第三講層次分析法及差分方程模型

1、層次分析法及差分方程模型層次分析法及差分方程模型1 層次分析法層次分析法2 差分方程模型差分方程模型y3.1 層次分析法層次分析法背背景景 日常工作、生活中的決策問題日常工作、生活中的決策問題 涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素 作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化大的作用，各因素的重要性難以量化 Saaty于于1970年代提出層次分析法年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種一種定性與定量相結(jié)合的、定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化系統(tǒng)化、層次化的分析方法的分析方

2、法層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣用成對(duì)比較法和用成對(duì)比較法和19尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的成對(duì)比較陣。成對(duì)比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量（層次單排序）并作一致性檢驗(yàn)）計(jì)算權(quán)向量（層次單排序）并作一致性檢驗(yàn)對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算

3、最大特征根和特征向量，作一致性對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（層次總排序）并作一致性檢驗(yàn)）計(jì)算組合權(quán)向量（層次總排序）并作一致性檢驗(yàn)*組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。例例1. 1. 選擇旅游地選擇旅游地如何在海南、哈爾濱及九寨溝如何在海南、哈爾濱及九寨溝3 3個(gè)目的個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇旅游的目的地？素選擇旅游的目的地？“選擇旅游地選擇旅游地”思維過程的歸納思維過程的歸納 將決策問題分為將決策問題分為3個(gè)

4、層次：目標(biāo)層個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層，準(zhǔn)則層C，方案層方案層P；每層有若干元素，；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。用相連的直線表示。 通過相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方通過相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。 將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。目標(biāo)層目標(biāo)層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2哈爾濱哈爾濱P

5、1海南海南P3莫高窟莫高窟準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C2費(fèi)用費(fèi)用C4飲食飲食C5旅途旅途Step 1Step 1：構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)模型：構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)模型層次結(jié)構(gòu)模型層次結(jié)構(gòu)模型2 4 6 8比較尺度比較尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反數(shù)及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍強(qiáng)稍強(qiáng) 強(qiáng)強(qiáng) 明顯強(qiáng)明顯強(qiáng) 絕對(duì)強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性與上面相反的重要性與上面相反 心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不

6、宜超過9個(gè)個(gè) 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)。尺度較優(yōu)。 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：Step 2Step 2：構(gòu)造判別矩陣：構(gòu)造判別矩陣1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)( 元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度 設(shè)要比較各準(zhǔn)則設(shè)要

7、比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對(duì)目標(biāo)對(duì)目標(biāo)O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對(duì)比較陣成對(duì)比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1, , Cn對(duì)對(duì)O的權(quán)向量的權(quán)向量選選擇擇旅旅游游地地Step 2Step 2：構(gòu)造判別矩陣：構(gòu)造判別矩陣wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成對(duì)比較完全一致的情況成對(duì)比較完全一致的情況nkjiaaaikjkij, 2 , 1,滿足滿足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致陣，如，如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n 的特征向量的特征向量

8、A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致對(duì)于不一致( (但在允許范圍內(nèi)但在允許范圍內(nèi)) )的成對(duì)的成對(duì)比較陣比較陣A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根 的特征向量作為權(quán)向量的特征向量作為權(quán)向量w ，即，即一致陣一致陣性質(zhì)性質(zhì)成對(duì)比較陣和權(quán)向量成對(duì)比較陣和權(quán)向量nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成對(duì)比較的不一致情況成對(duì)比較的不一致情況):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比較一致比較不一致不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不一

9、致的允許范圍考察完全一致的情況考察完全一致的情況nwwwW,) 1(21jiijwwa/令權(quán)向量),(21Tnwwww成對(duì)比較陣和權(quán)向量成對(duì)比較陣和權(quán)向量對(duì)對(duì)A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍已知：已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為n可證：可證：n 階正互反陣最大特征根階正互反陣最大特征根 n, 且且 =n時(shí)為一致陣時(shí)為一致陣1nnCI定義一致性指標(biāo)定義一致性指標(biāo):CI 越大，不一致越嚴(yán)重越大，不一致越嚴(yán)重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大

10、小，引入的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI隨機(jī)模隨機(jī)模擬得到擬得到aij , 形成形成A，計(jì)算，計(jì)算CI 即得即得RI。定義一致性比率定義一致性比率 CR = CI/RI 當(dāng)當(dāng)CR0.1時(shí)，通過一致性檢驗(yàn)時(shí)，通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下的結(jié)果如下Step 3Step 3：一致性檢驗(yàn)：一致性檢驗(yàn)“選擇旅游地選擇旅游地”中中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)向量及一致性檢驗(yàn)1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣成對(duì)比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權(quán)向量權(quán)向量( (特征向量

11、特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標(biāo)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通過一致通過一致性檢驗(yàn)性檢驗(yàn)組合權(quán)向量組合權(quán)向量記第記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）層（目標(biāo)）的權(quán)向量為的權(quán)向量為Tnwww),()2()2(1)2(同樣求第同樣求第3層層(方案方案)對(duì)第對(duì)第2層每一元素層每一元素(準(zhǔn)則準(zhǔn)則)的權(quán)向量的權(quán)向量12/15/1212/15211B方案層對(duì)方案層對(duì)C1(景色景色)的成對(duì)比較陣的成對(duì)比較

12、陣1383/1138/13/112B方案層對(duì)方案層對(duì)C2(費(fèi)用費(fèi)用)的成對(duì)比較陣的成對(duì)比較陣CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 權(quán)向量權(quán)向量 w1(3) w2(3) wn(3) 第第3層對(duì)第層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果層的計(jì)算結(jié)果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量組合權(quán)向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗(yàn)均可通過一致性檢驗(yàn) w(2) 0.2630.

13、4750.0550.0900.110方案方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.595 0.263+ =0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)TTnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw組合組合權(quán)向量權(quán)向量第第1層層O第第2層層C1,Cn第第3層層P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2層對(duì)第層對(duì)第1層的權(quán)向量層的權(quán)向量第第3層對(duì)第層對(duì)第2層各元素的權(quán)向量層各元素的權(quán)向量,)3()3(1)3(nwwW構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣則第則第3層對(duì)第層對(duì)第1層的組合權(quán)向量層的組合

14、權(quán)向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s層對(duì)第層對(duì)第1層的組合權(quán)向量層的組合權(quán)向量其中其中W(p)是由第是由第p層對(duì)第層對(duì)第p-1層權(quán)向量組成的矩陣層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。2）構(gòu)造成對(duì)比較陣）構(gòu)造成對(duì)比較陣用成對(duì)比較法和用成對(duì)比較法和19尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的尺度，

15、構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的成對(duì)比較陣。成對(duì)比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。二二. . 層次分析法的廣泛應(yīng)用層次分析法的廣泛應(yīng)用 應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，人才選

16、拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。 處理問題類型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。處理問題類型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。策層參與。 構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。斷力強(qiáng)的專家給出。工作滿意程度工作滿意程度研研發(fā)發(fā)課課題題發(fā)發(fā)展展前前途途待待遇遇同同事事情情況況地地理理位位置置單單位位名名氣氣供選擇的崗位供選擇的崗位（崗位（崗位1、崗位、崗位2及崗位及崗位3

17、）練習(xí)：練習(xí)： 工作選擇工作選擇準(zhǔn)則層的判斷矩陣準(zhǔn)則層的判斷矩陣方案層的判斷矩陣方案層的判斷矩陣層次總排序的結(jié)果層次總排序的結(jié)果 ( (見見 choose of work.m) choose of work.m)國家綜合實(shí)力國家綜合實(shí)力國民國民收入收入軍事軍事力量力量科技科技水平水平社會(huì)社會(huì)穩(wěn)定穩(wěn)定對(duì)外對(duì)外貿(mào)易貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國美、俄、中、日、德等大國補(bǔ)充例補(bǔ)充例2 國家實(shí)力分析國家實(shí)力分析過河的效益過河的效益 A經(jīng)濟(jì)效益經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益社會(huì)效益B2環(huán)境效益環(huán)境效益B3節(jié)節(jié)省省時(shí)時(shí)間間C1收收入入C2岸岸間間商商業(yè)業(yè)C3當(dāng)當(dāng)?shù)氐厣躺虡I(yè)業(yè)C4建建筑筑就就業(yè)業(yè)C5安安全全可可靠靠C6

18、交交往往溝溝通通C7自自豪豪感感C8舒舒適適C9進(jìn)進(jìn)出出方方便便C10美美化化C11橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)）過河效益層次結(jié)構(gòu)補(bǔ)充例補(bǔ)充例3 橫渡江河的抉擇橫渡江河的抉擇過河的代價(jià)過河的代價(jià) A經(jīng)濟(jì)代價(jià)經(jīng)濟(jì)代價(jià) B1環(huán)境代價(jià)環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)社會(huì)代價(jià)B2投投入入資資金金C1操操作作維維護(hù)護(hù)C2沖沖擊擊渡渡船船業(yè)業(yè)C3沖沖擊擊生生活活方方式式C4交交通通擁擁擠擠C5居居民民搬搬遷遷C6汽汽車車排排放放物物C7對(duì)對(duì)水水的的污污染染C8對(duì)對(duì)生生態(tài)態(tài)的的破破壞壞C9橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）過河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)）過河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)待評(píng)價(jià)的科技成果待評(píng)價(jià)的科

19、技成果直接直接經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)效益效益 C11間接間接經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)效益效益 C12社會(huì)社會(huì)效益效益 C13學(xué)識(shí)學(xué)識(shí)水平水平 C21學(xué)術(shù)學(xué)術(shù)創(chuàng)新創(chuàng)新 C22技術(shù)技術(shù)水平水平 C23技術(shù)技術(shù)創(chuàng)新創(chuàng)新 C24效益效益C1水平水平C2規(guī)模規(guī)模C3科技成果評(píng)價(jià)科技成果評(píng)價(jià)補(bǔ)充例補(bǔ)充例4 科技成果科技成果的綜合評(píng)價(jià)的綜合評(píng)價(jià)三三. 層次分析法的若干問題層次分析法的若干問題 正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？近一致陣的程度？ 怎樣簡(jiǎn)化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？怎樣簡(jiǎn)

20、化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？ 為什么用特征向量作為權(quán)向量？為什么用特征向量作為權(quán)向量？ 當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對(duì)比較陣有空缺時(shí)怎樣用當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對(duì)比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法？層次分析法？1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理定理1 1 正矩陣正矩陣A 的的最大特征根最大特征根 是正單根，對(duì)應(yīng)是正單根，對(duì)應(yīng)正特征向量正特征向量w，且，且TkTkkeweAeeA) 1 , 1 , 1 (,lim定理定理2 2 n階階正互反陣正互反陣A的最大特征根的最大特征根 n , = n是是A為一致陣的充要條件。為一致陣的充要條件。 正互反陣的最大

21、特征根是正數(shù)，正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指標(biāo)一致性指標(biāo) 定義合理定義合理1nnCI2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算 精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要 簡(jiǎn)化計(jì)算的思路簡(jiǎn)化計(jì)算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。其某種意義下的平均。和法和法取列向量的算術(shù)平均取列向量的算術(shù)平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01

22、. 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 0286. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量歸一化歸一化算術(shù)算術(shù)平均平均wAw精確結(jié)果精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010根法根法取列向量的幾何平均取列向量的幾何平均冪法冪法迭代算法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，設(shè)置精度，設(shè)置精度 )()1(kkAww2) 計(jì)算計(jì)算nikikkwww1)1()1()1(/3）歸一化）歸一化

23、nikikiwwn1)()1(15) 計(jì)算計(jì)算簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化計(jì)算計(jì)算4）若）若 ，停止；，停止；否則，否則，k:=k+1, 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2)()1(maxkikiiww3. 特征向量作為權(quán)向量特征向量作為權(quán)向量成對(duì)比較的多步累積效應(yīng)成對(duì)比較的多步累積效應(yīng)問題問題一致陣一致陣A, 權(quán)向量權(quán)向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wjA不一致不一致, 應(yīng)選權(quán)向量應(yīng)選權(quán)向量w使使wi/wj與與 aij相差相差盡量?。▽?duì)所有盡量小（對(duì)所有i,j)。211),1(min ninjjiijniwwwai用擬合方法確定用擬合方法確定w非線性非線性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwa

24、i線性化線性化對(duì)數(shù)最小二乘對(duì)數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同結(jié)果與根法相同 按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。成對(duì)比較成對(duì)比較Ci:Cj (直接比較）直接比較）aij 1 1步強(qiáng)度步強(qiáng)度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(aisasj Ci通過通過Cs 與與Cj的比較的比較aij(2) 2步強(qiáng)度步強(qiáng)度更能反映更能反映Ci對(duì)對(duì)Cj 的強(qiáng)度的強(qiáng)度步強(qiáng)度kaaAkijkijk),()()(多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)體現(xiàn)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)), 1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理

25、1 1weAeeAkTkklim特征向量體現(xiàn)特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)當(dāng)當(dāng)k足夠大足夠大, Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的權(quán)重的權(quán)重求求Ak的行和的行和4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第設(shè)第2層對(duì)第層對(duì)第1層權(quán)向量層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定第第3層對(duì)第層對(duì)第2層權(quán)向量層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得討論

26、由討論由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)計(jì)算計(jì)算第第3層對(duì)第層對(duì)第1層權(quán)向量層權(quán)向量w(3）的方法的方法貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)O教學(xué)教學(xué)C1科研科研C2P2 P1P3P4例例: 評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué)只作教學(xué), P4只作科研只作科研, P3兼作教學(xué)、科研。兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等支配元素的數(shù)目不等)/(),()2(22)2(11)2(22)2(11)2(wnwnwnwnwT 不考慮支配元素?cái)?shù)目不等的影響不考慮支配元素?cái)?shù)目不等的影響)2()3()3(wWw 仍用仍用 計(jì)算計(jì)算 支配元素越多權(quán)重越大支配元素越多權(quán)重越大用支配元素?cái)?shù)目用支配

27、元素?cái)?shù)目n1,n2對(duì)對(duì)w(2)加權(quán)修正加權(quán)修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評(píng)價(jià)應(yīng)為：公正的評(píng)價(jià)應(yīng)為： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用再用 計(jì)算計(jì)算)2()3()3(wWww(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)TTwnn) 5/2 , 5/ 3 (, 2, 3) 2(21 支配元素越多權(quán)重越小支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研任務(wù)由上級(jí)安排教學(xué)、科研任務(wù)由上級(jí)安排教學(xué)、

28、科研靠個(gè)人積極性教學(xué)、科研靠個(gè)人積極性考察一個(gè)特例：考察一個(gè)特例：5. 殘缺成對(duì)比較陣的處理殘缺成對(duì)比較陣的處理12/ 1/212/ 1/211331wwwwCwCw22/ 10212/ 1022AwwAjimajiajiaaiijijijij, 1, 0,miA第第i 行行中中 的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)12/1212/121A例 為殘缺元素為殘缺元素輔助矩陣輔助矩陣Tw)1429. 0 ,2857. 0 ,5714. 0(, 36. 更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu) 遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨(dú)立，無相互影響和遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨(dú)立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。支配；層間

29、自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。 更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)?；蛑?；層間存在反饋或循環(huán)。制動(dòng)制動(dòng)底盤底盤車輪車輪方向盤方向盤發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)減震裝置減震裝置剎車剎車轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向運(yùn)行運(yùn)行加速性能加速性能汽車行駛性能汽車行駛性能汽車汽車1汽車汽車2汽車汽車n例例 層次分析法的優(yōu)點(diǎn)層次分析法的優(yōu)點(diǎn) 系統(tǒng)性系統(tǒng)性將對(duì)象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、將對(duì)象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策綜合的思維方式進(jìn)行決策系統(tǒng)分析（與機(jī)理分析、系統(tǒng)分析（與機(jī)理分析、測(cè)試分析并列）；測(cè)試分析并列）； 實(shí)用性實(shí)用性定性

30、與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；法不能解決的問題； 簡(jiǎn)潔性簡(jiǎn)潔性計(jì)算簡(jiǎn)便，結(jié)果明確，便于決策者計(jì)算簡(jiǎn)便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。直接了解和掌握。層次分析法的局限層次分析法的局限 囿舊囿舊只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案； 粗略粗略定性化為定量，結(jié)果粗糙；定性化為定量，結(jié)果粗糙； 主觀主觀主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。模型模型1 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型模型模型2 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型模型模型3 按年齡分組的種群增長

31、按年齡分組的種群增長2 差分方程模型差分方程模型問問 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定？商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定？當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定？當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定？價(jià)格下降價(jià)格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量價(jià)格上漲價(jià)格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩數(shù)量與價(jià)格在振蕩差分模型之一差分模型之一-市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)

32、格消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點(diǎn)的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyh

33、x)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線點(diǎn)附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價(jià)格上漲幅度價(jià)格上漲幅度)(001yyxxkk 價(jià)格上漲價(jià)格上漲1單位單位, (下時(shí)段

34、下時(shí)段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量考察考察 , 的含義的含義 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價(jià)格不變以行政手段控制價(jià)格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋

35、結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxk

36、kk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量時(shí)刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種

37、群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點(diǎn)是平衡點(diǎn)差分模型之二差分模型之二 -差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點(diǎn)的平

38、衡點(diǎn)brrx111*(1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)

39、及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點(diǎn)為點(diǎn)為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果數(shù)值計(jì)算結(jié)果bx11*b 3.57, 不存在任何收斂子序列不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象4倍周期收斂倍周期收斂)1 (1kkkxbxx的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象(見見chaos.m)b 不同年齡組的繁殖率和死亡