角形內(nèi)角和為180，求得CB

6、D，再根據(jù)正弦定理求得 BC ,進而在Rt ABC中，根據(jù) AB BC tan ACB 求得 AB.詳解：在BCD中，BCD 15,BDC 30, CBD 135 ,所以 BC 沁竺 15 2 ,sin 135故選：B.點睛：本題考查了解三角形的實際應(yīng)用，考查學生的計算能力面 AAC1C 所成角的正弦值等于（）B.4由正弦定理得BCsin BDCCDsin CBD在Rt ABC中，AB BC tan ACB15 /2315.6 .7.如圖，正三棱柱 ABC ABG 中，AB1 , AA, 2 ,D是 BB!的中點，貝 U AD 與平第5頁共 18 頁【分析】以C為原點，在平面ABC中，過C作

7、CB 的垂線為x軸，CB 為y軸，CC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AD 與平面 AACiC 所成角的正弦值.【詳解】 解：以C為原點，在平面ABC中，過C作 CB 的垂線為x軸，CB 為y軸，CCi為z軸，建立空間直角坐標系，TAB 1，AA12，則A（3，2，0），C（0，0，0），Ci（0，0，2），D（o，1，1），CA2，2，0），CCi（0， 0，2），AD（-2，2，1），設(shè)平面 AAC1C 的法向量n（x，y，z），_ . -31則nCA2x3y 0，取 x 1，得n （1,3 ,0）,n CC12z 0設(shè) AD 與平面AAC1C 所成角為，.|AD-n |晶庸則

8、sin|AD|n|旳4AD 與平面 AAC1C 所成角的正弦值為6.4本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.b ie 1,be 0, aeiae 4，則 a bi iae的C.5 一D. 5.322，由 b ie 1 ,be 0，可得 b e忑，設(shè)【點睛】等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,8 .已知平面向量 a,b,e 滿足： 最小值為 （）A .4B. 4 旋【答A第6頁共 18 頁e b e “ ,第7頁共 18 頁2 2a (b e) 2 a a (b e)，從而可求出其最小值【詳解】解：因為 a e ia e 4,16 ,所以al

9、因為 be 1,be 0，所以 b eJ2,設(shè) S a b)a e，則 S a b a e I b e近,22一一|一2r 一S2a2 2a (be)2 aa (be),2當 aa (be)0 時，S2(舍去)，當 a2a (be)0 時，S2佗 4a(b?)佗 4 同|be 佗 邁(4 近)2， 所以 a bi I ae 的最小值為 4返，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量數(shù)量積的運算律的應(yīng)用，考查向量的性質(zhì)的應(yīng)用， 解題的關(guān)鍵是由已知條件得a 2，b e V2，令 S a b .a e，貝U2 一一一 2r_S 2a 2 2a (b e) 2 a a (b e)，然后化簡可求得結(jié)果，

10、考查計算能力，屬于 較難題、多選題A. a b 10, 5, 2C.ab 10D. a 6【答案】BC【分析】利用向量坐標運算法則直接求解.【詳解】解：向量a (4, 2, 4),b (6, 3,2),a b (10,5,2)，故A正確；a b ( 2, 1 ,6)，故B錯誤；a b 24 6 8 22，故C錯誤；、22a-2所以 2a2 2, 1216，所以a9.已知向量a 4, 2, 4 ,b6, 3,2，則下列結(jié)論不正確的是(B. a b2, 1,6第8頁共 18 頁|a|16 4 16 6，故D正確.故選：BC .10 .下列不等式中可以作為x21 的一個充分不必要條件的有（)A .

11、x1B. 0 x 1C.1 x 0D.1 x【答案】BC【分析】由題意解不等式，再由集合間的關(guān)系、充分不必要條件的概念逐項判斷即可得解【詳解】解不等式 x21,可得1 x1因為11 x 1 xlx1, x 1x 110 x 1,11x 1x 1 x0,所以 x21 的一個充分不必要條件有：0 x 11 x 0.故選：BC.【點睛】 本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題11設(shè)an是等差數(shù)列，Sn是其前 n 項的和，且 S5& ,S62，則下列結(jié)論正確的是（）A .d0B. S6與 S7是 W 的最大值C . S9S5D. a70【答案】ABD【分析】設(shè)等差數(shù)列

12、an的公差為 d，根據(jù) S5S6,S6S& ,可得 a6a15d 0 ,a7a16d 0,a*a17d1 0即可得出結(jié)論【詳解】設(shè)等差數(shù)列 an的公差為 d ,打S5S6,SiS7S8日6日15d0,a7a16d 0,a8a17d 0.d 0,a0,a70,S6與 S7是 Sn的最大值.因此 A,B,D 正確.對于 C.SsS59a36d(5a110d)4a126d2（a7鬼）0，可得 S9S5，因此不正確故選：ABD .12 .下列函數(shù)中，最小值為2 2的有（）第9頁共 18 頁B y sin x0 xsin xD.y log2x 2logx22 _x -時，即x 2取等號，此時取得

13、最小值2 2，故A成立;當t 0時，y Iog2x 2logx2 log2X - t-2-2-2,Iog2Xt2 _當且僅當t2時，即 t 2 取等號，此時取得最小值2、-；當t 0時，y Iog2x 2logx2 t (2臚2 2,t2當且僅當t-時，即 t2 取等號，此時取得最大值2.2 .綜上述 y：:;2 2或廬2 2，故D不成立.故選：AC.三、填空題13 .命題“ x R , x22x 40 ”的否定為_ .【答案】 x R,x22x 40【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可知，原命題的否定為 “ x R,x22x 4 01214拋物線 y -x 的準線方程是 _ .4【答案】y

14、 112 2【分析】 將 y -x2化成拋物線的標準方程 x24y，利用拋物線的性質(zhì)求解即可.4xxe 2e【答AC【分由已知結(jié)合基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性分別檢驗各選項即可判【詳當且僅當對于由0 xn可得 0 sin x；1,sin x (0,1, y2t 在(0 ,1上單調(diào)遞減,t1時取得最小值 3,故B不成立;對于C:令 t ex，則t0，則y t牛2 t 2 22,當且僅當t 2時，即2 取等號，此時取得最小值2 2,C成立;對于D， 由于R,所以設(shè) Iog2x= t,2 2,2對于A : y x 2x第10頁共 18 頁【詳解】由 y 4x2 3 4得：x24y，所以 2p 4，即：-

15、21所以拋物線 y -x2的準線方程為：y -1.42【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15 .已知關(guān)于X的不等式(mx m26)(x 4)0(其中m R)的解集為A，若滿足A 門 Z B (其中 Z 為整數(shù)集)，則使得集合B中元素個數(shù)最少時m取值范圍是 _【答案】2 m 3【分析】先對m分類討論，利用一元二次不等式的解法求出解集確定出A,再根據(jù)A 門 Z B (其中 Z 為整數(shù)集)，寫出當集合B中元素個數(shù)最少時m的取值范圍【詳解】分情況討論：四、雙空題2 2x y22216.把半橢圓： 1x0 和圓?。簒 1 y a x 0合成的曲線稱為 曲 a b圓”其中點F 1,0是半

16、橢圓的右焦點， A，A2分別是 曲圓”與x軸的左、右交點，B，B2分別是 曲圓”與y軸的上、下交點，已知BFB2120，過點F的直線與 曲圓”交于P,Q兩點，則半橢圓方程為 _(x 0),亠APQ 的周長的取值范圍是【分析】由橢圓的焦點坐標以及B1FB2120，可得橢圓的標準方程和圓的方程，從2 2【答案】 16,8430時,x 40，解得0時,2小m 6 =m m2 64，解得Am260時,解得 Am26x因為 A 門 Z集合B中元素個數(shù)最少，所以0 不符合題意;當 m 0 時,26 6mm - 2 .6 4，所以要使集合B中元素個數(shù)最少, m解得 2 m 3.故答案為 2 m 3.【點本題

17、主要考查不等式的解法，不等式的整數(shù)解問題需要關(guān)注邊界值的影響，稍有難度,側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)第11頁共 18 頁而得到半橢圓方程；易知 Ai是橢圓的左焦點，過橢圓的右焦點F的直線與曲圓可得P,Q，在直線轉(zhuǎn)動的過程中由P，Q 的位置可得三角形的周長的取值范圍.【詳解】 解：由(x 1)2y2a2(x 0),令y 0，可得x 1 a以及A( 1 a,0),再由橢圓的方程及題意可得A2(a,0) , B2(0, b) , B1(0, b),b由BFB2120，可得-,c由 F(1,0)可得 b 、3 ,所以a 2,2 2所以半橢圓及圓弧的方程分別為- 乂1(焊：0), (x 1)2y

18、24(x 0),43所以A1( 1,0), A2(2,0), Bg . 3), B2(0, 3),可得 A 相當于橢圓的左焦點， APQ 的周長為PF PA1AQ QF,當P從A(不包括A)向B2運動時，PA PF 2a 4,當 Q 在y軸右側(cè)時，AQ QF 2a 4，所以這時三角形的周長為8,當P從B2向 A 運動時，Q 在第四象限，則AQ QF 2a 4,PF這時三角形的周長小于8,當P運動到 A1時，Q 在A處，不構(gòu)成三角形，三角形的周長接近2人乓6, 由曲圓的對稱性可得P運動到X軸下方時，與前面的一樣,綜上所述， APQ 的周長的取值范圍為(6,8.故答案為：2 2丄1 1;6,8.4

19、3PA,；2r A1B22 a 4,第12頁共 18 頁彳雖Bl五、解答題217 .已知函數(shù) f(x) mx mx 12.(I)當 m 1 時，解不等式 f (x)0；(n)若不等式 f (x) 0 的解集為R,求實數(shù)m的取值范圍m 0求解即可.0【詳解】(I)當m 1時，不等式為 x2x 120,x 3 x 40,解集為 xx 3 或x 4(n)若不等式f x 0的解集為R,則當m 0時，12 0恒成立，適合題意；m0m 0當m 0時應(yīng)滿足，即2解得48 m 0由上可知，48 m 00m 48m 0【點睛】這個題目考查了不含參的二次不等式的求法，以及二次不等式在 R 上恒成立的應(yīng)用，在整個實

20、數(shù)集上恒成立，即滿足判別式小于0,開口方向滿足條件即可，若在小區(qū)間上恒成立，則可轉(zhuǎn)化為軸動區(qū)間定的問題218 .已知點P 2,m是拋物線C:y 2px p 0上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且PF 4，直線l:y k x 2與拋物線C相交于不同的兩點A,B.【答案】(I) xx 3 或 x 4 ； (II)【分析】(I)當m 1時，不等式為 x2(n)分兩種情況求解，當m 0時,48 m 0.x 120,結(jié)合二次函數(shù)的特點解出不等式即可;12 0恒成立,適合題意；當m 0時應(yīng)滿足第13頁共 18 頁(1)求拋物線 C 的方程;第14頁共 18 頁(2)若AB 16，求k的值.【答案】(1) y28x

21、 ； (2) 1 或-1.【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義得出 PF 2*4 ,即可求得P值，即可求出拋物線C的方程；(2)設(shè)A兒， ,B X22，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理以及拋物線的焦點弦公式，結(jié)合已知AB 16，即可列式求出k的值【詳解】解：(1)拋物線C: y22px 的準線為 xP,由|PF| 4得：2P4 p 4 ,所以拋物線的方程為 y28x.(2)設(shè)A兒， ,B X2,y2,由；28x)，可得kx4k28 x 4k20,則64k264 0,冷 X24k28/直線I經(jīng)過拋物線C的焦點則 AB4k28人X2pk416 ,解得：k 1,所以k的值為 1 或-1.【點睛】本題考查

22、根據(jù)拋物線的定義求拋物線的標準方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及聯(lián)立方程組、韋達定理、以及拋物線的焦點弦公式，考查分析解題能力和運算能力19 已知數(shù)列 an的前n項和為S，且滿足 Sn2n 12 . g 為等差數(shù)列，其前n項和為Tn，如圖 _,Tn的圖象經(jīng)過 A,B 兩個點122第15頁共 18 頁（1）求數(shù)列 an的通項公式;（2）求數(shù)列an d的前n項和Rn從圖 1，圖 2，圖 3 中選擇一個適當?shù)臈l件，補充在上面問題中并作答（2）由bn為等差數(shù)列，再由圖知T1與 Ta的值，可得 bn的通項公式，進而求得 ann，再利用錯位相減法求得其前n項和Rn.【詳解】（1）由 Sn2n 1

23、2，得當 n 1 時，a1s 2 ；當 n 2 時，anSnSn 12n 122n22n，綜上所述，an2n；（2）設(shè)等差數(shù)列bn的公差為 d，選圖 1 :可得 T 1，Ta3，b11即 3b Ud，解得【答案】（1）an2n； （ 2）選圖 1 :Rn5 2n 2n 110,n N；選圖 2:Rnn 12n 12, nN；選圖 3：Rn3n 92n 118,n N【分析】（1）由 Sn2n 12，再根據(jù) anS,n 1SnSn 1,n2 直接求解;3第16頁共 18 頁則bn1 22nanbn2n2n,223235 2n 2n 13 2n 2n2Rn12223242n 2n3 2n 2n 1

24、得:Rn12n 12n 22n 210n2n 2化簡得Rn52n2n10,n選圖 2 :可得 TT3b11即 3 23 bid2解得bid則bnanbn2n22232n2n2Rn1222 233 242n2n 1得:Rn2 22232n2n2n2n化簡得Rn2門12,n選圖 3：可得 T13, T30b1即3bib1解得b1d則bn3n 6,anbn3n 62n,第17頁共 18 頁得:223233n92n 13n 62n2Rn3220 232-3n 92n3n2n 1第18頁共 18 頁Rn3 本題難點在于第二問中不會結(jié)合正弦定理(a c)bac將式子變形解三角形時，最常用5的方法由正弦定理

25、、余弦定理邊角互化3n3 22162n13n183n 9化簡得尺3n92n 118, n N20 .在亠ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,已知(ac)b12 ac 5(1)若 a，b，c 成等差數(shù)列，求cosB的值;(2)是否存在厶ABC滿足B為直角？若存在，求sin A的值；若不存在,請說明理由4【答案】(1)-;(2)不存在，詳見解析.1212【分析】 由2b a c以及(a c)b ac可知2b2ac,結(jié)合余弦定理55cosB邑衛(wèi)2ac b即可求解cosB.2ac12一當 B 為直角，則sinB 1,sinC cosA,由(a c)bac,進行邊角互化得到6sin A cosA -s

26、in 2A,式子平方整理得(9sin 2A 5)(4sin 2A5，5)0不符合題意，即可判斷.【詳解】解:(1)因為a,b,c 成等差數(shù)列，所以2b a c2 2 2 2由余弦定理可得cosB(a c) 2ac b 3b 2ac更2ac 2ac12b262ac122因為(a c)b12ac,所以2b255ac，即一-，所以cosBac 52ac若 B 為直角，則sin B 1,sinCcosA12由(a c)b ac及正弦定理可得5sin A sin C12sin Asin C5、12所以sin A cosA sin A cos A,即 卩sin A cosA 5:6sin2A,上式兩邊同時

27、平方536可得1 sin2A sin22A,所以(9sin 2A 5)(4sin252A 5) 0().又0 sin 2 A 1,所以9sin2 A 50,4sin2 A 5 0,所以(9sin 2A 5)(4sin 2A5)0與()矛盾，所以不存在亠ABC滿足B為直角.【點睛】本題考查了等差中項，考查了余弦定理，考查了二倍角公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第19頁共 18 頁21 如圖，在四棱錐P ABCD中，PAB是等邊三角形,BCAB, BC CD 2 3 ,(1) 若PB 3BE，求證：AE/平面PCD;(2) 若PC 4，求二面角A PC B的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2

28、) 3 衛(wèi)5【分析】(1 )作 EF /PC，交 BC 于F，連接 AF ,分別證明 AF/平面PCD,EF平面PCD，進而可證明平面AEF/平面PCD，可得AE/平面PCD；(2)計算可知 PC2PB2BC2，所以BC PB，結(jié)合BCAB,可知BC平面 PAB ,從而可知平面PAB平面ABCD，在平面 PAB 內(nèi)作Bz平面ABCD，以 B 點為坐標原點，分別以BC, BA, Bz所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系B xyz，求m n出平面 BPC 的法向量m,平面APC的法向量n,再結(jié)合cos.m，n石；，可求出sin m,n.，.(1)如圖，作 EF /PC，交 BC 于

29、F,連接 AF .因為PB3BE, 所以因為ABAD2,因為BCAB, 所以因為tan ACBABBC因為tanAFBABBF因為AF平面PCDE是PB的三等分點，可得 BF -BC 匕33BC CD 2.3 , AC AC，所以ABCADC,ADC ABC 90,23，所以ACB ACD 30，所以BCD 60,2.33翕啟，所以AFB 60，所以AF/CD,3,CD平面【詳?shù)?0頁共 18 頁又 EF/PC ,EF平面PCD,PC平面PCD，所以EF/平面PCD.因為AFEF F, AF、EF平面AEF，所以平面AEF/平面PCD，所以AE/平面PCD.(2)因為PAB是等邊三角形，AB 2，所以PB 2.又因為PC 4, BC 2.3，所以 PC2PB2BC2，所以BC PB.又BCAB,AB,PB平面 PAB , AB PB B，所以BC平面 PAB .因為BC平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD.在平面 PAB 內(nèi)作Bz平面ABCD，以 B 點為坐標原點，分別以BC,BA,Bz所在直線為x, y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系B xyz，則 C(2 -3,0,0)，A(