2020屆三湘名校教育聯(lián)盟高三第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、第1 1頁(yè)共 2020 頁(yè)2020 屆三湘名校教育聯(lián)盟高三第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題、單選題2 2 *x|x a ,a N，若A B，則a的最小值為B B. 2 2【答案】【詳解】故選: :B.B.【點(diǎn)睛】B B.1【答案】【詳解】故選: :c.c.【點(diǎn)睛】1 1.已知集合A2, 1,0,1，B【解解出x2a2, ,分別代入選項(xiàng)中a的值進(jìn)行驗(yàn)證 解：Qxa x a. .當(dāng) a a1 1 時(shí), ,B 1,0,1,此時(shí)B不成立. .當(dāng)a 2時(shí), ,B2, 1,0,1,2，此時(shí)A B成立，符合題意. .本題考查了不等式的解法，考查了集合的關(guān)系 2 2 設(shè)i是虛數(shù)單位,2i，則a【解3 2i,可得5a

2、i2i3a2a i,通過(guò)等號(hào)左右實(shí)部和虛部分別相等即可求出a的值. .解:Q-aia3 2i,5 ai2i3a2a i5 3a3 2a，解得:第2 2頁(yè)共 2020 頁(yè)當(dāng)成1進(jìn)行運(yùn)算. .本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)相等的涵義. .對(duì)于易錯(cuò)點(diǎn)是把i2第3 3頁(yè)共 2020 頁(yè)故選：A A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題uuuuuur”亠=uuu一uuu ,，亠宀，4 4.已知向量AB3,2,AC5, 1，則向量AB與BC的夾角為()A A .45B B.60C C.90D D.120【答案】 C CuuuUJUuuuuuuuuu【解析】 求出BCACAB2, 3

3、，進(jìn)而可求ABBC 3 2 230, ,即能求出向量夾角【詳解】UJUJJT UJUuuuuuu解：由題意知，BCACAB2, 3. .則ABBC 3 2 23 0uuu ,uuu，則向量AB與BC的夾角為90. .故選: :C.C.【點(diǎn)睛】5.5.已知a B表示兩個(gè)不同的平面，I I 為a內(nèi)的一條直線，則“a B是3的()A A .充分不必要條件B B 必要不充分條件C C.充要條件D D.既不充分也不必要條件3 3 .已知函數(shù)f X2X,X 0,則ff乜=()Iog3X,x 03B B.1C C.log32D D.log32【解析】 根據(jù)分段函數(shù)解析式,先求得f-的值，再求得3【詳解】依題

4、意f3|.3Iog3 331log3321,f f仝23f 的值. .3uuu ULUT所以AB BC本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示 求向量夾角時(shí)，通常代入公式a bab進(jìn)行計(jì)算. .【答案】A A第4 4頁(yè)共 2020 頁(yè)【答案】A A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件 的定義進(jìn)行判斷.解：根據(jù)題意，由于a B表示兩個(gè)不同的平面，I I 為a內(nèi)的一條直線，由于“a 3,則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然a中任何一條直線平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立， “a 3是“3的充分不必要條件.故選 A A.【考點(diǎn)】必要條件、

5、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定.6.6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問(wèn)題：今有器中米，不知其數(shù)，前人取半， 中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升 （注：一斗為十升） 問(wèn)，米幾何？ ”下圖是 解決該問(wèn)題的程序框圖， 執(zhí)行該程序框圖，若輸出的 S=15S=15（單位：升）,則輸入的 k k 的值 為（ ）【解析】 根據(jù)程序框圖中程序的功能，可以列方程計(jì)算.【詳解】123由題意S15,S 60.23 4故選：B.B.【點(diǎn)睛】 本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵.A A . 4545【答案】B BB B. 6060C C. 7575D D . 100100【詳解】第 4

6、 4 頁(yè)共 2020 頁(yè)7 7.要得到函數(shù)y、3COS2Xsin 2x的圖像，只需把函數(shù)y sin 2x . 3cos2x的圖像（ ）A A .向左平移個(gè)單位2B B .向左平移7個(gè)單位12C C.向右平移個(gè)單位D D .向右平移個(gè)單位12123【答案】A Ay 2sin 2X對(duì)比，從而可選出正確答案3【詳解】解：故選 A A【點(diǎn)睛】混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)；二是在平移時(shí)，忘記乘了自變量前的系數(shù)8 8.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng) 學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)中國(guó)四大名著：紅樓夢(mèng)、三國(guó)演義、水滸傳及西游記，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同

7、的閱讀計(jì)劃共有（）A A . 120120 種B B. 240240 種C C . 480480 種D D . 600600 種【答案】B B【解析】運(yùn)用輔助角公式將兩個(gè)函數(shù)公式進(jìn)行變形得y 2sin 2x 以及3y 2Sin2X按四個(gè)選項(xiàng)分別對(duì)y 2Sin 2X3變形，整理后與、3cos2x sin2xCOS2Xsin 2x22sin 2X32sin 2Xy sin2x 3COS2X2丄sin2x2三COS2X22sin 2X3對(duì)于 A A :可得y 2sin 2X232sin 2X32sin 2X本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換，考查了輔助角公式 本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是【詳解】第 4 4

8、 頁(yè)共 2020 頁(yè)【解析】 首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果第7 7頁(yè)共 2020 頁(yè)將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：A424種分配方法;本題正確選項(xiàng)：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合中的分組分配問(wèn)題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問(wèn)題 . .9 9 .已知a,b,c分別為ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a a 1 1 ,4csi nA 3cosC,3ABC的面積為一，則c()2A A .22B B. 4 4C C. 5 5D D .3、2【答案】D D【解析】由正弦定理可知4csinA 4asinC 3cosC，從而可求

9、出3413sin C ,cosC通過(guò)SABCabsinC可求出b 5，結(jié)合余弦定理即可求5522出c的值. .【詳解】解：Q 4csi nA 3cosC，即4cs in A 3a cosC4sinAsinC 3sinAcosC，即4sinC 3cosC. .34，貝U sinC ,cosC -55故選：D.D.【點(diǎn)睛】的基本關(guān)系. .本題的關(guān)鍵是通過(guò)正弦定理結(jié)合已知條件，得到角將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:c；o3c；10種分組方法;由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共10 24 240種Q sin2Ccos2C 1SABCabs inC211bf32，解得b 5. .b22ab

10、cosC1 522 1 5418,c 3.25本題考查了正弦定理，考查了余弦定理, 考查了三角形的面積公式, 考查同角三角函數(shù)C的正弦值余弦值. .0，若f11,第8 8頁(yè)共 2020 頁(yè)1010 .定義在R上的奇函數(shù)f X滿足f 3 x f x 3f 22，則fl f 2 f 3 L f 2020（）A A .1B B. 0 0C C. 1 1D D. 2 2【答案】C C【解析】首先判斷出f x是周期為6的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值【詳解】由已知f x為奇函數(shù)，得f x f x，而f3xfx 30,所以fx3f x 3所以fxf x6,即f x的周期為6. .由于f 11,f 22,

11、f 00,所以f 3f3f 3f 30,f 4f2f 22,f 5f1f 11,f 6f00. .所以f 1f 2f 3f 4 f 5f 60,又20206 3364,所以f 1f 2f 3L f 2020f 1 f 2f 3f 41故選：C C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題2 21111.已知F1、F2分別為雙曲線C:務(wù) 占1(a 0,b0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1a b的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OABF1,1 AF21 | BF2|，則C的離心率為（）A A . 2 2B B. -5C C.6D D. . 、7【答案】D D第9 9頁(yè)共 2020 頁(yè)【解

12、析】作出圖象，取 ABAB 中點(diǎn) E E,連接 EFEF2，設(shè) F FiA A = x x,根據(jù)雙曲線定義可得 x x= 2a2a,2第1010頁(yè)共 2020 頁(yè)再由勾股定理可得到 c c2= 7a7a2，進(jìn)而得到 e e 的值【詳解】解：取 ABAB 中點(diǎn) E E，連接 EFEF2，則由已知可得 BFBFi丄 EFEF2, F F1A A = AEAE = EBEB , 設(shè) F FiA A = x x,則由雙曲線定義可得 AFAF2= 2a+x2a+x, BFBFi-BFBF2= 3x3x- 2a2a - x x= 2a2a,所以 x x= 2a2a,則 EFEF2= 2 23a a, 由勾

13、股定理可得（4a4a）2+ +（2j3a a）2=（ 2c2c）2所以 c c2= 7a7a2,則 e eC C. 7 7a【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問(wèn)題，關(guān)鍵是列出含有a,b,c中兩個(gè)量的方程，有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理，從而求出離心率x x ax 0圖像上不同的兩點(diǎn)，若曲線yxlnx a,x 0在點(diǎn)A,B處的切線重合，則實(shí)數(shù)a的最小值是（）11A A 1B B.C C - -D D 1 122【答案】B Be2xx 0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案1212 已知A,B是函數(shù)f x【解析】先根

14、據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出f x在A, B兩點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹，從而得出e2x,， 令函數(shù)1x2第1111頁(yè)共 2020 頁(yè)【詳解】2解：當(dāng)x 0時(shí)，f x x x a，則f x 2x1；當(dāng)x 0時(shí)，f x xln x a則f x In x1設(shè)Ax1,fx1, Bx2, fx2為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，當(dāng)為X20或0捲X2時(shí)，f % f x2，不符合題意，故 為0 X2.2則f x在A處的切線方程為y為花a 2%1 x為；故選: :B.B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法. .本題的難點(diǎn)是求出a和x的函數(shù)

15、關(guān)系式. .本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算二、填空題x 01313已知x,y滿足約束條件x y 1，則z 3x 2y的最小值為 _ .2x y 2【答案】2 2【解析】 作出可行域，平移基準(zhǔn)直線3x 2y 0到0,1處，求得 z z 的最小值. .【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線3x 2y 0到0,1處時(shí)，z z 取得最小X2則g則當(dāng)x處的切線方程為y2x112X1，整理得ax2In x22X1e1In x21 x X2. .由兩切線重合可知. .不妨設(shè)x22xe2xe ,gX2x1 2e，由g可得x1 .In21時(shí)，g x的最大值為g 1In12 2x2e2x在,0上單調(diào)遞減，則分類與

16、整合、第1212頁(yè)共 2020 頁(yè)值為2. .第1313頁(yè)共 2020 頁(yè)【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題2 21414 .若橢圓C:41的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為m m 1【答案】2,3求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)【詳解】0,1，則m21 m 1，即m2m 20,解得m 2或m 12 2 2 2由-41表示的是橢圓，則m 0,所以m 2，則橢圓方程為 乂 1m m 132所以a 3,2 a 2.3. .故答案為2、3【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的幾何意義. .本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略m 0，從而未對(duì)m的兩個(gè)值進(jìn)行取舍. .0,1，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為【解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)得m

17、21 m1從而可求出m 2，繼而得到橢圓的方程，即可解：因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：2第1414頁(yè)共 2020 頁(yè)則X-IX2_ ；sin(捲X2)_1515 .已知函數(shù)Xsin 2x-，若方程fX一的解為X1, X2 (0X1X25),第1515頁(yè)共 2020 頁(yè)【答案】【解析】求出f xsin(2x )在0,上的對(duì)稱軸，依據(jù)對(duì)稱性可得Xi沁的值；sin(Nsin(Nx x2) )2故答案為：-35【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱軸，考查了誘導(dǎo)公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系題的易錯(cuò)點(diǎn)在于沒有正確判斷2x1的取值范圍，導(dǎo)致求出cos(2%)6 6f x Asin x的對(duì)稱軸時(shí)，常用整體代入

18、法，即令xk ,k Z進(jìn)2行求解. .1616 在四棱錐P ABCD中，PAB是邊長(zhǎng)為2-、3的正三角形，ABCD為矩形，AD 2,PC PD . 22. .若四棱錐P ABCD的頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球O的表面積為_ 丄2 2由x x xi可得sin(x13 3X2)cos(2x1)，依據(jù)sin 2為6I可求出cos(2x1-)的值 【詳解】解：令2x6k,k2Z,解得x因?yàn)? xjX2，所以為，關(guān)于X由 x x3 3x, 則sin (% X2)si n(2%由0 x1X2可知，2x16k2，k Z對(duì)稱 則x1x23)sin(2xi -2)62，則cos(2xi-)-丄，又因?yàn)?6 122

19、1 si n2(2xj-)23cos(2x1)64，即 4 在求第1616頁(yè)共 2020 頁(yè)【答案】28第1717頁(yè)共 2020 頁(yè)的直故答案為：28. .【解析】做AD中點(diǎn)F,BC的中點(diǎn)G,連接PF,PG,FG，由已知條件可求出PF 3,PG. 1919 ,運(yùn)用余弦定理可求PFG 1200,從而在平面PFG中建立坐標(biāo)系，則P, F,G以及PAD的外接圓圓心為Oi和長(zhǎng)方形ABCD的外接圓圓心為0?在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求，通過(guò)球心0滿足00iPF ,002FG，即可求出0的坐標(biāo)，從而可求球的半徑，進(jìn)而能求出球的表面積【詳解】解：如圖做AD中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)G，連接PF, PG,FG，由題意知P

20、F AD,PG BC，則PF 2、,3 sin603,PG . 22 3、19設(shè)PAD的外接圓圓心為01，則01在直線PF上且P01|PF設(shè)長(zhǎng)方形ABCD的外接圓圓心為02，則02在FG上且F02G02. .設(shè)外接球的球心為在 PFGPFG 中，由余弦定理可知cos PFG2192 3 2PFG 120. .在平面PFG中，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以FG所在直線為x軸，以過(guò)F點(diǎn)垂直于線為y軸，如圖建立坐標(biāo)系，由題意知,O在平面PFG中且OO1PF,OO2FG設(shè)0 1,y， 則Oi13m3一 -P-JJ廠主，因?yàn)?01PF，所以3“3232解得y 2、3. .則所以球的表面積為P0282.28228.

21、.第1818頁(yè)共 2020 頁(yè)本題考查了幾何體外接球的問(wèn)題，考查了球的表面積 關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過(guò)將幾何體補(bǔ)充到長(zhǎng)方體中，將幾何體的外接球等同于長(zhǎng)方體的外接球，求 出體對(duì)角線即為直徑， 但這種方法適用性較差； 二是通過(guò)球的球心與各面外接圓圓心的 連線與該平面垂直，設(shè)半徑列方程求解；三是通過(guò)空間、平面坐標(biāo)系進(jìn)行求解 三、解答題1717 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn是務(wù)與丄的等差中項(xiàng). .an即可求出n的取值范圍，進(jìn)而求出最小值【詳解】（1 1） 證明:S；為等差數(shù)列，并求Sn；(2(2)設(shè)bn1Sn 1Sn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn5的最小正

22、整數(shù)n的【答案】 （1 1）見解析，sn.n(2)最小正整數(shù)n的值為 35.35.【解析】 （1 1 ）由等差中項(xiàng)可知2Snan1，當(dāng)n 2時(shí)，得2SnanSnSn 1Sn1_Sn1，2 2整理后可得SnSn 11，從而證明sn為等差數(shù)列，繼而可求Sn. .(2(2) b bn.百n -Fln，則可求出Tn1，令、一n 1第1919頁(yè)共 2020 頁(yè)解析：（1 1 ）由題意可得2Snan，當(dāng)n 1時(shí)，2S1ana11, - af1,aia11,當(dāng)n 2時(shí)，2SnSnSn 1一1，整理可得S2SnSn 1Sn1第2020頁(yè)共 2020 頁(yè)s；是首項(xiàng)為 1 1，公差為 1 1 的等差數(shù)列，-s；S

23、2n 1 n,snn. .n 35,最小正整數(shù)n的值為 35.35.【點(diǎn)睛】列是等差數(shù)列時(shí)，一般借助數(shù)列，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù) 1818如圖，三棱柱ABC A3G中，ABC與ABC均為等腰直角三角形,BACBA|C 90，側(cè)面BAA耳是菱形.(2)求二面角A BC1C的余弦值. .【答案】(1 1)見解析(2 2)2211【解析】(1 1 )取BC中點(diǎn)0,連接A0,A0，通過(guò)證明AOA AOB，得AO AO, 結(jié)合A10 BC可證線面垂直，繼而可證面面垂直(2 2)設(shè)BC 2，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC1和平面BCC1的法向量，繼而 可求二面角的余弦值. .【詳解】 解析：(1

24、1)取BC中點(diǎn)0,連接AO,A0,(2(2)由(1 1)可得bn”-=Jn1Jn,n 1、nTn213,2L本題考查了等差中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列的定義，考查了an與Sn的關(guān)系，考查了裂項(xiàng)相消求和 當(dāng)已知有an與Sn的遞推關(guān)系時(shí)，常代入ansnSi 1進(jìn)行整(1)證明：平面ABC平面ABC；第2121頁(yè)共 2020 頁(yè)由已知可得AOBC,AOBC,AOAOIBC2OB,側(cè)面BAA是菱形， .ABAA,AOA1AOBAOBAOA190即AO AO,- AOI BCO, / AO平面ABC, 平面ABC平面A1BC(2 2)設(shè)BC2，貝U AO AO BOOC1,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系UJIT u

25、uurOxyz，則A 1,0,0,A10,0,1,B 0,1,0C 0, 1,0,AACC11,0,1G( 1, 1,1),uiurBC11,uur2,1,BA1,1,0，設(shè)平面ABC1的法向量為urmx, y,z,則x 2yz 0，令xIT1得m 1,1,3. .x y 0ru r42J22冋理可求得平面BCC1的法向量n 1,0,1，二cos m, n. .V11 7211【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解 一般在求二面角或者線面角的問(wèn)題時(shí)，常建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)求面的法向量、線的方向向量，繼而求解 特別地，對(duì)于線面角問(wèn)題，法向量與方向向量的余角才是所求的線面角，即兩

26、個(gè)向量夾角的余弦值為線面角的正弦值 1919 某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100100 人的體重?cái)?shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率第2222頁(yè)共 2020 頁(yè)（）估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值和樣本方差2;（結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表 ）（2 2）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取 3 3 名學(xué)生，記X為體重在55,65的人數(shù)，求X的分布列 和數(shù)學(xué)期望；（3 3） 由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重Y近似服從正態(tài)分布N（ ,2）. .若P（ 2 Y p 2 ） 0.9544，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的. .試判斷該校學(xué)生的體重是

27、否正常？并說(shuō)明理由. .【答案】（1 1）6060； 2525（ 2 2）見解析，2.12.1（3 3）可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的. .見解析【解析】（1 1）根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差2；（2 2）由題意知X服從二項(xiàng)分布B 3, 0.7，分別求出P X 0，P X 1，P X 2，P X 3，進(jìn)而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望；(3 3)由第一 問(wèn)可知Y服從正態(tài)分布N60,25，繼而可求出P 50 Y70的值,從而可判斷. .【詳解】解：(1)u47.572.50.004 552.567.50.026 557.5 62.50.07 56026047.52 272.5 600.02

28、6052.5 267.560 20.1360 57.52(62.5 60)2 0.35 25（2 2）由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1 1 人，體重在55,65）的概率為 0.7.0.7.隨機(jī)拍取 3 3 人，相當(dāng)于 3 3 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)交量X服從二項(xiàng)分布B 3, 0.7，第2323頁(yè)共 2020 頁(yè)00312則P X 0C30.70.30.027，P X 1C30.7 0.30.189，P X 2 C；0.720.3 0.441,P X 3C；0.730.30.343，所以X的分布列為：X0 01 12 23 3P0.0270.0270.1890.1890.4410.4410.343

29、0.343數(shù)學(xué)期望EX 3 0.7 2.1(3 3)由題意知Y服從正態(tài)分布N 60,25,則P 2 Y 2 P 50 Y 700.96 0.9544,所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的. .【點(diǎn)睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)，考查了二項(xiàng)分布，考查了正態(tài)分布 注意，統(tǒng)計(jì)類問(wèn)題，如果題目中沒有特殊說(shuō)明，則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同 2020 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線y x 2上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作M拋物線2C：x y的兩條切線MA,MB，切點(diǎn)分別為A,B,N為AB的中點(diǎn) (1) 證明：MN x軸；(2)直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明

30、理由. .1【答案】(1 1)見解析(2 2)直線AB過(guò)定點(diǎn)(-,2). .2【解析】(1 1)設(shè)出 代B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線MA的方程，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線MA的方程，同理將M點(diǎn)坐標(biāo)代入切線MB的方程，利用韋達(dá)定理求得線段AB中點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，由此判斷出MN x軸 (2 2)求得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)yN，由此求得N點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線AB的斜率，由此求得直1線AB的方程，化簡(jiǎn)后可得直線AB過(guò)定點(diǎn)(丄，2). .2【詳解】2 2 第2424頁(yè)共 2020 頁(yè)()設(shè)切點(diǎn)A為必,B x?,x2,y 2x,2二切線MA的斜率為2x1，切線MA:y捲2 x x1,設(shè)M t,t 2，則有t 2 x：2 t

31、x1，化簡(jiǎn)得x12tXjt 2 0,2同理可的x22tx2t 20. .-X1,X2是方程x22tx t 20的兩根，二x,X22t,X1X2t 2,第2525頁(yè)共 2020 頁(yè)XN1X22tXM,二MNx軸 (2 2) /12 2122 2y2為x22X1X2x1x22t t 2, N t,2t t 222kABX1X2Xx22t,直線AB:y 2t2t 2 2t x t，即X1X21y 2 2t（x 2），1二直線AB過(guò)定點(diǎn)（，2）. .2【點(diǎn)睛】學(xué)思想方法，屬于中檔題 2121 .已知函數(shù)f x aln x丄x（1）討論f x的零點(diǎn)個(gè)數(shù);（2）證明：當(dāng)0 a此時(shí)f x有 1 1 個(gè)零點(diǎn);

32、當(dāng)a 0時(shí)，f x無(wú)零點(diǎn);本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線過(guò)定考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)【答案】（1 1）見解析（2 2）見解析【解析】（1 1）求出f ax 1，分別以當(dāng) a a 0 0,x0時(shí), 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù). .（2 2）令h xaxl n x1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出h x h() e;同理可求出g1x - xe滿足g x g12， 從而可得axln x11xe2x，進(jìn)而證明f x【詳解析：（1 1）ax 12-xx 0,當(dāng) a a 0 0 時(shí),x單調(diào)遞減，fJea1 ea0，11 11當(dāng)a 0時(shí)，由f x 0得x(0,)，由f x 0得 x x (_,(_,) )

33、 ,.,.f x在(0,)aa aa單調(diào)遞減，在（丄，）單調(diào)遞增， f x在x -處取得最小值f（-）aaae,此時(shí)f x有 1 1 個(gè)零點(diǎn);1 0,求導(dǎo)易得f （丄）0,此時(shí)f x在（4 ,丄）,aa a1（,1）上各有 1 1 個(gè)零點(diǎn) a綜上可得0 a e時(shí)，f x沒有零點(diǎn)，a a 0 0 或a e時(shí)，f x有 1 1 個(gè)零點(diǎn)，a e時(shí),f x有 2 2 個(gè)零點(diǎn). .(2 2) 令h xaxl n x 1，則h x1 11a 1 ln x，當(dāng) x x 時(shí)，h x 0；當(dāng)0 x -e ee時(shí)，h x0, hxh）a1 1. .ee2令g x1xe1 x，則g11xex1x,22【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題， 考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，考查了分類的數(shù)學(xué)思想 本題的難點(diǎn)在于第二問(wèn)不等式的證明中，合理設(shè)出函數(shù)，通過(guò)比較最值證明上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 2 倍（橫坐標(biāo)不變）得到曲線C1,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為4 cos 3 sin 25 0. .（1 1）寫出 C C1的極坐標(biāo)方程