ch4_4雙線性變換法

1、如何將模擬濾波器轉變?yōu)閿底譃V波器如何將模擬濾波器轉變?yōu)閿底譃V波器?W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)頻率頻率變換變換設計模擬設計模擬濾波器濾波器AF到到DF的轉換的轉換00.81-9-6-30Normalized frequencyGain,dbW Wp=0.2p pW Wp=0.6p p1ppe1e1)(zzHWW 例如上節(jié)用脈沖響應不變法和一階巴特沃思低通濾波器，例如上節(jié)用脈沖響應不變法和一階巴特沃思低通濾波器，設計的設計的3dB截頻為截頻為W Wp的數字濾波器為的數字濾波器為)()(d)(dtxtayttyttxttyatttykTTkkTTkkTTk

2、d)()d(dd)(d)1()1()1(assH1)( 1kyky12kykyT12kxkxT用梯形面積用梯形面積近似積分近似積分) 12 1)21 ()21 (kxkxTkyaTkyaTazzTzaTaTzTzH11111121)2/1 ()2/1 ()1)(2/()(將將H(z)和和H(s) 比較可得比較可得11112)()(zzTssHzH)()(d)(dtxtayttyassH1)(11112zzTssTsTz222222)/2()/2(wwTTz令令s= +jw w，則有，則有1 1 0,0,|z| 0,0,|z|1S域虛軸映射到域虛軸映射到z域單位圓上域單位圓上S域右半平面映射到域

3、右半平面映射到z域單位圓外域單位圓外11112zzTs2/12/1TsTsz令令s=jw w，z=e jW W ，則有，則有2/j12/j1ejwwTT)2(jarctan)2(jarctaneewwTT)2arctan(2 jewT)2arctan(2Tw)2(tan2TwW W和和w w 的關系為的關系為) 2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww幅度響應不是常數時會產生幅度失真幅度響應不是常數時會產生幅度失真無混疊無混疊1. 1. 將數字濾波器的頻率指標將數字濾波器的頻率指標 W Wk 轉換為轉換為 模擬濾波器的頻率指標模擬濾波器的頻率指標 w wk 2. .

4、由模擬濾波器的指標設計模擬濾波器的由模擬濾波器的指標設計模擬濾波器的H(s)。3. 利用雙線性變換法，將利用雙線性變換法，將H(s)轉換轉換H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzHW Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)設計模擬設計模擬濾波器濾波器雙線性變換雙線性變換：AF分子、分母多項式的系數向量分子、分母多項式的系數向量Fs：抽樣頻率：抽樣頻率：DF分子、分母多項式的系數向量分子、分母多項式的系數向量利用利用MATLAB)2tan(2WwT11112)()(zzTssHzH用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通

5、濾波器，設計一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數字濾波器，并與脈沖響應不變法的數字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的設計的DF比較。比較。設雙線性變換中的參數為設雙線性變換中的參數為T(1) 將將DF的頻率指標轉換為的頻率指標轉換為AF的頻率指標的頻率指標)2tan(2ppWwT(2) 設計設計3dB截頻為截頻為w wp的一階的一階BW型模擬低通濾波器，即型模擬低通濾波器，即N=1, w wc = w wp1/1)(cwssH1/1pws故故1)2/tan(21pWsT用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數字

6、濾波器，并與脈沖響應不變法的數字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的設計的DF比較。比較。設雙線性變換中的參數為設雙線性變換中的參數為T(3) 用雙線性變換法將模擬濾波器轉換為數字濾波器用雙線性變換法將模擬濾波器轉換為數字濾波器參數參數T的取值和最終的設計結果無關。的取值和最終的設計結果無關。 為簡單起見，一般取為簡單起見，一般取T=2 1)2/tan(21)(pWsTsH1pp1p) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHWWW11112zzTs用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數

7、字濾波器，并與脈沖響應不變法的數字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的設計的DF比較。比較。雙線性變換法設計的雙線性變換法設計的DF的系統(tǒng)函數為的系統(tǒng)函數為1pp1p) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHWWW雙脈沖響應不變法設計的脈沖響應不變法設計的DF的系統(tǒng)函數為的系統(tǒng)函數為1ppe1e1)(zzHWW脈取取W Wp 0.6p0.6p，令，令z=ejW W ，可分別獲得兩者的幅度響應。，可分別獲得兩者的幅度響應。用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數字濾波器，并與脈沖響應不變法

8、的數字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的設計的DF比較。比較。00.6100.71Normalized frequencyAmplitude脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法W Wp 0.6p0.6p 脈沖響應不變法存在頻脈沖響應不變法存在頻譜混疊，所設計的譜混疊，所設計的DF不滿不滿足給定指標。而雙線性變足給定指標。而雙線性變換法不存在頻譜混疊，所換法不存在頻譜混疊，所設計的設計的DF滿足給定指標。滿足給定指標。 用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個個3dB截頻為截頻為W Wp的數字濾波器，并與脈沖響應不變法的數字濾波

9、器，并與脈沖響應不變法設計的設計的DF比較。比較。H雙雙(z)和和H脈脈(z)幅度響應比較的幅度響應比較的MATLAB實現實現Wp=0.6*pi;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1 -exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1

10、);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB (1) 將數字低通指標轉換成模擬低通指標，取將數字低通指標轉換成模擬低通指標，取T=2 Ap2db, As15db (2) 設計模擬低通濾波器設計模擬低通濾波器 （BW型）型）)/lg(2)110110(lgps1 . 01 . 0pswwAAN=2)2/(11 . 0sc) 110(sNAww=0.585 1 12)(1)(c2cLwwsssH9324. 0

11、)2tan(2ppWwT4376. 1)2tan(2ssWwT3342. 05827. 03342. 02ss利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB (3) 用用雙線性變換法將模擬低通濾波器轉換成數字低通濾波器雙線性變換法將模擬低通濾波器轉換成數字低通濾波器 11112)()(zzTssHzH21213237. 02606. 018157. 05315. 08157. 0zzzz利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，

12、滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specficationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-

13、dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(n

14、umd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%computer Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2

15、p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dbAp= 0.3945As= 15.0000利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized fr

16、equencyGain,dB將將雙線性變換法與脈沖響應不變法所雙線性變換法與脈沖響應不變法所設計設計DF的結果比較。的結果比較。雙線性變換雙線性變換Ap= 0.3945As= 15.0000脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法脈沖響應不變脈沖響應不變Ap= 1.1187As= 12.3628W Wp,W Wsw wp,w wsH(z)w =W/T脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法H(s)模擬頻模擬頻率變換率變換設計原型設計原型低通濾波器低通濾波器sp,ww)(LsH復頻率變換復頻率變換)2tan(2Tw 脈沖響應不脈沖響應不變法不能設計變法不能設計和和數字濾數

17、字濾波器波器1e111zpsTpll11112zzTs試設計滿足下列指標的試設計滿足下列指標的BW型數字帶阻濾波器型數字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。 脈沖響應不變法不適合設計數字帶阻濾波器，脈沖響應不變法不適合設計數字帶阻濾波器，因此采用雙線性變換法設計。因此采用雙線性變換法設計。 (1) 將數字帶阻濾波器指標轉換成模擬帶阻濾波器指標將數字帶阻濾波器指標轉換成模擬帶阻濾波器指標 )2tan(2WwT取取T=2，利用，利用得模

18、擬帶阻指標為得模擬帶阻指標為w wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=11rad,Ap 1dB, As 10dB 試設計滿足下列指標的試設計滿足下列指標的BW型數字帶阻濾波器型數字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(2) 將模擬帶阻濾波器指標轉換成模擬低通濾波器指標將模擬帶阻濾波器指標轉換成模擬低通濾波器指標 21s2swwB9499. 92s1s0www3714. 0,max202p2p2202p1p1pwwwwwwwBBAp 1dB, As 10dB 1sww wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=11rad,Ap 1dB, As 10dB 模擬帶阻指標模擬帶阻指標試設計滿足下列指標的試設計滿足下列指標的BW型數字帶阻濾波器型數字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。