數(shù)學(xué)名師葉中豪整理高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何講義

1、高中平面幾何葉中豪學(xué)習(xí)要點(diǎn)幾何問題的轉(zhuǎn)化圓冪與根軸Ptolemy定理及應(yīng)用幾何變換及相似理論位似及其應(yīng)用完全四邊形與Miquel點(diǎn)垂足三角形與等角共軛反演與配極，調(diào)和四邊形射影幾何復(fù)數(shù)法及重心坐標(biāo)方法例題和習(xí)題1四邊形ABCD中，AB=BC，DEAB，CDBC，EFBC，且。求證：2EF=DE+DC。（10081902.gsp）2已知相交兩圓O和O交于A、B兩點(diǎn)，且O恰在圓O上，P為圓O的AOB弧段上任意一點(diǎn)。APB的平分線交圓O于Q點(diǎn)。求證：PQ2=PAPB。（10092401-1. gsp）3設(shè)三角形ABC的Fermat點(diǎn)為R，連結(jié)AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九點(diǎn)圓心分

2、別為D，E，F(xiàn)，則三角形DEF為正三角形。（10082602.gsp）4在ABC中，已知A的內(nèi)角平分線和外角平分線分別交外接圓于D、E，點(diǎn)A關(guān)于D、E的對(duì)稱點(diǎn)分別為F、G，ADG和AEF的外接圓交于A和另一點(diǎn)P。求證：AP/BC。（10092102.gsp）5圓O1和圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，P是直線AB上一點(diǎn)，過P作兩圓作切線，分別切圓O1和圓O2于點(diǎn)C、D，又兩圓的一條外公切線分別切圓O1和圓O2于點(diǎn)E，F(xiàn)。求證：AB、CE、DF共點(diǎn)。（10092201.gsp）6四邊形ABCD中，M是AB邊中點(diǎn)，且MC=MD，過C、D分別作BC、AD的垂線，兩條垂線交于P點(diǎn)，再作PQAB于Q。求證：PQC

3、=PQD。（10081601-26.gsp）7已知RTABDRTADC，M是BC中點(diǎn)，AD與BC交于E，自C作AM垂線交AD于F。求證：DE=EF。（10083001.gsp）8在ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點(diǎn)，E是ABC外一點(diǎn)，滿足CEAB，BE=BD。過線段BE的中點(diǎn)M作直線MFBE，交ABD的外接圓的劣弧AD于點(diǎn)F。求證：EDDF。（2010年女子競賽）（10081601-4.gsp）9設(shè)圓I1是ABC的BC邊外的旁切圓，D、E、F分別是切點(diǎn)，若I1D與EF交于P點(diǎn)。求證：AP平分底邊BC。（10082001-8.gsp）10如圖，O切ABC的邊AB于點(diǎn)D，切邊AC于點(diǎn)C，M是邊

4、BC上一點(diǎn)，AM交CD于點(diǎn)N求證：M是BC中點(diǎn)的充要條件是ONBC。（09031302.gsp）11已知：BC是圓上的定弦，而動(dòng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是AC中點(diǎn)，作MPAB于P。求P點(diǎn)的軌跡。（10081601-4.gsp）12ABC外接圓為圓O，P為AB上一點(diǎn)，過P分別作OA、OB的垂線，與AC、BC交于S、T，與AB交于M、N。求證：PM=MS的充要條件是PN=NT。（10081601-3.gsp）13在ABC中ACBC，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，過F作它的外接圓直徑DE，使得C、E在AB同一側(cè)，又過C做AB的平行線交DE于L。求證 ：(AC+BC) 24DLEF。 （09011003.gsp）14已知

5、：P是垂直ABC外接圓BC弧上任意一點(diǎn)，PDBC于D，PECA于E，PFAB于F。求證：(BC/PD)(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）15已知O是ABC的外心，M是BC邊中點(diǎn)，D是OM延長線上一點(diǎn)，滿足DO=DB，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，滿足MEA=MFA=A。求證：ADEF。（10080302.gsp）16已知ABC中，ABAC，線段AB上有一點(diǎn)D，線段AC延長線上有一點(diǎn)E，使得DEAB。線段DE與ABC的外接圓交于點(diǎn)T，P是線段AT延長線上的一點(diǎn)。求證：點(diǎn)P滿足PDPEAT的充要條件是P在ADE的外接圓上。（2000年國家集訓(xùn)隊(duì)）（1008220

6、1-1.gsp）17已知ABC中，內(nèi)心I關(guān)于BC邊中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為I，S是BC弧（不含A點(diǎn)）中點(diǎn)，直線SI交ABC的外接圓于另一點(diǎn)P。求證：P點(diǎn)到ABC較遠(yuǎn)的頂點(diǎn)距離等于到另兩個(gè)頂點(diǎn)距離的和。（10082201-5.gsp）18在ABC外作DBCECAFAB，聯(lián)結(jié)AD、BE、CF。求證：AF+FB+BD+DC+CE+EAAD+BE+CF。（10081601-2.gsp）19過ABC內(nèi)一點(diǎn)O引三邊AB、BC、CA的平行線與其它兩邊的交點(diǎn)分別為E、F、G、H、I、K，過O作ABC的外接圓的弦AL。求證：OEOFOGOHOIOKOAOL。（09042002.gsp）20一小圓內(nèi)切大圓于點(diǎn)N，BA、B

7、C是大圓的兩條弦，且分別切小圓于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中點(diǎn)分別為Q、P，又設(shè)BQK、BPM外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B1。求證：BPB1Q為平行四邊形。（10082001-1.gsp）21圓O與圓O1、圓O2同時(shí)相切，切點(diǎn)為S、T，圓O1與圓O2交于A、B兩點(diǎn)，且圓O2的圓心恰在圓O1上。設(shè)公共弦AB延長交圓O于C、D兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)SC、SD分別交圓O1于P和Q。求證：PQ與圓O2相切。（40屆IMO）（10082001-12.gsp）22設(shè)KL、KN是圓O的切線，M是KN延長線上一點(diǎn)，過K、L、M三點(diǎn)的圓與圓O交于P，作NQLM于Q。求證：MPQ=2NML。（98年伊朗競賽）（10081601-

8、5、6.gsp）（09022203.gsp）23設(shè)ABC內(nèi)接于圓O，過O作OEBC交圓O于E，交AB于F，交AC延長線于G。過G作圓O的切線GT，T為切點(diǎn)。求證：TFGE。（10092104.gsp）24已知圓O外一點(diǎn)P向圓O作切線PA、PB和一條割線PEF，M是EF上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM延長交圓O于C。求證：AC/PEF的充要條件是M為EF中點(diǎn)。（10092401-6.gsp）25過點(diǎn)P任作圓O的兩條割線PAB、PCD，直線AD與BC交于Q，弦DE/PQ，BE交PQ延長線于M。求證：OMPQ。（10092103-1.gsp）26如圖，設(shè)O1與O2交于AB兩點(diǎn)。AC是O2的切線，交O1于C點(diǎn)。AD是

9、O1的切線，交O2于D點(diǎn)。過A任作直線，交O1、O2及經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的圓分別于M、N、P。求證：AM=NP。（10091002-6.gsp）27兩圓圓O1和圓O2相交于M、P，過M作圓O2的切線交圓O1于A；又過M作圓O1的切線交圓O2于B，在直線MP上截取PH=MP。求證：四邊形MAHB內(nèi)接于圓。（10091002-1.gsp）28已知兩個(gè)半徑不等的圓O1和圓O2相交于M、N兩點(diǎn)，且圓O1和圓O2分別與圓O內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：OMMN的充要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。（1997年全國聯(lián)賽）（10090301-3.gsp）29設(shè)以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A和C，且與邊AB、BC分

10、別交于K和N，又設(shè)ABC和KBN的外接圓交于B和另一點(diǎn)M。求證：OMB=90。 （1985年IMO）（10090301-1.gsp）30已知：在OAB與OCD中，OA=OB，OC=OD，直線AB與CD交于點(diǎn)P，PAC與PBD的外接圓交于P、Q兩點(diǎn)。求證：OQPQ。（09022301.gsp）31已知半圓圓心為O，直徑為AB，一直線交半圓于C、D，交AB延長線于P，設(shè)M是AOC與BOD外接圓除O點(diǎn)外的另一交點(diǎn)。求證：OMMP。（10091001.gsp）32凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，兩組對(duì)邊所在直線分別交于點(diǎn)E、F，對(duì)角線AC、BD交于G，作GHEF于H，圓O的弦MN經(jīng)過G點(diǎn)。求證：GH與圓O

11、交點(diǎn)恰是HMN的內(nèi)心。（10092103-2.gsp）33O為ABC的外接圓，P為劣弧AB上一點(diǎn)，E、F分別為AC、AB延長線上的點(diǎn)，BE、CF交于D，PE、PF分別交O于S、R。若AD、BC、RS共點(diǎn)，求證：點(diǎn)D在O上。（10090801.gsp）（10092103-8.gsp）34已知：D、E、F分別在ABC三邊上，滿足EBED，F(xiàn)CFD，O是ABC外心。求證：A、E、O、F四點(diǎn)共圓。（09033102.gsp）35如圖，設(shè)N是ABC的BAC弧中點(diǎn)，M是BC邊中點(diǎn)，I是ABC的內(nèi)心。求證：ANI2IMC。（09021701.gsp）36設(shè)T為ABC的內(nèi)切圓與BC邊的切點(diǎn)，D為BC上任一點(diǎn)，

12、I1、I2分別為ABD、ACD的內(nèi)心。求證：T I1T I2。（10081701-9.gsp）37矩形ABCD中，ABAC。P是以為AB直徑的半圓上任意一點(diǎn)，PC、PD分別交AB于F、E。求證：AE2BF2AB2。（09013001.gsp）38 AB是圓O的直徑，P是過B所作切線上的任一點(diǎn)，過P作圓O的割線PCE，聯(lián)結(jié)直線PO分別交AC、AD于E、F。求證：OE=OF。（10081001-4.gsp）39自圓O外一點(diǎn)P作切線PA、PB及割線PCD，自C作PA的平行線，分別交AB、AD于E、F。求證：CE=EF。（10081001-5.gsp）40A為圓O上一點(diǎn)，B為圓外一點(diǎn)，BC、BD分別相

13、切圓O于C、D，DE垂直AO于E，DE分別交AB、AC于F、G。求證：DFFG。（09042001.gsp）41P為圓外一點(diǎn)，PA、PD為切線，PCE為割線。過D作PA的平行線，分別與AC延長線及線段AE交于B、F。求證：D為BF中點(diǎn)。（09031302.gsp）42已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）內(nèi)兩點(diǎn)，滿足ABP=QCB，且ACP=QBC。求證：A、P、Q三點(diǎn)共線。（10090101-1.gsp）43已知銳角ABC中，AD是高，O是外心，AO的延長線交過O、B、C三點(diǎn)的圓于P，自P作PEAB于E，PFAC于F。求證：DEPF是平行四邊形。（10091701.gsp）44已知E、F

14、是圓內(nèi)接四邊形ABCD對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，自E分別作BC、AD的垂線，垂足記為P、Q。求證：MP=MQ。（10091701-1.gsp）45AD為ABC內(nèi)角平分線，I1、I2為ABD、ACD的內(nèi)心，以I1I2為底向BC邊作等腰E I1I2，使得I1EI2BAC。求證：DEBC。（10081701-1.gsp）46已知P是凸四邊形內(nèi)一點(diǎn)，滿足PAB=CAD，PCB=ACD。求證：PB=PD的充要條件是ABCD四點(diǎn)共圓。（2004年IMO）（10091701-6.gsp）（09030801.gsp）47已知D是ABC底邊BC上任一點(diǎn)，P是形內(nèi)一點(diǎn)，滿足1=2，3=4。求證：(PB

15、/PC)=(AB/AC)。（09030801.gsp）48已知：D是ABC的BC中垂線上一點(diǎn)，I1、I2是ABD、ACD的內(nèi)心，E是ABC外接圓弧BAC的中點(diǎn)。求證：A、E、I1、I2四點(diǎn)共圓。（08081201.gsp）49如圖，ABC中，M為BC的中點(diǎn)，以AM為直徑的圓分別與AB、AC交于E、F兩點(diǎn)，圓在E、F兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)D。求證：DMBC。（09013101.gsp）50已知：O兩切線PA、PB和一割線PCD，AD、AP交C處的切線于E、F，BE交DF于K。求證：K在圓O上。（09022201.gsp）51設(shè)O1與O2交于C、D。過D的直線交O1與O2于A、B。點(diǎn)P在弧AD上，PD與

16、AC的延長線交于M，Q在弧BD上，QD與BC的延長線交于N，O為ABC外心。求證：MNOD是P、Q、M、N四點(diǎn)共圓的充要條件。（09020401.gsp）52設(shè)X是P點(diǎn)的Simson線關(guān)于ABC的垂極點(diǎn)。求證：XP被Simson線所平分。（09031903.gsp）53已知：AD是高，O、H是外心和垂心，過D作OD垂線，交AC于E。求證：DHE=C。（09022202.gsp）54ABC中，AD為邊BC上的中線，E、F、G分別為AB、AC、AD上的點(diǎn)，且A、E、G、F四點(diǎn)共圓。設(shè)BDE外心為O1、半徑為r1；CDF外心為O2、半徑為r2。求證：GO12GO22r12r22。（09031401.

17、gsp）55已知P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，A1、B1、C1分別是圓弧BPC、CPA、APB的中點(diǎn)。求證：P、A1、B1、C1四點(diǎn)共圓。（09042401.gsp）56給定ABC，D、E、F是邊BC、CA、AB上的任意三點(diǎn)，M、N分別是BDF、CDE的外心。P、Q分別是BC、MN上的點(diǎn)，滿足(BP/PC)=(MQ/QN)。AP與AEF相交于R點(diǎn)。求證：（1）QR=QD；（2）RQD=2APC。（09042601.gsp）57已知O1與O2交于C、D兩點(diǎn)，A、B分別是兩圓上的點(diǎn)，滿足PAPB，E、F是弧AQ、BQ中點(diǎn)。求證：C、D、E、F四點(diǎn)共圓。（09022001.gsp）58ABC中，D、E、F是邊B

18、C、CA、AB的中點(diǎn)，X、Y、Z是各邊上高的垂足，EZ與FY交于L，F(xiàn)X與DZ交于M，DY與EX交于N。求證：L、M、N三點(diǎn)共線。（10092101.gsp）59設(shè)ABC的內(nèi)切圓分別與三邊切于D、E、F，聯(lián)結(jié)AD交內(nèi)切圓于另一點(diǎn)P，聯(lián)PB、PE、PF。求證：PF/BC的充要條件是BPD=EPD。（10091002-7.gsp）60已知ABC和任意直線d，自A、B、C作d的垂線，垂足分別為A、B、C； 再自A、B、C分別作對(duì)邊BC、CA、AB的垂線，設(shè)這三條垂線共點(diǎn)于H。在d上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，自M作d的垂線，分別交AB、AC所在直線于K、L。在線段BK、CL及HA延長線上分別取分點(diǎn)P、Q、X，滿足(BP/PK)=(CQ/QL)=(HA/AX)。求證：XMPQ。（09031602.gsp）61已知ABCD是等腰梯形，P是其底邊BC上任意一點(diǎn)，E、F兩點(diǎn)分別位于AB、AC上，滿足EBEP，F(xiàn)PFC。聯(lián)接EF，并作P點(diǎn)關(guān)于EF的軸對(duì)稱點(diǎn)Q。求證：DQPQ。（09041401.gsp）62設(shè)D、E分別為ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PEPC，DEPPCA。求證：BP是PAD的外接圓的切線。（09