真題微積分課件第八章ex

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容典型例題典型例題第八章第八章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用習(xí)習(xí) 題題 課課平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運(yùn)運(yùn) 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容全微分全微分的應(yīng)用的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微分全微分概念概念偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念1.1.區(qū)域區(qū)域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是x

2、oy平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某是某一正數(shù)，與點(diǎn)一正數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全體，稱(chēng)為點(diǎn)的全體，稱(chēng)為點(diǎn)0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P （3）n維空間維空間 設(shè)設(shè) n為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱(chēng)為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱(chēng) n元數(shù)元數(shù)組組),(21nxxx的全體為的全體為 n維空間，而每個(gè)維空間，而每個(gè) n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx稱(chēng)為稱(chēng)為 n維空間中的一個(gè)維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)點(diǎn)，數(shù) ix 稱(chēng)為該點(diǎn)的第稱(chēng)為該點(diǎn)的第 i個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo). （2

3、）區(qū)域）區(qū)域連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域2.2.多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念 。上上）的的圖圖形形（或或圖圖像像）（在在為為函函數(shù)數(shù)中中的的子子集集的的值值域域，并并且且稱(chēng)稱(chēng)稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域，稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為因因變變量量，稱(chēng)稱(chēng)為為自自變變量量，其其中中或或值值）函函數(shù)數(shù)，記記作作元元（實(shí)實(shí)上上的的一一個(gè)個(gè)稱(chēng)稱(chēng)為為定定義義在在的的任任一一映映射射到到實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集的的一一個(gè)個(gè)非非空空子子集集，從從是是設(shè)設(shè)DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定義3.3.多元函數(shù)的極限

4、多元函數(shù)的極限定 義定 義 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)， 如果對(duì)于任意是其內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)， 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)給定的正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于適合不，使得對(duì)于適合不等式等式 20200)()(|0yyxxPP的一的一切點(diǎn)，都有切點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng) A A 為函為函數(shù)數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，時(shí)的極限， 記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）. 說(shuō)明：說(shuō)明：（1）定義中）定義中 的方

5、式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似4.4.極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP則則時(shí)，時(shí)，設(shè)設(shè)5.5.多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性定 義定 義 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxf的 定 義 域 為 點(diǎn) 集的 定 義 域 為 點(diǎn) 集)(,0,00yxPD是是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且DP 0，如果如果)

6、()(lim00PfPfPP 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). . 如果如果),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處不連續(xù)， 則稱(chēng)處不連續(xù)， 則稱(chēng)0P是函數(shù)是函數(shù)),(yxf的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn). . 6.6.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)是上的多元連續(xù)函數(shù)是D D上的上的有界函數(shù)有界函數(shù) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元

7、連續(xù)函數(shù)，如果上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上取上取得介于這兩值之間的任何值至少一次得介于這兩值之間的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱(chēng)存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì) x的

8、的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為 7.7.偏導(dǎo)數(shù)概念偏導(dǎo)數(shù)概念同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)),(yx處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是就是x、y的函數(shù)，它就稱(chēng)為函數(shù)的函數(shù)，它就稱(chēng)為函數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自變

9、量自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對(duì)自變量對(duì)自變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy. .高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 的的相相對(duì)對(duì)改改變變量量函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)存存在在處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在

10、在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之比之比的相對(duì)改變量的相對(duì)改變量與自變量與自變量xxx xxzzx .,兩點(diǎn)間的彈性?xún)牲c(diǎn)間的彈性到到從從對(duì)對(duì)稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)xxxxyxf . .偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用:交叉彈性交叉彈性即即.lim0zxxzxxzzEExxxzx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxzzx 記作記作的彈性的彈性處對(duì)處對(duì)在在的極限稱(chēng)為的極限稱(chēng)為,xyxyxf,xzxEE或或 .lim0zyyzyyzzEEyyyzy 的彈性的彈性處對(duì)處對(duì)在在類(lèi)似地可定義類(lèi)似地可定義yyxyxf, .,表表示示需需求求對(duì)對(duì)收收入入的的彈彈性性需需求求對(duì)對(duì)價(jià)價(jià)格格的的彈

11、彈性性表表示示則則表表示示消消費(fèi)費(fèi)者者收收入入表表示示價(jià)價(jià)格格表表示示需需求求量量中中如如果果特特別別地地yxyxzyxfz 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依賴(lài)于不依賴(lài)于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分，可微分，yBxA 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的的全微分，記為全微分，記為dz，即，即 dz=yBxA .10.10.全微分概念全微分概念多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可

12、微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)11.11.全微分的應(yīng)用全微分的應(yīng)用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng),yx 主要方面主要方面:近似計(jì)算與誤差估計(jì)近似計(jì)算與誤差估計(jì).12.12.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)t可可導(dǎo)，函數(shù)導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)t可可導(dǎo)，且

13、其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱(chēng)為稱(chēng)為dtdz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx具具有有對(duì)對(duì)x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計(jì)計(jì)算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .13.13.全微分形式不變性全微分形式不變性 無(wú)論無(wú)論 是自變量是自變量 的函數(shù)

14、或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、dvvzduuzdz .0),()1( yxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿(mǎn)足條件，它滿(mǎn)足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy .

15、 .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式14.14.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿(mǎn)足條件，它滿(mǎn)足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zy

16、xF15.15.多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，對(duì)對(duì)于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的點(diǎn)點(diǎn)),(yx：若若滿(mǎn)滿(mǎn)足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿(mǎn)滿(mǎn) 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)

17、),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件 定義定義一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱(chēng)為多元一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱(chēng)為多元函數(shù)的函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).極值點(diǎn)極值點(diǎn)注意注意駐點(diǎn)駐點(diǎn)定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0

18、),(00 yxfy， 令令A(yù)yxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)有極值，時(shí)有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒(méi)有極值；時(shí)沒(méi)有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值. .求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第第二二步步 對(duì)對(duì)于于每

19、每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值.拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)，先先構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數(shù)數(shù)，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo).條件極值條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值：對(duì)自變量有附

20、加條件的極值二、典型例題二、典型例題例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價(jià)于等價(jià)于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(422221

21、2221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊求兩邊求對(duì)對(duì),0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0,

22、 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試求試求且且所確定所確定由方程組由方程組設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的函數(shù)的函數(shù)都看成是都看成是以及以及將方程組的變?cè)獙⒎匠探M的變?cè)獂zyu,得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程組各方程兩邊對(duì)方程組各方程兩邊對(duì),x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxy

23、xz例例5 5解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)分析分析:最小最小即即且使且使?jié)M足滿(mǎn)足，使得，使得本題變?yōu)榍笠稽c(diǎn)本題變?yōu)榍笠稽c(diǎn))22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得得得.647241414161min d),81

24、,41,41(即得唯一駐點(diǎn)即得唯一駐點(diǎn)處取得最小值處取得最小值駐點(diǎn)，故必在駐點(diǎn)，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 二元函數(shù)二元函數(shù)22221arcsin4lnyxyxz 的定義的定義 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）4122 yx. . 2 2、設(shè)、設(shè)2)(),(yxyxxyf , ,則則 ),(yxf( ).( ). （A A）22)1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1

25、(xxy ； （D D） 2)1(yxy . .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (A) 0 (A) 0 ； (B) 1 (B) 1 ； (C) 2 (C) 2 ； (D) (D) e . . 4 4、函數(shù)、函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處連續(xù)處連續(xù), ,且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在該點(diǎn)可微在該點(diǎn)可微 的的( ).( ). （A A）充分條件）充分條件, ,但不是必要條件；但不是必要條件； （B B）必要條件）必要條件, ,但不是充分條件；但不是充分條件； （C C）充分必要條件；

26、）充分必要條件； （D D）既不是充分條件）既不是充分條件, ,也不是必要條件也不是必要條件. . 5 5、設(shè)、設(shè)),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 則在原點(diǎn)則在原點(diǎn))0 , 0(處處),(yxf( ).( ). (A) (A)偏導(dǎo)數(shù)不存在；偏導(dǎo)數(shù)不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)； (D) (D)可微可微 . . 6 6、設(shè)、設(shè)),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二階連續(xù)偏具有二階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). .則則 22yz( ).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (

27、B)22yvvf ； (C) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . . 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍 成的四面體的體積成的四面體的體積 V=( ).V=( ). (A) (A) 323a； (B) (B) 33a； (C) (C) 329a； (D) (D) 36a. . 8 8、二元函數(shù)、二元函數(shù)33)(3yxyxz 的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)是( ).( ). (A) (1,2) (A) (1,2)； (B) (1.-2 (B) (1.-2 ) )； (C) (-1,2) (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). (D) (-1,-1). 9 9、函數(shù)、函數(shù)zyxusinsinsin 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的條件極值是的條件極值是 ( ).( ). (A) 1 (A) 1 ；