幾何直觀的課程背景及實(shí)踐策略探究

1、幾何直觀的課程背景及實(shí)踐策略探究 幾何直觀是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）(以下簡(jiǎn)稱2011年版課標(biāo))的十個(gè)核心概念之一，也是新增加的核心詞匯。幾何直觀在內(nèi)容、意義和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對(duì)幾何圖形本身的研究范疇。正如弗萊登塔爾所說(shuō)：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！北疚幕趲缀握n程要求試圖追溯幾何直觀的形成歷史，探討幾何直觀的內(nèi)涵及其與相關(guān)概念之間的聯(lián)系，闡釋幾何直觀的表現(xiàn)形式，挖掘培養(yǎng)幾何直觀能力的教育價(jià)值。  一、幾何直觀形成的歷史溯源  1952年，我國(guó)首次制訂的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大

2、綱提出，小學(xué)“算術(shù)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)和發(fā)展兒童的邏輯思維能力”，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該“發(fā)展學(xué)生生動(dòng)的空間想象力，發(fā)展學(xué)生邏輯的思維力和判斷力”。1963年，根據(jù)華羅庚、關(guān)肇直等專家的意見(jiàn)，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的能力培養(yǎng)任務(wù)修改為培養(yǎng)“計(jì)算能力、邏輯推理能力和空間想象力”（即傳統(tǒng)的三大能力）。1988年，九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱將能力培養(yǎng)任務(wù)改為“培養(yǎng)運(yùn)算能力、發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念”。2001年頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）提出“豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”。2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。人

3、們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求?！?011年版課標(biāo)把幾何直觀作為十個(gè)核心概念之一，并明確指出幾何直觀的含義，闡明其教育價(jià)值。由我國(guó)幾何課程基本要求可以看出，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，幾何直觀的建立和發(fā)展是一個(gè)歷史演變過(guò)程。  二、幾何直觀與相關(guān)概念辨析  1.直觀與幾何直觀  數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀

4、上，數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握”；西方哲學(xué)家通常認(rèn)為，“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)”；心理學(xué)家認(rèn)為，“直觀是從感覺(jué)到的具體對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的能力”。蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動(dòng)，是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài)。徐利治先生認(rèn)為，直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而幾何直觀是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。從數(shù)學(xué)、哲學(xué)、心理學(xué)等視角可以看出，直觀一般有兩種：一是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。由此可見(jiàn)，直

5、觀是一種感知，是形象思維和抽象思維的中介，是客觀世界不同事物的居間聯(lián)系環(huán)節(jié)。  2011年版課標(biāo)指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。”換句話說(shuō)，幾何直觀就是借助見(jiàn)到的（或想象出來(lái)的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。  2.空間觀念與幾何直觀  從研究對(duì)象來(lái)分析，空間觀念不僅涉及“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”，而且涉及“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，依

6、據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等”，而幾何直觀是憑借圖形對(duì)幾乎所有的數(shù)學(xué)研究對(duì)象進(jìn)行思考的能力?？梢?jiàn)，幾何直觀與空間觀念有重疊又各有側(cè)重。從思維角度來(lái)看，幾何直觀具有思維的跳躍性，而空間觀念具有思維的連貫性。從能力分析角度看，空間觀念傾向于即使脫離了背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力，幾何直觀更強(qiáng)調(diào)借助一定的直觀背景條件進(jìn)行整體把握的能力。  3.幾何直覺(jué)與幾何直觀  直觀與直覺(jué)非常相似。所謂直覺(jué)，辭海的解釋是“一般指不經(jīng)過(guò)邏輯推理認(rèn)識(shí)真理的能力”，而中國(guó)大百科全書(shū)的解釋是“一種不經(jīng)過(guò)分析、推理的認(rèn)識(shí)過(guò)程而直接快速地進(jìn)行判斷的認(rèn)識(shí)能力。直覺(jué)是不經(jīng)過(guò)邏輯的、有意識(shí)的推理而識(shí)別或了解事

7、物的能力”。從哲學(xué)認(rèn)識(shí)論的視角看，直覺(jué)可以分為經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)、知性直覺(jué)和理性直覺(jué)。幾何直覺(jué)無(wú)須推理就能直接對(duì)事物及其關(guān)系作出迅速的識(shí)別和理解，屬于學(xué)習(xí)者對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的感性認(rèn)識(shí)，有很大程度上的猜測(cè)成分和朦朧的整體把握，不僅有“經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)”的成分，而且有“知性直覺(jué)”和“理性直覺(jué)”的成分。幾何直觀是學(xué)習(xí)者建立在針對(duì)幾何圖形長(zhǎng)期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上，對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何屬性（或與幾何屬性密切相關(guān)的一些屬性）的整體把握和直接判斷的能力，既有相對(duì)豐富的經(jīng)驗(yàn)積累，也有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的理性概括和升華，幾何直觀的“整體把握”往往帶有明顯的邏輯成分。  4.空間想象能力與幾何直觀能力  傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教

8、學(xué)中，空間想象力指的是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象的能力。麥吉認(rèn)為，空間想象力包括“在心理上操作、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)或逆轉(zhuǎn)形象刺激物的能力”。朱文芳認(rèn)為“空間想象能力是完成空間認(rèn)知任務(wù)的橋梁，空間思維能力起著決定性的核心作用”。心理學(xué)家通常認(rèn)為，想象以表象為基本材料，但不是表象的簡(jiǎn)單再現(xiàn)，是指“在頭腦中對(duì)已有表象進(jìn)行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過(guò)程”。因此，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力。幾何直觀是在有背景的條件下進(jìn)行，想象是沒(méi)有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，再想象圖形。  三、幾何直觀的表現(xiàn)形式  康德認(rèn)為，直觀分為

9、經(jīng)驗(yàn)直觀和純粹直觀。孔凡哲、史寧中認(rèn)為，在中小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何直觀具體表現(xiàn)為四種形式，即實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀和替代物直觀。  筆者認(rèn)為，幾何直觀具有創(chuàng)造性和工具性，其目的是利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，從數(shù)學(xué)功能看，幾何直觀可以分為實(shí)物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示。  實(shí)物直觀演示是指借助與研究對(duì)象有一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際存在物，進(jìn)行簡(jiǎn)捷、形象的思考和判斷。實(shí)物直觀演示既可以是實(shí)際存在物，如球體、柱體、錐體、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、圓、橢圓等；也可以借助計(jì)算機(jī)、七巧板、木棒等輔助的實(shí)物直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作等活動(dòng)，感受和探索圖形的特征，積

10、累圖形與幾何的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立初步的空間觀念。一旦借助實(shí)物直觀演示用圖形把一個(gè)問(wèn)題描述清楚，就有可能使這個(gè)問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單。  圖形直觀操作是指對(duì)實(shí)物的動(dòng)手操作或圖形運(yùn)動(dòng)操作進(jìn)行幾何直觀探索。直觀操作分為兩類：一類是實(shí)物的動(dòng)手操作，包括折紙、展開(kāi)、折疊、切截、拼擺、密鋪等操作活動(dòng)，能幫學(xué)生積累豐富的幾何事實(shí)，獲得對(duì)簡(jiǎn)單幾何體和平面圖形的直觀經(jīng)驗(yàn)；另一類是圖形的運(yùn)動(dòng)操作（如平移、旋轉(zhuǎn)、反射等運(yùn)動(dòng)），如“點(diǎn)動(dòng)成線”“線動(dòng)成面”“面動(dòng)成體”，半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)可以形成球體，矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為錐體等。借助圖形直觀操作可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、尋找解決

11、問(wèn)題的思路。因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等具體的感知過(guò)程，培養(yǎng)他們借助圖形思考的能力。  圖形直觀表示是指借助明確的幾何圖形來(lái)描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題。圖形直觀表示是一種表征方式，是一種工具符號(hào)，主要分為兩類：一類是“形形表示”，如借助三視圖、網(wǎng)格、直角坐標(biāo)系等圖形工具探索、描述和分析幾何問(wèn)題；另一類“數(shù)形表示”，利用幾何圖形直觀探索、描述和分析幾何以外的其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題，如利用數(shù)軸研究數(shù)系、方程的根，利用直觀圖分析數(shù)據(jù)，構(gòu)造圖形研究代數(shù)式、函數(shù)，利用單位圓研究三角函數(shù)等。借助圖形直觀表示圖形可以幫助表述一些結(jié)果，可以幫助記憶一些結(jié)果。  四、幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價(jià)值

12、  1.幾何直觀能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維  幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數(shù)學(xué)研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用。從創(chuàng)造力來(lái)看，直觀能引出數(shù)學(xué)發(fā)明，能決定理論的形式和研究方向；從數(shù)學(xué)證明上看，直觀常常提供證明的思路和技巧，有時(shí)嚴(yán)格的邏輯證明無(wú)非是直觀思考的嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)加工。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問(wèn)題變成幾何直觀問(wèn)題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)?。在大多?shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)的，而不是“證”出來(lái)的。如，利用平面圖形認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的乘法，借助韋恩圖計(jì)算“重疊應(yīng)用問(wèn)題”等。所謂的“看”是一種直接判斷，是建立在長(zhǎng)期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高

13、度簡(jiǎn)化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中保護(hù)學(xué)生先天的幾何直觀的潛質(zhì)，培養(yǎng)和不斷提高學(xué)生的幾何直觀水平，就成為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要的價(jià)值追求。  2.幾何直觀能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)  幾何直觀在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在。數(shù)學(xué)家依賴直觀推動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)的思考，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解。幾何直觀不僅是一切幾何學(xué)的基礎(chǔ)，而且貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。正如美國(guó)數(shù)學(xué)家阿蒂亞所言：“在幾何中，視覺(jué)思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)中有序思維占主導(dǎo)地位。所以，幾何首先用到的是最直接的形象思維，用形象思維洞察?！睅缀沃庇^能利用圖形生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，直觀地反映分析問(wèn)題的思路，是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。例如，借助地圖理解比例，利用直觀圖理解正方

14、形邊長(zhǎng)和面積的關(guān)系，借助數(shù)軸認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義，借助“線路圖”理解行程問(wèn)題，借助網(wǎng)絡(luò)圖理解單元知識(shí)等。著名數(shù)學(xué)家拉格朗日曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但當(dāng)這兩門學(xué)科結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美?！币虼?，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要挖掘教材資源，利用信息技術(shù)工具，展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界，設(shè)計(jì)“借助幾何直觀進(jìn)行思考”的典型案例；要注意讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、圖形制作的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生用幾何直觀描述、分析問(wèn)題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖能力，文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化的能力，為學(xué)生使用幾何直觀理解數(shù)學(xué)提供保障。  3.幾何直觀能

15、夠培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式  數(shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的“直觀形式直觀”模式，是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體抽象具體”模式的特殊表現(xiàn)形式。幾何直觀具有原始的創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)形式化而趨于完美，又通過(guò)直觀化而返璞歸真，這正是數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證過(guò)程。正是形式化與直觀化之間的矛盾運(yùn)動(dòng)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展以及科學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該借助幾何直觀、幾何解釋啟迪學(xué)生思路，利用直觀背景或者幾何直觀幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)。例如，借助數(shù)軸認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義，利用直觀圖理解異分母分?jǐn)?shù)加減法先通分的必要性，能使學(xué)生借助直觀圖，從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過(guò)自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，使學(xué)生從非形式化的、算法的直覺(jué)相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀?？梢?jiàn)，直觀本身不是目的，而是手段。對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，用圖形說(shuō)話、用圖形描述問(wèn)題、用圖形討論問(wèn)題等，就是為了形成生動(dòng)表象并借以形成概念、發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)抽象思維的發(fā)展。 4.幾何直觀能夠幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)美