怎樣做有用的輔助線

1、怎樣做有用的輔助線幾何定理的證明，除少數(shù)簡(jiǎn)易的以外，非添作有用的輔助線就 無從著手。輔助線的作法，千變?nèi)f化，沒有一定的方法可以遵守，所 以是證題時(shí)最感困難的一件事。普通幾何書中，為了無從說起，所以 寧肯可不說而不肯亂說，于是更使學(xué)者感覺頭痛了。這里為了便利初 學(xué)者起見，不得不敘述一些大要，但是難免掛一漏萬，只好等到下一 章里面再隨時(shí)提示，以作補(bǔ)救了。開始要講的是作輔助線的目的大概說來，添加輔助線的目的，最主要的是下列六種：（1）把已知關(guān)系的圖同要證明它們有關(guān)系的圖聚集一外， 使相互間 發(fā)生關(guān)系。范例5二線段平行而且相等，那么它們?cè)诘谌龡l線上的身影必相等。1假設(shè)：AB/ CD 且 AB=CD又

2、AE BF、CG DH都是 MN的垂線。求證：EF=GH思考已知相等的二線AB和CD同求證相等的二線EF和GH沒有聯(lián)系，但由假設(shè)及定理“垂直于同一直線的諸線必平行”，知道AE BF, CG DH是平行線，可以可作 EK/ AB, GL/ CD造成兩個(gè)平行四邊形，由“平行四邊對(duì)邊相等”得，EK=AB GL=CD這樣無異是把AB和CD移到EK和GL的位置，使與欲證的二線 EF和GH成為/ EFK和/ GHL的兩組對(duì)應(yīng)邊，要證EF=GH只要/EFQ/GHL就 得。證證敘述1 .作 EK/ AB, GL/ CD12. v AE/ BF, CG/ DH23. A AEKB CGLDfE是平行四邊形。4.

3、 EK=AB=CD=GL4.5. 又 EK/ GL5.6. AZ KEFK LGH6.7 .又/ KEFK GHL7.8.二 /EFK/GHL證理由從一點(diǎn)可作一直線的/線。丄同一線的二線必/。3. 兩組對(duì)邊各/的是平行四邊形平行四邊形對(duì)邊相等，又假設(shè)。由假設(shè)及1. /線的/線必/ /線的同位角相等。由假設(shè)，垂線間的直角相等。8. s.a.a二s.a.a證證9. EF=GH9.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。注意：學(xué)者試從A和C各作MN的平行線，看能否使已知的等線 和欲證的等線同樣發(fā)生關(guān)系。(2)造第三線或第三角，用作介紹,使欲證的兩線或兩角發(fā)生關(guān)系范例 6假設(shè)：/ A+Z E+Z C=360。求證：A

4、B/ CD思考從E作EF/ AB若能證得EF/DCD 就得 AB/ CD證敘述1 .從 E 作 EF/ AB1.理由從一點(diǎn)可作一直線的/線證證2 .則/ A+Z 仁 180°。/線同旁內(nèi)角相補(bǔ)。證證假設(shè)。等量減等量，差相等。同旁內(nèi)角相補(bǔ)的，二線/同一線的二線/。3 .但/ A+Z E+Z C=360。3.4. AZ CA+Z2=180°4.5. EF / CD5.6. A AB/ CD6.注意：學(xué)者試從E向左方作AB的平行線，看是否也能用來證明 AB/CD的關(guān)(3)造出題中所有的和，差，二倍量或半分量，以達(dá)到證題的目的。譬如前舉的范例1就是造成一線的半分量的，范例 4就是造

5、成二線的和的，又如下舉的范例7是造成一線的二倍量的。 范例7三角形的垂心同一角頂?shù)木嚯x，等于外心同這角的對(duì)邊距離的二倍。假設(shè)：在/ABC中,高AK BD交于G 邊的垂直平分線HE, HF交于H。求證：BG=2HE AG=2HF思考要證BG=2HE可設(shè)法另作一線等于2EH但若是延長(zhǎng)HE使成原成的二倍，則不能同 BG發(fā)生關(guān) 系，故宜另想辦法。由假設(shè) E是AC的中點(diǎn)，試聯(lián)CH延長(zhǎng)到L，使 HL=CH那么H是LC的中點(diǎn)，HE就成為/ CAL二邊中點(diǎn)的聯(lián)線，從“三角形二邊中點(diǎn)的聯(lián)線等于第三邊的一半”，就得LA=2HE細(xì)察LA同BG相線，知道可以證明它們是平行四邊形的對(duì)邊，于是本題就完全解決了證敘述理由1

6、.兩點(diǎn)間可聯(lián)一直線，直線可任意延長(zhǎng)。/兩邊中點(diǎn)聯(lián)線平行第三邊。丄于同一線的兩線/。/于同一線的兩線/。仿 2.-4.兩組對(duì)邊分別平行的是平行四邊形 平行四邊形對(duì)邊相等。/兩邊中點(diǎn)聯(lián)線等于第三邊一半 代入。仿 7.-9。1 聯(lián)CH,延長(zhǎng)到L,使HL=CH又聯(lián)LA, LB2. 貝ULA/ HE2.3. 但BD/ HE3.4. 二LA / BD4.5. 同理LB / AK.5.6. 二LAGB是平行四邊形。6.7. LA=GB7.8. 但 LA=2HE8.9. 二 BG=2EH9.10. 同理可證：AG=2HF10注意：學(xué)者試聯(lián)CQ取中點(diǎn)M，造成BG的半分量FM,看能不能證明(1) 造成新的等量，輔

7、助題設(shè)的等量，借得欲證的等量 范例8與范例3同。假設(shè)：在/ ABC中, / C=90° , DA=DB求證：DC=DA思考題設(shè)的等量?jī)H有DA=DB從此不能證得DC=DA試取AC的中點(diǎn)E,聯(lián)DE,就得一對(duì)新的等量 AE=EC又由“/兩邊中點(diǎn)聯(lián)線平行第三邊” ?！?線間的同位角相等”和直角的補(bǔ)角也 是直角“，得DE/ BC, / 1= / C=90° =Z 2。也是一對(duì)新的等量，從此可證 /ADECDE求證的等量就可以成立。證1.敘述理由證1.敘述理由敘述1. 取AC的中點(diǎn)E,聯(lián)接DE理由線段有一中點(diǎn)，二點(diǎn)可聯(lián)一直線證1.敘述理由證1.8.SaS=s.aS9.全等三角形對(duì)應(yīng)邊相

8、等。2. DE/ BC2.3. Z 1= / C=90°34.又/ 2=90 °4.5. / 1= / 2。5.6.又 AE=EC6.7.DE=DE7.8. / AD專 CDE9. DC=DA/兩邊中點(diǎn)聯(lián)線平行第三邊。/線間的同位角相等，又假設(shè)。 直角的補(bǔ)角也是直角。凡直角都相等。由1。恒等。證敘述理由證敘述理由M n i J A k(2)造成新的圖形，使能應(yīng)用某一特殊定理。范例9從三角形的三頂角向外一直線所引的三垂線的和，必等于重心向該直線所引垂線的三倍假設(shè)：在/ ABC中三中線AD BE CF相交于Q從A、B、C 0各向形外一直線XY作垂線 AG BH CK QL。求證

9、：AG+BH+CK=3CL思考本題若要想根據(jù)（3）造成一線等于三線的合或一線的三倍，無法達(dá)到目的故應(yīng)另想別法。由“垂直同一直線的各線平行”，知道求證的等式中 的四線都平行；又由“三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是過這頂點(diǎn)的中線的2 ”。知道BO=2OE于是可取BO的中點(diǎn)M 作MNLXY, EP丄XY,造 3成梯形MNPE BHLO AGKC各以O(shè)L, MN EP做中線，這樣一來，就能應(yīng)用“梯形的中線等于二底和的一半”的定理，證得所需要的等式。1.取DO的中點(diǎn)M作MNLXYEP丄 XY。1.線段有一中點(diǎn)，從一點(diǎn)可作一線 的垂線。2. BH/ MN/ OL/ AG/ EP/ CK2.垂直同一直線的諸線平行

10、。3.bm=mo=oee=ec3.三角形的重心定理，又假設(shè)。4. HN=NL=LPGP=PK4.諸平行線截一線成等分，則截任何線成等分。5. MN+EP=2OL5.梯形的中線定理。6.2MN+2EP=4OL6.等量的二倍相等。7.但 2MN=BH+OL7.同5.2EP=AG+CK。8. AG+BH+CK+OL=4OL8.以7.代入6.9. AG+BH+CK=3OL9.移項(xiàng)，化簡(jiǎn)。(6)改造圖形，變?cè)}成一比較易證的題。范例10若三角形的二邊不等，則大邊 同邊上的高的和，必大于小邊同這邊上 的高的和。假設(shè)：在/ ABC中, AB>AC BD, CE是求證：AB+CE>AC+BD思考若

11、在圖中造成一線等于 AB+CE另一線等于AC+BD結(jié)果無法 可證。于是變更原定理的終結(jié)，移項(xiàng)得AB-AC>BD-CE在大邊上取AF, 使等于小邊AC造成一線，BF=AB-AC同時(shí)作FG丄AC,使FH丄BD, 造成一線BH=BD-HD=BD-FG=BD-CE原題為求證BF>BH勺簡(jiǎn)易的題。證敘述理由1. 在AB上取AF=AC聯(lián)FC,作FG丄 AC FH 丄 BD1.2. ： FG/ BD, FH/ AG2.4. FG=CE4.5.但 FG=CE5.6.二 HD=CE6.7. BH=BD-HD=BD-C。 E7.8.又 BF=AB-AF=AB-AC89.但因 / FHB=90。9.3.

12、 二FHDG!平行四邊形。3.10.A BF>BH10.11. 即 AB-AC>BD-CE11.12. A AB+CE>AC+BD12.在大線段上可取一部分等于小線段, 二點(diǎn)間可聯(lián)一直線,從一點(diǎn)可作一線 的垂線。垂直于同一線的二線平行。 二組對(duì)邊各平行的是平行四邊形。 平行四邊形對(duì)邊相等。 等腰三角形兩腰上的高相等。 等于同量的量相等。 全量減去一部分得另一部分,代入。 同上。由1 .垂直線夾直角。直角三角形的斜邊最長(zhǎng)。以 7、8代入 10。移項(xiàng)。注意：學(xué)者試在 AB上取K,使BK=AC 從 K作KL丄AC MNL BD看是否可證。又在CA延長(zhǎng)線上取N,使CN=AB減在AC延

13、線上取P, 使AP=AB看是否可證。其次要講的是：輔助線的種類 普通是下列的十種：（ 1） 延長(zhǎng)一已知直線至任何長(zhǎng)， 或等于已知長(zhǎng)，或與其他的線相交。 例如前舉的范例 4 和 7。（2）聯(lián)結(jié)二已知點(diǎn)或定點(diǎn) （包含定直線的中點(diǎn)， 在定直線上與一端 的距離是定長(zhǎng)的點(diǎn)）。例如前舉的范例 1，7，8和 10。（3）從已知點(diǎn)作已知線或欲證的線的平行線。 例如前舉的范例 5 和6敘述1 .作AE平分/ Ao2 .貝U AE1BC3. / 3=Z44. 又 / B=Z B5. / 仁/2o16 .但/ 2= 1 / Ao217.A/ 仁丄 /A o2敘述1 .從C作直線CE使/ 2=Z 1o2. vZ 3=

14、Z 4, CD=CD3. 二/ BCD/ECD4. / 5=Z Bo5 .又/ B=Z Co6.AZ BCE2AoA(4) 從已知點(diǎn)作已知線或欲證的線的垂線。例如前舉的范例9和 10。(5) 作某角的平分線。例如下舉范例11的證法一。(6) 過一點(diǎn)作一直線，使與已知線所成的角等于已知角。 例如下舉 范例11的證法二。范例11等腰三角形腰上的高與底邊所夾的角, 等于頂角的一半。假設(shè)：在/ ABCh, AB二AC CDLAB求證：/ DCB= / A。2證法一理由1. 一角必有平分線。2. 等腰三角形頂角平分線垂直底邊。3. 垂線間的直角相等。4. 恒等。5. 兩個(gè)三角形兩組角相等，第三角相等。6

15、. 由 1o7. 代入。證法二理由1.從一點(diǎn)可作一線與已知線成角等于已知角。2. 直角相等，又恒等。3. a.s.a=a.s.a.4. 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。5. 等腰三角形的底角相等。6. 在/ ABC和/ BCE中，兩組角相等地,第三角也相等。7 .即2/仁/ A。7.以1.代入6。8. 二/仁丄/A。8.等量的半分量相等。2（7）從已知點(diǎn)作已知圓的切線。（8）題設(shè)有兩圓相交的，可作公弦。（9）題設(shè)有兩圓相切的，可作公切線或中心線。（10） 有四點(diǎn)可以共圓（即在一個(gè)圓周上）的，過這四點(diǎn)作輔助圓。以上四種的例題，都見下章。最后再談一談：作輔助線時(shí)應(yīng)注意的各點(diǎn)有如下的三種：（1）有用的輔助線應(yīng)該是有目的的，若隨便亂作，非但對(duì)證題 沒有幫助，還會(huì)使圖形一團(tuán)亂絲，由于視覺的受到陰礙，思想就不易 納入正軌，初學(xué)的人應(yīng)特別注意。（2）添加輔助線須依據(jù)基本作圖法，沒有基本作圖法的線絕對(duì)不能作。譬如在范例8中，根據(jù)的作圖法是“求一已知線段的中點(diǎn)”和“以 直線聯(lián)二定點(diǎn)”，都是有合理的手續(xù)的。若不說“取 AC的中點(diǎn)E,聯(lián) 直線DE，換作a. 作AC的垂直平分線DEb. 從 D作 DE/ BC,使 AE=ECc. 從 D作 DE1A