第1章 計(jì)算方法誤差

1、TEXTBOOKTopics誤差插值與擬合數(shù)值積分解線(xiàn)性方程組的直接法解線(xiàn)性方程組的迭代法非線(xiàn)性方程的數(shù)值解法常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法IMPORTANT!Grading PolicyTotal: 100Attendance: 10Homework: 20Final exam: 70計(jì)算方法在科學(xué)計(jì)算中的地位：計(jì)算方法在科學(xué)計(jì)算中的地位：實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算方法計(jì)算方法編寫(xiě)程序編寫(xiě)程序上機(jī)計(jì)算結(jié)果上機(jī)計(jì)算結(jié)果分析結(jié)果分析結(jié)果 顯然，計(jì)算方法處于顯然，計(jì)算方法處于承上啟下承上啟下的位置，的位置， 在整個(gè)計(jì)算中是重要的不可缺少的一環(huán)在整個(gè)計(jì)算中是重要的不可缺少的一環(huán)。第第

2、1章章 誤誤 差差1.1 誤差的來(lái)源與分類(lèi)誤差的來(lái)源與分類(lèi)1.2 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差1.3 有效數(shù)字與誤差的關(guān)系有效數(shù)字與誤差的關(guān)系1.4*浮點(diǎn)數(shù)及其運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)及其運(yùn)算1.5 誤差危害的防止誤差危害的防止 1.1 誤差的來(lái)源與分類(lèi)誤差的來(lái)源與分類(lèi) 定義定義：近似值與精確值之差稱(chēng)為誤差誤差，誤差的來(lái)源或分類(lèi)有4種。 (1) 模型誤差模型誤差 從實(shí)際問(wèn)題提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往忽略了許多次要因素，因而即使數(shù)學(xué)問(wèn)題能求出準(zhǔn)確解，也與實(shí)際問(wèn)題的真正解不同。它們之差稱(chēng)為模模型誤差型誤差。 (2) 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 一般數(shù)學(xué)問(wèn)題包含若干變量，它們的值需要通過(guò)觀測(cè)得到，難免有誤差。這種誤差稱(chēng)為

3、觀測(cè)觀測(cè)誤差誤差/數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)誤差誤差/參量誤差參量誤差。 (3) 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 一般數(shù)學(xué)問(wèn)題難以準(zhǔn)確求解，往往要通過(guò)近似替代，簡(jiǎn)化為較易求解的問(wèn)題后再求解。這樣引起的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差或方法誤差方法誤差。 (4) 計(jì)算誤差計(jì)算誤差 計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，一般數(shù)必須進(jìn)行舍入，此時(shí)產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為計(jì)算誤差計(jì)算誤差或舍入誤差舍入誤差。 總之，計(jì)算結(jié)果的誤差是上述四種誤差累積影響的誤差。本課程不討論數(shù)學(xué)模型的建立，所以只研究截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差和舍入誤差舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。1.2 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 一個(gè)近似值的精確度：通常用一個(gè)近似值的精確度：通常用絕對(duì)誤差、相對(duì)

4、誤絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差或有效數(shù)字差或有效數(shù)字來(lái)說(shuō)明。來(lái)說(shuō)明。*xxx 2.7180.0002818xe 1.2.1 絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限 設(shè)x*為精確值，x為x*的近似值，稱(chēng)為近似值x的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差誤差。例：例：e取2.718，其絕對(duì)誤差為 x 的大小顯示出近似值x的準(zhǔn)確程度， 越小， x的準(zhǔn)確度越高。x 可正可負(fù)，絕對(duì)誤差不是誤差的絕對(duì)值絕對(duì)誤差不是誤差的絕對(duì)值。 實(shí)際中無(wú)法得到準(zhǔn)確值x*，從而不能得到絕對(duì)誤差 的準(zhǔn)確值。給出一個(gè)正數(shù) ，使得： 成立 叫做近似值x的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差限限，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差限，或稱(chēng)“精度”。 有了誤差限，準(zhǔn)確值x*的范圍： 此范圍也可表示

5、成： xx|*xxx*xxx*xx（1-2）（1-3）（1-4） 1.2.2 相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限 定義：設(shè)x*為準(zhǔn)確值，x是x*的一個(gè)近似值， 則稱(chēng) 為近似值x的相對(duì)誤差。 注意注意：(1) ex小，精度高；(2) 相對(duì)誤差比絕對(duì)誤差更能反映誤差的特征，在誤差分析中相對(duì)誤差比絕對(duì)誤差更為重要。 由于 與x*都不能準(zhǔn)確求得，相對(duì)誤差也不能準(zhǔn)確求得。因此，給定一個(gè)正數(shù) ，使得*xxxxexxx*|*xxxex（1-5）*xxxxexx*|xxxex 為x的相對(duì)誤差限。實(shí)際中，準(zhǔn)確值x*無(wú)法得到，因此：稱(chēng)ex為x的相對(duì)誤差，同樣： 為近似值x的相對(duì)誤差限。絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差和絕對(duì)

6、誤差限絕對(duì)誤差限是有量綱的量。相對(duì)誤差相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限是無(wú)量綱量，常用百分?jǐn)?shù)表示。（1-6）（1-7） 例例1：設(shè)a=-2.18和b=2.1200分別有準(zhǔn)確值x和y經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值，問(wèn) ， ， ， 各是多少？ 解解：凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入四舍五入得到的近似值，其絕對(duì)誤差限等于近似值末位的半個(gè)單位絕對(duì)誤差限等于近似值末位的半個(gè)單位，因此：ab( )xe a( )xe b*0.005aaa *0.00005bbb 0.005( )0.232.18xe a 0.00005( )0.00242.1200 xe b 1.3 有效數(shù)字與誤差的關(guān)系有效數(shù)字與誤差的關(guān)系1.3.1 有效

7、數(shù)字有效數(shù)字當(dāng)精確值x*有很多位數(shù)時(shí)，常按四舍五入的原則取其前幾位數(shù)字作為其近似值。 例：例： 若按四舍五入原則分別取4位和5位小數(shù)，則得： ， 絕對(duì)誤差限不超過(guò)末位數(shù)的半個(gè)單位，即： 3.1415926.3.14163.14159413.1416102513.14159102若近似值x的誤差限是其某一位上的半個(gè)單位時(shí)，稱(chēng)其“精確”到這一位，且從該位起直到左起第一位非零數(shù)字都稱(chēng)為有效數(shù)字有效數(shù)字。定義定義： x為x*的近似數(shù)，將x寫(xiě)成： 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一個(gè)數(shù)，且： ，n為正整數(shù)，m是整數(shù)，且x的絕對(duì)誤差限滿(mǎn)足不等式：則稱(chēng)近似數(shù)x具有n位有效數(shù)字。例例2：e的近似

8、數(shù)2.718按照(1-8)，寫(xiě)成：123123(10101010) 10nmnxxxxx 123,nx xxx10 x 1*102m nxx123412.718(2 107 101 108 10 ) 10 3112.718101022m ne（1-9）（1-8）例例3：用3.14與3.1416分別近似 絕對(duì)誤差限分別是絕對(duì)誤差限分別是：雖然m相同，但3.1416的絕對(duì)誤差限小。3.1416比3.14的有效數(shù)字位數(shù)多，近似 的精度要高。12313.14(3 101 104 10 ) 10 1234613.1416(3 101 104 101 106 10 ) 10 1 32113.1410102

9、21 54113.1416101022m1，n5m1，n31.3.2 有效數(shù)字與絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的關(guān)系有效數(shù)字與絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的關(guān)系 對(duì)于準(zhǔn)確值x*的一個(gè)近似值x而言，有效數(shù)字越多，它的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差就越小，而且知道了有效數(shù)字的位數(shù)，由（1-9）就可以寫(xiě)出近似值x的絕對(duì)誤差限。定理定理1-1 若用（1-8）式表示的近似值x具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為 ，即 111102nx 111102nxex （1-10）定理定理1-2 若近似值x的相對(duì)誤差限為 則x至少具有n位有效數(shù)字。例例4 用3.1416來(lái)表示的 近似值時(shí)，它的相對(duì)誤 差是多少？解：3.1416具有5位有效數(shù)字，x13

10、，由（1-10） 得出它的相對(duì)誤差為：111102(1)nxex （1-11）5 141110102 36xe 例例5 使得 的近似數(shù)的相對(duì)誤差不超過(guò)0.1， 至少要取多少位有效數(shù)字？20( )yf x函數(shù) ， 自變量x* 被近似值x代替，那么 被 代替， , xa b*()f x( )f x|( )|fx稱(chēng)為絕對(duì)誤差條件數(shù)絕對(duì)誤差條件數(shù)。 如果條件數(shù)小，稱(chēng) 為好條件的。反之，稱(chēng) 為壞條件的。( )f x( )f x)()()()*()(*)()(xfxexfxfxxxfxfxfxfexxxexfxfxfe*)( )(*)()(Taylor 展開(kāi)2)*)( ! 21)*)( )()*(xxfx

11、xxfxfxxxf)()( 21)()( )(2xefxexfxfe)()( )(xexfxfe*( ()( )()( ()( )( )re f xf xf xef xf xf x函數(shù)的相對(duì)誤差函數(shù)的相對(duì)誤差*( )()( )f xf xxxxxxxf x( )( )( )( )( )( )xxxx fxfxexexf xf x( )( )x fxf x稱(chēng)為相對(duì)誤差條件數(shù)相對(duì)誤差條件數(shù)。例例：x 的相對(duì)誤差限為 ，求 sin(x) 的相對(duì)誤差限*( )|( ()|( )( )rxx fxef xe xf x( )( )( )xx cos xexsin x( )xctg x1.4 浮點(diǎn)數(shù)及其運(yùn)算

12、浮點(diǎn)數(shù)及其運(yùn)算 1.4.1 數(shù)的浮點(diǎn)表示數(shù)的浮點(diǎn)表示 在計(jì)算機(jī)中，一般實(shí)數(shù)x均按照舍入原則表示成： 稱(chēng)為b進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。正整數(shù)b稱(chēng)為基數(shù)，一般取為2；但為照顧習(xí)慣和書(shū)寫(xiě)方便，通常將二進(jìn)制數(shù)化為10進(jìn)制數(shù)輸入或輸出。整數(shù)p稱(chēng)為階碼或指數(shù)， 稱(chēng)為定位部定位部，q 稱(chēng)為尾部數(shù)尾部數(shù)。 浮點(diǎn)數(shù)分為階碼和尾數(shù)兩部分，并且均有各自的符號(hào)位。計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限，因此浮點(diǎn)數(shù)的階碼和尾數(shù)都是有限數(shù)。(01)pxq bq pb例例 456.604，5.516，0.000888表示成四位十進(jìn) 制浮點(diǎn)數(shù)形式： 0.4566，-0.5516，0.0888為尾數(shù)部； 表示定位部，3、2、1表示階碼。 顯然，這種表示形式使得一個(gè)

13、數(shù)的數(shù)量級(jí)一目顯然，這種表示形式使得一個(gè)數(shù)的數(shù)量級(jí)一目了然；浮點(diǎn)數(shù)表示的數(shù)取值范圍大，運(yùn)算的計(jì)了然；浮點(diǎn)數(shù)表示的數(shù)取值范圍大，運(yùn)算的計(jì)算精度高。算精度高。30.4566 1010.5516 1020.0888 1031210 ,10 ,10 如果尾數(shù)q的小數(shù)點(diǎn)后的第一位數(shù)字不為零，則該數(shù)叫規(guī)格化形式的數(shù)；如果尾數(shù)q的小數(shù)點(diǎn)后的第一位數(shù)字為零，則該數(shù)叫非規(guī)格化形式的數(shù)。 規(guī)格化：把一個(gè)非規(guī)格化的數(shù)變?yōu)橐?guī)格化形式的數(shù)的過(guò)程叫做數(shù)的規(guī)格化。 非規(guī)格化形式的數(shù)： 通過(guò)變階變成規(guī)格化形式：1.4.2 浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)有兩個(gè)規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)：20.0888 1030.8880 1010AEAAM1

14、0BEBBM(1) 加（減）法運(yùn)算(2) 乘法運(yùn)算(3) 除法運(yùn)算(10) 10BAAEEEABABMM() 10ABEEABA BMM/() 10ABEEABA BMM1.5 誤差危害的防止誤差危害的防止 1. 選擇穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算公式選擇穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算公式 例例6 計(jì)算積分 解：解：利用分部積分得 得到遞推公式： 而 ，利用這個(gè)遞推公式進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果為 E1=0.367879, E2=0.264242, , E9=-0.068480110,1,2,9nxnEx edxn11111110100|1nxnxnxnnEx edxx enxedxnE 11,2,3,9nnEnEn 11Ee（1-13

15、）為何出現(xiàn)負(fù)值？因?yàn)檫f推公式（1-13）是不穩(wěn)定公式。初始誤差 在運(yùn)算中傳播很快，E1取六位有效數(shù)字，其舍入誤差所以，計(jì)算到E9，誤差為：E9取三位有效數(shù)字的精確值為0.0916。顯然，誤差傳播淹沒(méi)了問(wèn)題的解。74.412 102111 2()1 22!EEE 311 3(12)3!EE 411 41 3(1 2)4!EE 79! 4.412 100.1601如果將遞推公式（1-13）改寫(xiě)成： 因?yàn)?，?dāng) 時(shí)， 。取E20=0 作為初始出發(fā)值進(jìn)行計(jì)算：E20=0.0, E19=0.0500000, E18=0.0500000, E10=0.0838771, E9=0.0916123用（1-14）

16、計(jì)算，初始誤差的影響在逐步減小，最后得到精度較高的結(jié)果。實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定的公式，盡量避免使用數(shù)值不穩(wěn)定的公式。 11nnEEnn 0nE （1-14） 2. 避免兩個(gè)相近的數(shù)相減避免兩個(gè)相近的數(shù)相減 例例7 當(dāng)x1000時(shí)，計(jì)算 的值 解：x1000，計(jì)算中取4位有效數(shù)字該結(jié)果只有1位有效數(shù)字，嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度。 把公式變形為：1xx 11001100031.6431.620.02xx 110.015811xxxx 3. 絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作除數(shù)絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作除數(shù)在機(jī)器上，用很小的數(shù)作除數(shù)會(huì)溢出；而且很小數(shù)稍有一點(diǎn)誤差，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大。例例 如果分母變?yōu)?.0011，

17、 結(jié)果發(fā)生了巨大變化結(jié)果發(fā)生了巨大變化!2.71822781.20.0012.71822471.10.00114. 防止大數(shù)防止大數(shù)“吃掉吃掉 ”小數(shù)的運(yùn)算小數(shù)的運(yùn)算例例：計(jì)算0.499410000.00060000.4090， 結(jié)果保留4位有效數(shù)字。計(jì)算方案1：0.499410001000 10000.0006000 1000 10000.40901000計(jì)算方案2：先把小的數(shù)相加，再加上大數(shù)。 0.49940.00060000.4090 10000.50000.40901000 0.9090100010015. 簡(jiǎn)化計(jì)算公式，減少運(yùn)算次數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算公式，減少運(yùn)算次數(shù)例例：要算多項(xiàng)式的值若改用下式 只需4次乘法和4次加法，而按前式需10次乘法和4次加法！ 4320.06250.42501.2151.1922.129xxxx(0.06250.4250)1.215)1.192)2.129xxxx計(jì)算多項(xiàng)式： 如果