微積分課件：9-2,9-3 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法

1、一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂四、小結(jié)四、小結(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有如如果果級級數(shù)數(shù)01 nnnuu這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù)這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù). .2.2.基本定理基本定理.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級數(shù)收斂正項(xiàng)級數(shù)收斂ns( (1 1) ) 若若 1nnv收收斂斂, ,且且自自某某項(xiàng)項(xiàng)起起有有nnvu , , 則則 1nnu也也收收斂斂； ( (2 2) ) 若若 1nnu

2、發(fā)發(fā)散散，且且自自某某項(xiàng)項(xiàng)起起有有nnvu , , 則則 1nnv也也發(fā)發(fā)散散. . 證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu均為正項(xiàng)級數(shù)，均為正項(xiàng)級數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu3.比較審斂法比較審斂法1:nvvv 21nns 則則)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv定理證畢定理證畢.比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 須有參考級數(shù)須有參考級數(shù)(基本級數(shù)基本級數(shù))例例 1 1 討討論論 P P- -級級數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解

3、解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級數(shù)收斂級數(shù)收斂則則 P 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級數(shù)級數(shù),1,1ppP重要基本級數(shù)重要基本級數(shù): : 等比級數(shù)等比級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù)例例 2 2 證明級數(shù)證明級數(shù) 1)1(1nnn是發(fā)散的是發(fā)散的.證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)散發(fā)散而級數(shù)而級數(shù).)1(11 nnn發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) 11)1(1,1

4、,1)1(1:nnnnnnnn發(fā)散發(fā)散得出得出發(fā)散發(fā)散但不能由但不能由注注4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式( (比較審斂法比較審斂法2) :2) :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對于對于,N ,時(shí)

5、時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.例例 3 3 判判定定下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.例例: :與與等等比比級級數(shù)數(shù)作作比比較較, ,判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性n nn nn 1n 1n nn nn 1n 1nnnnn 1n 1(1)2 sin(1

6、)2 sin3 31 1(2) 2 ln(1)(2) 2 ln(1)3 31 1(3)(3)8686 例例: :與與p-p-級級數(shù)數(shù)作作比比較較, ,判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性 n 1n 1n nn 1n 12 22 2n 1n 1n3n3(1)(1)n(n1)(n2)n(n1)(n2)(2)( 21)(2)( 21)(3)n (1cos)(3)n (1cos)n n設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .證明證明,為有限數(shù)時(shí)為有限數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0 對對

7、,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收斂收斂而級數(shù)而級數(shù),11收斂收斂 NnummNuu收斂收斂, 1 取取, 1 r使使,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn): 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 兩點(diǎn)注意兩點(diǎn)注意:1 1. .當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)例例 nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn)1( n n含含n!,an!,a

8、常常用用,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .解解),( n(1)!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nnnnss1nnn1nnan)1n(alimuulim 解解a 收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1a 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1a ,1a時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 1nsn1原級數(shù)原級數(shù) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂1s 1s 設(shè)設(shè)

9、1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim)( 為為數(shù)數(shù)或或 , ,則則1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 11nnnnnnnnnn1limulim : 解解101lim nn級數(shù)收斂級數(shù)收斂.1 時(shí)級數(shù)發(fā)散時(shí)級數(shù)發(fā)散; ; 1 時(shí)失效時(shí)失效. .例例5:判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性常用常用含含 a,n nn判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性例例 :6nn1n 1412312!2!(1) ,limn1(2) nn(3) n1ncos(4) 2nnnnnnnnnnnn 并并求求二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù)

10、正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級數(shù)收斂于和級數(shù)收斂于和),(21 nnnuur余項(xiàng)余項(xiàng),21 nnnuur滿足收斂的兩個(gè)條件滿足收斂的兩個(gè)條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.解解2)1(2)1()1( x

11、xxxx)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂定義定義: : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù). .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.上定理的作用：上定理的作用：任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)定義定義: :若若 1nnu收

12、斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .nn 1nn 1n 1n 1: , ,nnuuuu注注 若若發(fā)發(fā)散散 則則未未必必發(fā)發(fā)散散但但若若用用比比值值( (根根值值) )判判別別法法判判定定發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí) 則則發(fā)發(fā)散散11:limlim)nnnnnnnnuuuu 定定理理 對對級級數(shù)數(shù)滿滿足足（或或絕對收斂絕對收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 1nnu,1發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 1nnu,1解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知

13、原級數(shù)絕對收斂.例例9 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性,若收斂若收斂,是絕對收斂還是是絕對收斂還是 條件收斂條件收斂n1n121(-1)1(1) lnn(2) (-1) (1)1(3) sin( n)nnnnnnnn 的斂散性的斂散性討論討論設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù)例例 1n2nnnk(-1)0,k 10的斂散性的斂散性討論討論收斂收斂且且設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù)例例 1n2nn1n2nna)1(,a0, 11四、小結(jié)四、小結(jié)正正 項(xiàng)項(xiàng) 級級 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)審審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較審斂法比較審斂法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)(萊布

14、尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun思考題思考題 設(shè)設(shè)正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 能能否否推推得得 12nnu收收斂斂? ?反反之之是是否否成成立立? ?思考題解答思考題解答由由正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散.一、一、 填空題填空題: :1 1、 p級數(shù)當(dāng)級數(shù)當(dāng)_時(shí)收斂時(shí)收斂, ,當(dāng)當(dāng)_時(shí)發(fā)

15、散；時(shí)發(fā)散；2 2、若正項(xiàng)級數(shù)、若正項(xiàng)級數(shù) 1nnu的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的根的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的根 等于等于, , 則當(dāng)則當(dāng)_時(shí)級數(shù)收斂；時(shí)級數(shù)收斂；_時(shí)級數(shù)發(fā)散；時(shí)級數(shù)發(fā)散； _時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . .二、二、 用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .練練 習(xí)習(xí) 題題三、三、 用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn.

16、 .四、四、 用根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判別下列級數(shù)的收斂性判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六、六、 判別下列級數(shù)是否收斂判別下列級數(shù)是否收斂? ?如果是收斂的如果是收斂的, ,是絕對收是絕對收斂還是條件收斂斂還是條件收斂? ?1 1、 1113)1(nnnn；2 2、 5ln14ln13ln12ln1；3 3、 2ln)1(nnnn. .七、若七、若nnun2lim存在存在, ,證明證明: :級數(shù)級數(shù) 1nnu收斂收斂 . .八、證明八、證明: :0!lim3 nnnanb