初中與高中數(shù)學銜接練習之一元二次方程

1、2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因為a0，所以，4a20于是（1）當b24ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根 x1x2；（3）當b24ac0時，方程的右端是一個負數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號“”來表示綜上所述，對于一元二次方

2、程ax2bxc0（a0），有（1） 當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x2；（3）當0時，方程沒有實數(shù)根例1 判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）324×1×330，方程沒有實數(shù)根（2）該方程的根的判別式a24×1×(1)a240，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為a24×1×(a1)a24a4(a2)2，所

3、以，當a2時，0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21；當a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為224×1×a44a4(1a)，所以當0，即4(1a) 0，即a1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 ， ； 當0，即a1時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21； 當0，即a1時，方程沒有實數(shù)根說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題2.1

4、.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實數(shù)根 ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1·x2這一關(guān)系也被稱為韋達定理特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1x2p，x1·x2q，即 p(x1x2)，qx1·x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1·x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1&

5、#183;x20因此有以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1·x20例2 已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個根，5×22k×260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個根為，k的值為7解法二：設(shè)方程的另一個根為x1，

6、則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個根為，k的值為7例3 已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得 x1x22(m2)，x1·x2m24 x12x22x1·x221， (x1x2)23 x1·x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170，

7、解得 m1，或m17當m1時，方程為x26x50，0，滿足題意；當m17時，方程為x230x2930，3024×1×2930，不合題意，舍去綜上，m17說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根例4 已知兩個數(shù)的和為4，積為12，求這兩個數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)也可以利用韋達定理

8、轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個數(shù)是2和6解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程 x24x120的兩個根 解這個方程，得 x12，x26所以，這兩個數(shù)是2和6說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x

9、1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()×()23×()說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論例6 若關(guān)于x的一元二次方

10、程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4練 習1選擇題：（1）方程的根的情況是 （ ） （A）有一個實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）沒有實數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 （3）以3和1為根的一元二次方程

11、是 3已知，當k取何值時，方程kx2axb0有兩個不相等的實數(shù)根？4已知方程x23x10的兩根為x1和x2，求(x13)( x23)的值習題2.1A 組1選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個根是1，則它的另一個根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個說法： 方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說法的個數(shù)是 （ ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個（3）關(guān)于x的一元二次方程ax25xa2a0的一

12、個根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程kx24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （3）已知關(guān)于x的方程x2ax3a0的一個根是2，則它的另一個根是 （4）方程2x22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 3試判定當m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 （ ） （A）1，或1 （B）1

13、（C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的兩個實數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 3已知關(guān)于x的方程x2kx20（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實數(shù)k的取值范圍4一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩根為x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235關(guān)于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實數(shù)m的值C 組1選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x70的兩根，

14、則這個直角三角形的斜邊長等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的兩個根，則的值為 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關(guān)于x的方程x22(1m)xm20有兩實數(shù)根，則的取值范圍為 （ ） （A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三邊長，那么方程cx2(ab)x0的根的情況是 （ ） （A）沒有實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）有兩個異號實數(shù)根2填空：若方程x28xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 3 已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx24kxk1

15、0的兩個實數(shù)根（1）是否存在實數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k2，試求的值4已知關(guān)于x的方程（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應的x1，x25若關(guān)于x的方程x2xa0的一個大于1、零一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍2.1 一元二次方程練習1 （1）C （2）D 2 （1）3 （2）有兩個不相等的實數(shù)根 （3）x22x303k4，且k041 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9習題

16、21A 組1 （1）C （2）B 提示：和是錯的，對于，由于方程的根的判別式0，所以方程沒有實數(shù)根；對于，其兩根之和應為 （3）C 提示：當a0時，方程不是一元二次方程，不合題意2 （1）2 （2） （3）6 （3）3當m，且m0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當m時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當m時，方程沒有實數(shù)根4設(shè)已知方程的兩根分別是x1和x2，則所求的方程的兩根分別是x1和x2，x1x27，x1x21，(x1)(x2)7，(x1)×(x2)x1x21，所求的方程為y27y10B組1C 提示：由于k=1時，方程為x220，沒有實數(shù)根，所以k12（1）2006 提示：mn2005，m

17、n1，m2nmn2mnmn(mn1)1×(20051)2006 （2）3 提示；ab1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2)(ab)( ab) 22ab(1)×(1)22×(1)33（1）(k)24×1×(2)k280，方程一定有兩個不相等的實數(shù)根 （2）x1x2k，x1x22，2k2，即k14（1）| x1x2|，；（2）x13x235| x1x2|，m3把m3代入方程，0，滿足題意，m3C組1（1）B （2）A （3）C 提示：由0，得m，2(1m)1 （4）B 提示：a，b，c是ABC的三邊長，abc

18、，(ab)2c202（1）12 提示：x1x28，3x12x22(x1x2)x12×8x118，x12，x26，mx1x2123（1）假設(shè)存在實數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立一元二次方程4kx24kxk10有兩個實數(shù)根，k0，且16k216k(k+1)=16k0，k0x1x21，x1x2， (2x1x2)( x12 x2)2 x1251x22 x22 2(x1x2)29 x1x22， 即，解得k，與k0相矛盾，所以，不存在實數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立（2）2 ，要使2的值為整數(shù)，只須k1能整除4而k為整數(shù)，k1只能取±1，±2，±4又k0，k11， k1只能取1，2，4，k2，3，5能使2的值為整