幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)

1、幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)浙江省金華市江南中學(xué) 朱勝泉【摘要】“幾何畫板是一個動態(tài)討論和研究數(shù)學(xué)問題的工具，它可以模擬知識的發(fā)生過程，可以設(shè)計成一種實驗課。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，利用“幾何畫板輔助教學(xué)往往能起到事半功倍的效果。因此“幾何畫板對開展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、探索能力起著不可無視的作用?！娟P(guān)鍵詞】幾何畫板 高中數(shù)學(xué) 輔助教學(xué)幾何畫板為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了現(xiàn)代化的手段。它能使幾何圖形產(chǎn)生動態(tài)的變化，以揭示圖形內(nèi)在的聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)情境使學(xué)生“看到某些概念的形成過程，把抽象概念形象化，從而有利于學(xué)生的理解，提高教學(xué)效果。幾何畫板是數(shù)形結(jié)合方法的有效平臺。它還是一個動態(tài)討論和研究數(shù)學(xué)問題的工具，對開

2、展學(xué)生的思維能力，創(chuàng)新能力有著不可無視的作用。越來越多的教師和學(xué)生已經(jīng)感覺到了幾何畫板給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來了一些變化。1.應(yīng)用“幾何畫板使不容易講清的數(shù)學(xué)概念講清楚幾何畫板是一個教學(xué)工具，給數(shù)學(xué)教學(xué)提供了現(xiàn)代化的教學(xué)手段。以往不容易講清楚的教學(xué)概念適當(dāng)使用幾何畫板，可能容易使學(xué)生理解，從而提高了教學(xué)效果。 解析幾何中有些概念容易混淆，需要辨析。橢圓的離心角以下圖以O(shè)A為終邊的角與旋轉(zhuǎn)角橢圓的半徑與x軸的正半軸所成的角是學(xué)生容易混淆的兩個概念。幾何畫板能動態(tài)地顯示這兩角的關(guān)系。如以下圖，當(dāng)您緩慢拖動主動點A繞著點O轉(zhuǎn)動時，左上角顯示出這兩個角的大小都在改變?？梢允智宄乜闯觯涸诘谝幌笙迺r，>X

3、OM；當(dāng)A拖動到y(tǒng)軸的正向時，=XOM=90o;繼續(xù)拖動<XOM(A在第二象限)；當(dāng)A拖動到y(tǒng)軸的負向時，=XOM=180o;不必繼續(xù)，一個高二的學(xué)生自然知道：與XOM有四次“相等，其他都不等；可以用橢圓離心角的范圍來表示橢圓弧。2.用幾何畫板創(chuàng)設(shè)情境，形成概念數(shù)學(xué)概念是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是通過一定量具體的實際例子，對所發(fā)現(xiàn)的屬性進行抽象概括而成的.利用幾何畫板提供給學(xué)生一些動態(tài)的感性材料，呈現(xiàn)事物形成、變化、開展的全過程，凸現(xiàn)感知對象整體和各個局部以及它們之間的聯(lián)系，便于學(xué)生形成清晰的表象，揭示感知對象的本質(zhì)特征。例1：教師利用在課前制作好的幾何畫板畫出的的圖象。

4、給學(xué)生觀察以下圖：然后拖動點A，改變點A的橫坐標的大小也就是改變參數(shù)的大小，這時圖象跟著變化起來。適當(dāng)請學(xué)生注意時的圖像正好是一條直線需要時，還可以選中函數(shù)圖象，單擊顯示菜單的追蹤對象或者按Ctrl+T追蹤它，然后再拖動點A,觀察隨的變化圖象分布情況。 ()追蹤圖像 ()追蹤圖像讓學(xué)生通過動態(tài)的變換效果，從中總結(jié)出一般性的結(jié)論，再通過相關(guān)的習(xí)題強化訓(xùn)練，以進一步在視覺上加深對結(jié)論的印象。這樣，可以利用“幾何畫板制作的課件進行拖拉演示，使學(xué)生通過想象和“幾何畫板制作課件的演示，使很難理解的東西形象化、具體化，從而培養(yǎng)學(xué)生的想象能力。利用幾何畫板畫出函數(shù)圖象，并利用跟蹤功能感知、體會函數(shù)圖象的形成

5、過程，歸納函數(shù)圖象的定義。幾何畫板動態(tài)地展示了函數(shù)的圖象的形成過程，學(xué)生可以真實地看到函數(shù)的圖象實質(zhì)。3.用幾何畫板改善認知環(huán)境；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率計算機的交互性使學(xué)生有參與的時機，能調(diào)動學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)興趣，使其學(xué)習(xí)起來輕松愉快。例2：我們在進行“三角函數(shù)線的教學(xué)時這樣操作(如圖1)：首先要求學(xué)生測算出XOP的正弦、余弦、正切、余切函數(shù)值，接著再測算出點P、M、T、S的坐標，并將這些數(shù)據(jù)動態(tài)地展現(xiàn)在屏幕上。其次拖動點P(也可拖動點A)，讓學(xué)生觀察。此時學(xué)生即可發(fā)現(xiàn)：無論怎樣改變點P的位置，yP、xM、yT、xS均分別等于XOP的正弦、余弦、正切、函數(shù)值。這樣為培養(yǎng)學(xué)生的觀察、

6、想象、歸納等能力創(chuàng)設(shè)了極好的“情景，改善了認知環(huán)境，增強了教學(xué)的自主性和學(xué)生的參與性。4.應(yīng)用幾何畫板變靜態(tài)為動態(tài)應(yīng)用?幾何畫板?將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。在講二面角的定義時如圖2，當(dāng)拖動點A時，點A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力。在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程如圖3，更可以讓棱錐和棱臺都轉(zhuǎn)動起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關(guān)系

7、由棱錐的性質(zhì)得出棱臺的性質(zhì)的同時，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程如圖4，既防止了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力。在用祖暅原理推導(dǎo)球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識的同時，給人以美的感受，創(chuàng)立一個輕松、樂學(xué)的氣氛。 5.應(yīng)用幾何畫板開展“數(shù)形結(jié)合，變抽象為形象數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺少形時少直覺，形缺少數(shù)時難入微?！皵?shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，用圖形解釋抽象的數(shù)學(xué)現(xiàn)象形象、直觀。在

8、數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，有些知識太抽象，使學(xué)生只記住一些理論、符號、公式，而對具體事實及事物的本質(zhì)特征沒有完全感知，使感性與理性脫節(jié)。數(shù)學(xué)的抽象性往往是困擾學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大障礙，如何變抽象為形象，也一直是數(shù)學(xué)學(xué)科與信息技術(shù)整合的主要內(nèi)容之一。幾何畫板強大的計算、作圖功能以及個人電腦屏幕的的大尺寸、高分辨率為一些抽象的數(shù)學(xué)問題提供了直觀驗證的可能，成為幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)抽象性的有力工具。例3：2006年浦東新區(qū)高考模擬卷理最后一題第3題：當(dāng)時，就函數(shù)與的圖像的交點情況提出你的問題，并加以解決。說明：函數(shù)有如下性質(zhì)：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增解題過程中可以利用；將根據(jù)提出和解決問題的不同層次

9、區(qū)別給分。圖6圖7圖8此題的結(jié)論是：當(dāng)時，函數(shù)與的圖像有3個交點；當(dāng)時，函數(shù)與的圖像有1個交點具體解答從略但在課后，雖然學(xué)生成認結(jié)論的成立，但很多學(xué)生還是表現(xiàn)出難以信服的表情。有的同學(xué)雖然借助計算器計算有關(guān)數(shù)據(jù)得到了一定的直觀論證，但始終難以將時函數(shù)與的圖像的3個交點直觀的畫出來，迫切地吵著要我畫出直觀圖。究其原因，主要是手工畫圖誤差較大，即使TI圖形計算器，由于分辨率不高也不能到達很好的展示效果。為此，筆者借助幾何畫板自制課件：先作出點供參照；作連接原點和單位點的線段，在此線段上任取一點E，計算E點橫坐標xE；利用“圖表菜單“繪制函數(shù)功能畫出函數(shù) 和的圖像；拖動點E控制兩個函數(shù)的底xE在內(nèi)遞

10、減變化。直觀地演示了當(dāng)時的1個交點如圖6、到當(dāng)時的一個切點如圖7、直到時的3個交點如圖8的整個過程，有效地驗證了用數(shù)學(xué)方法解得的結(jié)論，同學(xué)們都露出了恍然大悟的微笑。6用幾何畫板能夠揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系靜態(tài)的圖形、圖像使原本相互聯(lián)系的關(guān)系可能割裂開來，不易揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，可能使學(xué)生只注意事物的局部而無視整體，通過幾何畫板的演示可以克服這一缺陷。例4：在講授函數(shù)yAsin(x+)+b的圖像時，要用幾個課時的時間分別對A、k的不同取值做出圖象，然后再“觀察總結(jié)，沒有動態(tài)的演示，沒有更多的比擬、更多的探索。yAsin(x十)中的變化時是一個曲線族。一般的傳統(tǒng)教學(xué)是取有限的幾個值，在同一坐標系

11、中分別作出它們的圖像，然后進行歸納。現(xiàn)在，利用?幾何畫板?(如圖2)，只要學(xué)生用鼠標拖動A、，改變其中任意一個值，就可以看到函數(shù)圖像連續(xù)變化的過程。7.應(yīng)用幾何畫板啟發(fā)學(xué)生思維能力運用幾何畫板分辨實質(zhì)，理解數(shù)學(xué)概念；突破難點，啟發(fā)學(xué)生思維。對容易混淆的數(shù)學(xué)概念使用計算機來認知、辨析就會變得更加清晰，有助于學(xué)生區(qū)分及正確認識和理解。推證三棱錐的體積公式是高中立體幾何的一個難點，沒有實物、沒有模型而憑空想象，是空間想象中最難的一種，是最高的思維境界。在教學(xué)的時候，如果給出實物讓學(xué)生去做實驗，效果會好些；但如果僅有實物，那么只可觀察外形，對于內(nèi)部結(jié)構(gòu)，以及如何用圖形來表示等問題都不是很容易解決的。利

12、用幾何畫板就可以給學(xué)生找出解決問題的有效途徑(如圖3)，只要雙擊展開、復(fù)原等按扭，或者拖動控點就能改變?nèi)庵耐庑?，以及對圖形進行分割、拼湊，既形象又直觀。在這一過程中，三棱錐與三棱柱的關(guān)系被幾何畫板淋漓盡致地動態(tài)演示出來了。給學(xué)生以非常直觀的印象，到達了過目不忘、記憶深刻的效果，既幫助學(xué)生進行正確的理解，也啟發(fā)了學(xué)生的思維。例5：點A(3,4)、B(3,2)，過點P(2,1)的直線l與線段AB有公共點。求直線l的斜率k和傾斜角的范圍。學(xué)生知道：直線l應(yīng)當(dāng)夾在直線PA與直線PB之間，因而需要先求得直線PA與直線PB的斜率和傾斜角分別為kPA1、kPB3，PA、PBarctan3然后寫出答案：a

13、rctan3l，1kl3或者3kl1(這是錯誤的!)。并且他們總是想不通為什么正確答案是kl1或者kl3。原因是他們總是這樣理解的：因為直線l是連續(xù)運動的，所以它的傾斜角和斜率也都應(yīng)當(dāng)是連續(xù)變化的。為了說明這個問題，我們運用了幾何畫板：讓學(xué)生動手操作并認真觀察，就能發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線的傾斜角為90°時，直線的斜率是不存在的，所以盡管傾斜角在連續(xù)改變，但其斜率并不是連續(xù)變化的。這樣既消除了疑惑，又加深、加快了對知識的理解，提高了學(xué)習(xí)的效率。8.應(yīng)用幾何畫板參與課堂教學(xué)，創(chuàng)新教學(xué)模式“一支粉筆寫天下，三尺講臺說春秋是以教師為中心的傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式。這種教學(xué)模式能夠充分地表達出教學(xué)中教的特性，有

14、利于系統(tǒng)知識的傳授，但它的缺乏是沒有充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，不利于學(xué)生智能的開展和創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生不能根據(jù)自己的興趣、愛好、能力和程度來選取信息、選擇學(xué)習(xí)途徑、確定學(xué)習(xí)內(nèi)容和數(shù)量并隨時調(diào)整自己的學(xué)習(xí)過程。另一種是師生合作的學(xué)習(xí)模式。教師的作用在于組織、引導(dǎo)、點拔；學(xué)生要通過自己的活動，通過觀察、實驗、歸納、抽象概括等手段，提出假設(shè)、檢驗假設(shè)、獲取知識。它充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，也表達了學(xué)生的主體地位。運用幾何畫板進行教學(xué)就能充分表達出師與生以及生與生的合作和交流。同時，也進一步融洽了師生關(guān)系。利用幾何畫板進行教學(xué)時，教師與學(xué)生之間的關(guān)系發(fā)生了變化：在網(wǎng)絡(luò)上活動的教師和學(xué)生一起成了學(xué)習(xí)

15、者。在幾何畫板中學(xué)習(xí)的學(xué)生把教師看成學(xué)習(xí)過程的參與者，而不僅僅是指導(dǎo)者。學(xué)生在這種環(huán)境中對教師的懼怕心理消失了，主觀能動性得到了發(fā)揮，他們不僅可以與同學(xué)進行學(xué)習(xí)交流，同時也可以同老師探討問題，從而形成了交互學(xué)習(xí)的氣氛。9.應(yīng)用幾何畫板給學(xué)習(xí)困難的學(xué)生提供反復(fù)學(xué)習(xí)的時機在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，教師很難突破時間和空間的限制來組織教學(xué)。由于學(xué)生在知識背景、學(xué)習(xí)方法、接受能力等多方面的差異，教師只能針對大多數(shù)學(xué)生所能理解的水平來講課，學(xué)習(xí)好的學(xué)生“吃不飽，學(xué)習(xí)差的學(xué)生“吃不了，問題也不能及時地反響，影響了教學(xué)效果，課堂學(xué)習(xí)的個別化幾乎無法實現(xiàn)。為了改變這種狀況，在教學(xué)?指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)?時，利用自制課

16、件在學(xué)校多媒體網(wǎng)絡(luò)教室進行教學(xué)(例1)。我首先要求學(xué)生對照教材進行自學(xué)，然后在課堂上讓學(xué)生自行操作，隨意改變底數(shù)a的取值，并觀察圖象的變化情況，最后歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。這樣，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下自行選擇學(xué)習(xí)的方式、學(xué)習(xí)順序和學(xué)習(xí)進度，真正實現(xiàn)了個別化教學(xué)。10.應(yīng)用幾何畫板做“數(shù)學(xué)實驗，開展數(shù)學(xué)研究例6：直線GE是過平面任意一點G和橢圓上任意一點E，求作直線和橢圓的交點F，在幾何畫板中，不能直接找出直線和橢圓的交點，這里通過幾何的思路找出直線和橢圓交點的一般方法。幾何構(gòu)造：1思路分析先請了解一下橢圓弦的幾何性質(zhì)。如圖：EF是橢圓的弦，其延長線交準線于P，F(xiàn)F1的延長線交準線于Q，那么F1P平分

17、QF1E。想一想：如果P、E、F1,你能否作出點F？如果您注意到點F是兩條直線的交點，只要作E關(guān)于直線QF1的對稱點，那么直線PE和直線的交點就是F。我們就用這樣的想法來構(gòu)造直線與橢圓的交點。2操作步驟：畫橢圓 ； 畫直線GE , E為橢圓上一點； 畫橢圓的準線 ；度量點A的橫坐標，并把度量結(jié)果的標簽分別改為a=5.57；度量點B的縱坐標，并把度量結(jié)果的標簽分別改為b=2.78；計算并把度量結(jié)果的標簽分別改為c=4.82；再計算，作出橢圓的左準線；畫直線GE與橢圓的另一交點 ；畫線段F1P，點P是直線GE和準線的交點對點E作反射變換線段F1P得到畫直線，

18、F1畫交點F直線GE，直線F13拓展研究利用這個圖形，可以研究弦EF中點G的軌跡，作E點的動畫并跟蹤D點，得以下圖拓展之二：線段EF上任一點的軌跡。事實證明，?幾何畫板?在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)概念變得直觀、形象，使學(xué)生從害怕、厭惡數(shù)學(xué)變成對數(shù)學(xué)喜愛并樂意學(xué)數(shù)學(xué)，進而通過做“數(shù)學(xué)實驗去模擬、驗證、探索。幾何畫板學(xué)習(xí)容易，操作簡單，功能強大，是高中數(shù)學(xué)教育中很有用的輔助教學(xué)工具。它能為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一個理想的教學(xué)情景和認知環(huán)境，具有傳統(tǒng)教學(xué)方法無法比擬的優(yōu)勢。使用幾何畫板演示教學(xué)內(nèi)容，能增強教學(xué)的直觀性，使課堂教學(xué)更加形象和生動。能將抽象的數(shù)學(xué)定理、空間圖形、變化關(guān)系通過具體的感性的信息表現(xiàn)出來，不僅能給學(xué)生留下深刻的印