二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總

1、二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)方數(shù)大于或等于零即可。2. 二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時(shí)，沒(méi)有意義。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼

2、的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，&#

3、160;，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而.知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開(kāi)方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開(kāi)方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式=·（a0，b0）；（b0，a>0）（4）有理數(shù)的加法交換

4、律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算【例題精選】二次根式有意義的條件：例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。解：（1）要使有意義，必須，由得，當(dāng)時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。（2）要使有意義，為任意實(shí)數(shù)均可，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)均有意義。（3）要使有意義，必須的范圍內(nèi)。當(dāng)時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習(xí)：（1）當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（3）當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時(shí)，有意義。2. 使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè) A0 B1 C2 D無(wú)數(shù)3已知y=+5，求的值4

5、若+有意義，則=_5. 若有意義，則的取值范圍是。最簡(jiǎn)二次根式例2：把下列各根式化為最簡(jiǎn)二次根式：分析：依據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行化簡(jiǎn)，（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。解：同類根式：例3：判斷下列各組根式是否是同類根式：分析：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡(jiǎn)二次根式。解：分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說(shuō)，這兩個(gè)代數(shù)

6、式互為有理化因子，如與，均為有理化因式。解：求值：例5：計(jì)算：分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運(yùn)算順序和有意識(shí)的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。解：（1）原式化簡(jiǎn)：例6：化簡(jiǎn)：分析：應(yīng)注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。解：例7：化簡(jiǎn)練習(xí)：解：化簡(jiǎn)求值：例8：已知：求：的值。分析：如果把a(bǔ)，b的值直接代入計(jì)算的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計(jì)算，然后將求值式子化為的形式。解：小結(jié)：顯然上面的解法非常簡(jiǎn)捷，在運(yùn)算過(guò)程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似

7、的解法在許多問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識(shí)的總結(jié)和積累。例9：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x24；【提示】先提取2，再用平方差公式【答案】 2（x）（x）x42x23【提示】先將x2看成整體，利用x2pxq（xa）（xb）其中abp，abq分解再用平方差公式分解x23【答案】（x21）（x）（x）例10、綜合應(yīng)用：如圖所示的RtABC中，B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)問(wèn)：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）【專項(xiàng)訓(xùn)練】：一、選擇題：在以下所給出的四個(gè)

8、選擇中，只有一個(gè)是正確的。1、成立的條件是：ABCD2、把化成最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果為：ABCD3、下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式為：ABCD4、已知t<1，化簡(jiǎn)得：ABC2D05、下列各式中，正確的是：ABCD6、下列命題中假命題是：A設(shè)B設(shè)C設(shè)D設(shè)7、與是同類根式的是：ABCD8、下列各式中正確的是：ABCD三、1、化簡(jiǎn)2、已知：求：拓展訓(xùn)練一、 分式，平方根，絕對(duì)值；1. 成立的條件是_2 當(dāng)a_時(shí)，；當(dāng)a_時(shí)，。3 若，則_；若，則_。4 把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為_(kāi)。5 把-3根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為_(kāi)。6 xy，那么化簡(jiǎn)為_(kāi)10.若與是同類二次根式，則a=_，b=_。11.

9、求使為實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)的值為_(kāi)。二、根式，絕對(duì)值的和為0；1. 若=0，則=_。2. 如果求的算術(shù)平方根。6.在ABC中，a，b，c為三角形的三邊，則=_。7.已知8.如果，則=_。三、分式的有理化1、已知x= ,y= ，求x2y2的值。5.已知，求下列各式的值； ； ； ;四、整數(shù)部分與小數(shù)部分1.的整數(shù)部分是_，小數(shù)部分是_。4.已知，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值。五、 根式，分式的倒數(shù)；1.已知x=4,求x的值。3. 若的值；六、轉(zhuǎn)換完全平方公式；1.已知，求的值3.已知x，y是實(shí)數(shù)，若axy-3x=y，求a的值；5、已知0 x1，化簡(jiǎn)：6、化簡(jiǎn)：1、； 2、；七、技巧性運(yùn)算1.2、計(jì)算的

10、結(jié)果是_4、已知，那么的值是_5、已知那么的值是_6、已知，求的值附：中考類型1、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有意義，則x的取值范圍是（）；Ax 0 Bx 0 Cx 0 Dx 0 2、使二次根式有意義的x的取值范圍是（）；ABCD；3一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為，則和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是（）；ABCD4、在電路中，已知一個(gè)電阻的阻值R和它消耗的電功率P.由電功率計(jì)算公式可得它兩端的電壓U為（）；5、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（） A、；B、；C、；D 、且；6函數(shù)的自變量的取值范圍是（）ABC D函數(shù)中自變量的取值范圍是（ ） A；B；C 且； D且；二、二

11、次根式的運(yùn)算問(wèn)題7、（09武漢市）二次根式的值是（）；AB或CD8、 (衡陽(yáng)市2009年)下面計(jì)算正確的是（）；ABCD9、(09年安順市)下列計(jì)算正確的是（）；ABCD10、(09太原市)計(jì)算的結(jié)果等于11、(黔東南州2009年)_；12、(09山西省)計(jì)算：13、(09年襄樊市)計(jì)算：備用題、（09綏化市）計(jì)算： .三、二次根式與絕對(duì)值、0指數(shù)冪等的混合運(yùn)算14、(09黔東南州)方程，當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是（）；A、；B、；C、；D、；15、（09嘉興市）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是_16、（09嘉興市）計(jì)算：17、(09臺(tái)州市)計(jì)算：四、二次根式與整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題：18、（09廣州市）先化簡(jiǎn)，再求

12、值：，其中19、（09孝感市）已知：求下列各式的值 （1）；（2）20、（09威海市）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中1、已知，求：的值；2、已知：，計(jì)算：（1） ；（2）五、二次根式與分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題：21、（09黔東南州）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中；22、(09恩施)求代數(shù)式的值：，其中23、（09泰安市）先化簡(jiǎn)、再求值：。24、（09黔東南州）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中；六、二次根式的探究規(guī)律問(wèn)題：25、我們看幾個(gè)等式：=1×4+1=5;=2×5+1=11; =3×6+1=19；仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能解釋這一規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想下面的結(jié)果：

13、=_.=（ ）×( ) ( )；=_.2011安徽，4，4分）設(shè)a=1，a在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，則這兩個(gè)整數(shù)是（ ）A1和2B2和3 C3和4 D4和5（2011山東煙臺(tái)，5,4分）如果，則（ ）Aa B. a C. a D. a2011安徽蕪湖，14，5分）已知、為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且，則2011四川內(nèi)江，加試1，6分）若，則的值是（2011山東德州12,4分）當(dāng)時(shí)，=_2011四川內(nèi)江，加試3，6分）已知，則2011四川涼山州，25，5分）已知為有理數(shù)，分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且，則2011湖北黃岡，3，3分）要使式子有意義，則a的取值范圍為_(kāi)下列運(yùn)算正確的是（ ）(黑龍江齊齊

14、哈爾09)A BC D若=(xy)2，則xy的值為( ) (09湖北荊門)(A) 1 (B)1 (C)2 (D)3化簡(jiǎn)：已知，求：的值；我們看幾個(gè)等式：=1×4+1=5;=2×5+1=11; =3×6+1=19；仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能解釋這一規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想下面的結(jié)果：=_.=（ ）×( ) ( )；=_.y=+2009，則x+y=化簡(jiǎn)：的結(jié)果為（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4.已知a<0，那么2a可化簡(jiǎn)為（ ）Aa Ba C3a D3a(2009年梅州市)如果，則=_.將根號(hào)外的a移到根號(hào)內(nèi)，得 (   )A. ；&#