第3章 離散信號的時域和Z域分析

1、.第三章離散信號的時域和z域分析3.1離散信號的時域分析3.2離散信號的z域分析.3.1離散信號的時域分析 離散時間信號的定義是僅在規(guī)定的離散時間點上有定義，而在其他時間內無定義。在工程上將間隔相等的離散信號稱為離散時間序列，簡稱序列，表示為f(n) 或x(n)。.離散時間序列的表示方法 解析形式：用函數(shù)式來表示 序列集合形式 箭頭標記出n=0的位置1( )2( 1)(,)nf nn 1( ),2, 2,2, 2,2, 2,f n .圖形形式：用信號的波形來表示 .一、一、 序列的運算序列的運算 與連續(xù)信號處理類似，在離散信號處理中，也需要對離散信號進行運算。 .一、一、 序列的運算序列的運算

2、 1 序列的移位序列的移位 如圖1所示的序列x(n)，其移位序列w(n)為 )()(mnxnw當m為正時，則x(n-m)是指序列x(n)逐項依次右移m位而給出的一個新序列; 當m為負時，x(n-m)是指依次左移m位。.n87654320112354w(n) x(n2)5 4x(5)x(4)x(3)3 2 1 0123 456nx(4)x(5) x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(2)x(1). 2 序列的翻褶序列的翻褶 如果序列為x(n), 則x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶。圖 3 序列的翻褶(a) x(n)序列； (b) x(-n)序列 nnx(n)

3、654 32 10123 45x( n)5 4321 012345 6(a)(b). 3 序列的和序列的和 兩序列的和是指同序號n的序列值逐項對應相加而構成的一個新序列。 和序列z(n)可表示為 )()()(nynxnz.離散信號的相加. 4 序列的乘積序列的乘積 兩序列相乘是指同序號n的序列值逐項對應相乘。 乘積序列f(n)可表示為 )()()(nynxnf.離散信號的相乘. 5 序列的標乘序列的標乘 序列x(n)的標乘是指x(n)的每個序列值乘以常數(shù)c。標乘序列f(n)可表示為 )()(ncxnf.例：例：序列的序列的標乘標乘12,1( )0,1nnx nn 12,14 ( )0,1nnx

4、 nn .6 6、離散信號的差分：、離散信號的差分： 相鄰兩個序列值的變化率就是這兩個序列之差，故為差分運算。 一階向前差分： 一階向后差分：)() 1()(kfkfkf) 1()()(kfkfkf如果對差分運算結果進行差分，可得到高階差分運算，如二階，三階差分。結論：結論：x(n)=x(n-1) .)() 1(2)2()() 1()()(2nxnxnxnxnxnxnx)2() 1(2)() 1()()()(2nxnxnxnxnxnxnx. 7 累加累加設某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為 nkkxny)()(它表示y(n)在某一個n0上的值y(n0)等于在這一個n0上的x(

5、n0)值與n0以前所有n上的x(n)之和。 .舉例：求下圖的)(),(),(kykfkf.二、二、 基本離散序列基本離散序列 1 單位脈沖序列單位脈沖序列(n) 0001)(nnn 這個序列只在n=0 處有一個單位值1，其余點上皆為0， 因此也稱為“單位采樣序列”。單位采樣序列如圖2所示。.圖 2 (n)序列 1(n) 4 5 3 2 1012345n. 這是最常用、最重要的一種序列，它在離散時間系統(tǒng)中的作用，很類似于連續(xù)時間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)(t)。 注意：注意：(t) 與與(n) 的區(qū)別的區(qū)別 .任意序列可以利用單位脈沖序列及帶時移單位脈沖序列的線性加權和表示，如圖所示離散序列可以表示為

6、( )3 (1)( )2 (1)2 (2)f nnnnn.性質：它也具有抽樣性性質：它也具有抽樣性，即( ) ( )(0) ( )( ) ()( ) ()( ) ()() ()f nnfnf nnmf mnmf nnmfmnm.2 單位階躍序列單位階躍序列u(n) 0001)(nnnu 這個序列在 時取值為1， 時取值為0， 因此稱為“單位階躍序列”。單位階躍序列如圖3所示。0n 0n .圖 3 u(n)序列 5 4 3 2 1012345nu(n)16. 它很類似于連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)，它也具有截取特性，即可將一個雙邊序列截成一個單邊序列。 注意：注意： u(t)與u(

7、n)的區(qū)別( )0( ) ( )00f nnf n u nn.(n)和u(n)間的關系為 ) 1()()(nunun這就是u(n)的后向差分。 而 nkknu)()(這里就用到了累加的概念。 .3矩形序列矩形序列RN(n) nNnnRN其他0101)(矩形序列RN(n)如圖6所示。 .圖 6 RN(n)序列 nRN(n)110123NN1.RN(n)和(n)、u(n)的關系為: )()()(NnununRN)1() 1()()()(10NnnnmnnRNmN.4實指數(shù)序列實指數(shù)序列)()(nuanxn式中，a為實數(shù)。當|a|1時，序列是發(fā)散的。a為負數(shù)時，序列是擺動的，如圖7所示。 實指數(shù)序列

8、是指序列值隨序號變化剛好按指數(shù)規(guī)律變化的離散時間信號，常用的實指數(shù)序列為單邊實指數(shù)序列，.圖 7 指數(shù)序列(a) 0a1; (c) -1a0. 5正弦序列正弦序列x(n)=A sin(n0+)式中: A為幅度; 為起始相位; 0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。 .現(xiàn)在討論上述正弦序列的周期性。 由于 )sin()(0nAnx則 )sin()sin()(000nNANnANnx.若N0=2k, 當k為正整數(shù)時，則 )()(Nnxnx 這時的正弦序列就是周期性序列，其周期滿足N=2k/0（N，k必須為整數(shù)）。可分幾種情況討論如下。 （1） 當2/0為正整數(shù)時，周期為2/0。 （2） 當2/

9、0不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時（有理數(shù)可表示成分數(shù)），則 .kN0202NkkNk式中，k, N為互素的整數(shù)，則為最小正整數(shù)，序列的周期為N。 . （3）當2/0是無理數(shù)時，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。 這時，正弦序列不是周期性的。 這和連續(xù)信號是不一樣的這和連續(xù)信號是不一樣的。 . 3( )2cos(7)4x nn3( )2cos(7)4x nn ( )5sin(3)4x nn. 6 復指數(shù)序列復指數(shù)序列 序列值為復數(shù)的序列稱為復序列。 復指數(shù)序列的每個值具有實部和虛部兩部分。 復指數(shù)序列是最常用的一種復序列： njAenx)(0)(或或 njAenx0)(式中，0是復正弦的數(shù)字域頻率。 .對

10、第一種表示，序列的實部、虛部分別為 0()00cos()sin()jnnneenjAen注意：注意：復指數(shù)序列是否為周期序列，其判別方法復指數(shù)序列是否為周期序列，其判別方法與正弦序列的方法相同。與正弦序列的方法相同。 .8、卷積和運算（線性卷積） 卷積和與連續(xù)信號的卷積非常類似，它也是一種重要的數(shù)學工具。 卷積和也稱為或離散卷積離散卷積。.1)定義、表達式定義、表達式設兩序列x(n)、 h(n)，則其卷積和定義為：.2) 2)求和區(qū)間的討論：求和區(qū)間的討論：(1) 為因果信號(2) 為因果信號(3) 同為因果信號1( )f n2( )f n12( )( )f nf n、12120( )( )(

11、 )()kf nfnf k fnk1212( )( )( )()nkf nfnf k fnk12120( )( )( )()nkf nfnf k fnk.舉例：無限長的序列，設12( )( )3nf nu n2( )( )fnu n求12( )( )( )f nf nfn. 3) 卷積的圖解機理卷積的圖解機理 （1）翻褶：先在啞變量坐標m上作出x(m)和h(m)， 將h(m)以m=0 的垂直軸為對稱軸翻褶成h(-m)。 （2）移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m)。當n為正整數(shù)時， 右移n位; 當n為負整數(shù)時，左移n位。 （3）相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應點值相乘。 （

12、4）相加：把以上所有對應點的乘積累加起來， 即得y(n)值。 依上法，取n各值，即可得全部y(n)值。 .1001( )( ) ()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaa1001( )( ) ()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaa.aaaaaanynnmmmnmn1)(144040aaaaaanynnmmmnmn1)(144040410660( )nnmkmnky naa47101066001nnnkkkkaaaaaa.4 4）卷積的性質）卷積的性質(1)代數(shù)定律：交換律、分配律、結合律1221( )( )( )( )f nfnfnf n1231213(

13、 ) ( )( )( )( )( )( )f nfnf nf nfnf nf n123123( )( )( )( )( )( )f nfnf nf nfnf n.(2)與取樣序列的卷積(3)卷積的時移性質( )( )( )f nnf n( )()()f nnmf nm12( )( )( )f nf nfn1212()()( )( )()f nmf nmfnf nfnm12()()()f nmNf nmfnN.(4)序列與 的卷積 ( )u n( )( )( )nif nu nf i .5）卷積和的計算(1)圖解法-與連續(xù)信號卷積機理類似(2)豎乘法-有限長序列 具體方法：具體方法：將兩個序列排

14、成兩行，按普通的乘法運算進行相乘，但中間結果不進位，最后將同一列的中間結果進行相加得到卷積和序列 序列號的確定：序列號的確定：相乘的2個序列值的序號之和等于卷積和的序列號 (3)定義求法(4)利用Z變換求法.1( )1,3,2,40f nn2( )2,1,30f nn12( )( )( )f nf nfn 例：，求 ， 結論：結論： 若設兩個序列的長度分別為若設兩個序列的長度分別為N和和M，則卷積和后的序列長度為則卷積和后的序列長度為(N+M-1). 1( )4,3,2,1,70f nn2( )5,2,3,60fnn12( )( )( )f nf nfn 練習：求 .常見信號的卷積：常見信號的

15、卷積：111( )* ( )(1) ( )1( )* ( )( )1( )*( )( )( )*( )(1)( )nnnnnnnnnu nu nnu naa u nu nu naaba u nb u nu naba u na u nna u n.3.2 離散信號的z域分析 Z變換是與連續(xù)系統(tǒng)的拉普拉斯變換相對應的一種變換域分析方法，它對于分析線性分析線性時不變離散系統(tǒng)是時不變離散系統(tǒng)是一種強有力的數(shù)學工具。Z變換和拉普拉斯變換之間存在密切的關系，它們的性質也有相似之處，同時兩者之間也存在著一些重要的差異。.抽樣信號抽樣信號單邊拉氏變換單邊拉氏變換0)()()(nsnTtnTxtx00000(

16、)() ()()()()stsnstnsnTnXsx nTtnT edtx nTtnT edtx nT e1、Z變換的定義變換的定義一、z變換的定義及收斂域.令令 , , 其中其中 z z 為一個復變量為一個復變量則則歸一化歸一化 T=1T=1sTez 0)()(nnznTxzX0)()(nnznxzX單邊Z變換.結論：結論：0)()(nnznxzX單邊單邊Z變換變換雙邊雙邊Z變換變換nnznxzX)()(注意：工程常用的是單邊注意：工程常用的是單邊z變換，以后沒有特別指變換，以后沒有特別指明，都指的是單邊明，都指的是單邊z變換。變換。.8.3 z變換的收斂域變換的收斂域2z變換的收斂域變換的

17、收斂域收斂的所有收斂的所有z 值之值之集合集合為收斂域。為收斂域。對于任意給定的序列對于任意給定的序列x(n) ，能使，能使( )( )nnX zx n z ( ) ROC).nnx n z 即滿足的區(qū)域（1）收斂域的定義）收斂域的定義. 對于實際中常見的實指數(shù)信號 ，其收斂點和發(fā)散點都在無窮遠處，可簡化為 求出收斂域。 n, ( )0nx n z 時2）收斂域的求法）收斂域的求法( ) nnx n z na.)()(nuanxn11001( )()1nnnnnzX za zazazza1 n, ( )01nnnx n za zazza 時例：.不同不同x(n)的的z變換，由于收斂域不同，可能

18、變換，由于收斂域不同，可能對應于相同的對應于相同的z 變換，故在確定變換，故在確定 z 變換時，變換時，必須指明收斂域。必須指明收斂域。一般而言不同形式的序列其收斂域形式不一般而言不同形式的序列其收斂域形式不同，下面分別討論幾種序列的收斂域。同，下面分別討論幾種序列的收斂域。.3）幾類序列的收斂域）幾類序列的收斂域（1）有限序列：在有限區(qū)間內，有非零的有限）有限序列：在有限區(qū)間內，有非零的有限值的序列值的序列2121)()(nnnznxzXnnnn由于是有限項求和，故收斂域為除了由于是有限項求和，故收斂域為除了0和和 的整的整個個 平面。平面。z)(nx思考：收斂域何時不包含思考：收斂域何時不

19、包含0，何時不包含，何時不包含 ？.Re zIm zj.（2）因果序列：只在）因果序列：只在 區(qū)間內，有非零的區(qū)間內，有非零的有限值的序列有限值的序列0n )(nx0( )( )nnX zx n z1xRz 收斂半徑圓外為收斂域1xRRezImzj.（3）左邊序列：只在）左邊序列：只在 區(qū)間內，有非零區(qū)間內，有非零的有限值的序列的有限值的序列1n )(nx1( )( )nnX zx n z2xRz 收斂半徑圓內為收斂域，2xRImzjRez.（4）雙邊序列：只在）雙邊序列：只在 區(qū)間內，區(qū)間內， 有非零的有限值的序列有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnn

20、znxznxzX圓內收斂圓外收斂12xxRR12xxRR有環(huán)狀收斂域沒有收斂域12xxRRImzjRez.注意注意: : 對于常用的指數(shù)序列對于常用的指數(shù)序列 收斂半徑為收斂半徑為naxRa.)(31)() 1 (nunxn31311131)(101zzzzzXnn311xR31ImzjRez例：求以下序列的z變換及其收斂域。解：11313xRz因果序列.) 1(31)()2(nunxn反因果序列313111)3(13131)(101111zzzzzzzXmmmmnmnn21313xRz2xR31ImzjRez解：.nnx31)()3(雙邊序列)(3(31133131)(3138101zzzz

21、zzzzzXnnnnnImzj331 zRez解：.二、二、 常用基本序列的單邊常用基本序列的單邊z變換變換1指數(shù)序列azznuan)(1)nza unza .2單位階躍序列1)(zznu(1)1zunz.3單位沖激序列 1)()(nnznzF即：即：1)(n.表3-1 常用離散序列的z變換對.三、三、 單邊單邊z z變換的性質變換的性質1、線性、線性1 12 21122( )( )( )( )ax na x naX za X z則，該性質是Z域分析的基礎，其收斂域至少是兩個的交集。11x ( )( ),nXz22x ( )( ),nXz.1)()( )()( )mmzx nmzX zx nm

22、z X z雙邊 變換2、位移性、位移性)()()()(:)21mkkmzkxzXznumnxz變換單邊10)()()()(mkkmzkxzXznumnx對于任意正整數(shù)對于任意正整數(shù)m，.nO)(nx4nO)2( nx4nO)2( nx411 211 211 2 原序列不變，只影響在時間軸上的位置。原序列不變，只影響在時間軸上的位置。處收斂域：只會影響zz, 0 )()()()(zXzmnxZzzXnxZznxm 變變換換為為的的，則則其其右右移移位位后后變變換換為為的的雙雙邊邊若若序序列列1 1）雙邊）雙邊z z變換的位移性質變換的位移性質 )()(zXzmnxZzm 變換為：變換為：同理，左

23、移位后的同理，左移位后的.2 2）單邊）單邊z z變換的位移性質變換的位移性質nO nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 .,的長度有所增減的長度有所增減較較nunxnumnxnumnx 若若x(n)為雙邊序列，其為雙邊序列，其單單邊邊z變換為變換為 )()(nunxZ.例：求序列 的Z變換( )( )()111111NNNNNZ RnZ u nZ u nNzzzzzzzzzzzz解：()( + )n mn m、例：求矩形序列的Z變換()( + )mmn mzn mz.3 3、z z域尺度變換（序列指數(shù)加權）域尺度變換（序列指數(shù)加權） 若 ，則

24、：)()(zFnf)()()(azFnfaazFnfann.4 4、時間翻轉性質、時間翻轉性質若 ，則： )()(zFnf1(- )( )fnFz例：求例：求的的Z變換。變換。（）na1a .5 5、 Z Z域微分（序列線性加權）域微分（序列線性加權）若 ，則： )()(zFnf)()(zFdzdznnf.解：解： 。變變換換的的求求zXznunan)( azazznuaZn ,)( )()(dd)(22azzaazzazzzazzznunaZn az .6、卷積定理、卷積定理1212( )( )( )( )f nfnF zF z11( )( ),f nF z如22( )( ),fnF z則.

25、。求求，)()()(,)()(),()(nhnxnynubnhnuanxnn azazzzX )( bzbzzzH )()()()()(2bzazzzHzXzY 解：解：. bzbzazazbazY1)( )()(1)(nubbnuaabanynn )(111nubabann .7、初值、終值定理、初值、終值定理 x(n)是因果序列，且是因果序列，且z變換為變換為X(z)(lim)0(zXxz)() 1(lim)(lim1zXznxzn.終值存在的條件 (1) X(z)的極點位于單位圓內，收斂半徑小于的極點位于單位圓內，收斂半徑小于1，有終值，有終值;例：例： ，終值為，終值為01),( an

26、uan(2)若極點位于單位圓上，只能位于若極點位于單位圓上，只能位于 ，并且是一，并且是一 階極點階極點. 1 z注意：注意：和系統(tǒng)和系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性條件區(qū)別，系統(tǒng)穩(wěn)定性條件條件區(qū)別，系統(tǒng)穩(wěn)定性條件 只有只有第一條第一條。例：例：u(n)，終值為，終值為1終值存在的條件.四、四、 Z變換的逆變換變換的逆變換逆逆Z變換的方法變換的方法 （1）冪級數(shù)展開法）冪級數(shù)展開法 （2）部分分式法）部分分式法.1、冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法(長除法）長除法）如果如果z變換變換X(z)能表示成冪級數(shù)的形式，能表示成冪級數(shù)的形式，則可以直則可以直接看出序列接看出序列x(n)是是的系數(shù)的系數(shù)nnznxzX)()(.

27、因果序列的逆因果序列的逆z z變換變換 2100)2()1()0()()(zxzxzxznxzXnn反因果序列的逆反因果序列的逆z變換變換 3211 )3()2()1()()(zxzxzxznxzXnn 的的升升冪冪排排列列以以將將zzX X zz將以 的降冪排列.系數(shù)x x( (n n) )的求法：的求法：用長除法因果序列：因果序列： 分子分母按照Z的降冪排列，然后用分子除以分母；反因果序列：反因果序列： 分子分母按照Z的升冪排列，然后用分子除以分母；.例 11, 2, 3, 4,nnx 1211222 zzzzzzzzXz221zz 4324 3 2 zzzz322 zzz 322zz 432242zzz 432 3zz 543363zzz 5434zz 654484zzz 6545zz .例例 210)2()1()0()(zxzx