等差數(shù)列求和公式

1、等差數(shù)列求和公式 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,是數(shù)列部分最重要公式之一,學(xué)習(xí)公式并靈活運(yùn)用公式可分如下四個(gè)層次:1.直接套用公式從公式中,我們可以看到公式中出現(xiàn)了五個(gè)量,包括這些量中已知三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了.從基本量的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式、理解公式、掌握公式這是最低層次要求.例1 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,如果它的前n項(xiàng)和,那么( ).(A) (B)(C) (D)解法1 由于且知,選(C).解法2 對(duì)照系數(shù)易知此時(shí)由知故選(C).例2 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知與的等比中項(xiàng)為,與的等差中項(xiàng)為1,求等差數(shù)列的通項(xiàng).解 設(shè)的通項(xiàng)為前n項(xiàng)和為由題意知,即化簡(jiǎn)可得解得或由此可知或經(jīng)檢驗(yàn)均適合題意,故所求等差數(shù)列的通

2、項(xiàng)為或2.逆向活用公式在公式的學(xué)習(xí)中,不僅要從正向認(rèn)識(shí)公式,而且要善于從反向分析弄清公式的本來(lái)面目.重視逆向地認(rèn)識(shí)公式,逆向運(yùn)用公式,無(wú)疑將大大地提高公式的解題功效,體現(xiàn)了思維的靈活性.例3 設(shè)求證:證明 又又且例4 數(shù)列對(duì)于任意自然數(shù)n均滿足,求證: 是等差數(shù)列.證明 欲證為常數(shù),由及可得推出作差可得因此由遞推性可知: 為常數(shù)),所以命題得證.這是九四年文科全國(guó)高考試題,高考中得分率極低,我們不得不承認(rèn)此為公式教學(xué)與學(xué)習(xí)中的一個(gè)失誤,倘若能重視逆向地認(rèn)識(shí)公式,理解公式,應(yīng)用公式,還“和”為“項(xiàng)”,結(jié)局還能如此慘重嗎?3.橫向聯(lián)系,巧用公式在公式的學(xué)習(xí)過(guò)程中,還要從運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)公式,

3、從函數(shù)及數(shù)列結(jié)合的角度分析透徹理解公式,公式表明是關(guān)于n的二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為0,同時(shí)也可以看出點(diǎn)列均在同一條拋物線上,且此拋物線過(guò)原點(diǎn),體現(xiàn)了思維的廣闊性,請(qǐng)?jiān)倏蠢?.解 設(shè),則可得解得或,所以或從而或y例5 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知指出中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由. x1213解 由于表明點(diǎn)列都在過(guò)原點(diǎn)的拋物線上,再由易知此等差數(shù)列公差d<0,且圖象如圖所示,O易知其對(duì)稱軸為,于是,故最大.4.恰當(dāng)變形妙用公式對(duì)公式進(jìn)行適當(dāng)變形,然后再運(yùn)用公式是公式應(yīng)用的較高層次,從而豐富了公式本身的內(nèi)涵,往往給解題帶來(lái)捷徑,體現(xiàn)了思維的深刻性.對(duì)于公式,變形可得,對(duì)于公式,變形可得它表明對(duì)于任意,點(diǎn)列都在同一直線上.例6 等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為( )(A)130 (B)170 (C)210 (D)260解法1 又由于,從而選(C).解法2 由于點(diǎn)在同一直線上,因此,化簡(jiǎn)可得:,選(C).解法3 由于點(diǎn)列均在同一直線上,說(shuō)明數(shù)列成等差數(shù)列,從而可得,解得或從而可求得或,故等差數(shù)列通項(xiàng)為或從以上可以看出,對(duì)公式的學(xué)習(xí)不應(yīng)僅僅停留在公式的表面.對(duì)公式深刻而豐富的內(nèi)涵