現(xiàn)代控制理論第4章續(xù)

1、4.5 狀態(tài)觀測器 在4.2 節(jié)中介紹控制系統(tǒng)設(shè)計的極點配置方法時，曾假設(shè)所有的狀態(tài)變量均可有效地用于反饋。然而在實際情況中，不是所有的狀態(tài)度變量都可用于反饋。這時需要要估計不可用的狀態(tài)變量。需特別強調(diào)，應避免將一個狀態(tài)變量微分產(chǎn)生另一個狀態(tài)變量，因為噪聲通常比控制信號變化更迅速，所以信號的微分總是減小了信噪比。有時一個單一的微分過程可使信噪比減小數(shù)倍。有幾種不用微分來來估計不能觀測狀態(tài)的方法。不能觀測狀態(tài)變量的估計通常稱為觀測。估計或者觀測狀態(tài)變量的裝置（或計算機程序）稱為狀態(tài)觀測器，或簡稱觀測器。如果狀態(tài)觀測器能觀測到系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，不管其是否能直接測量，這種狀態(tài)觀測器均稱為全維狀態(tài)觀

2、測器。有時，只需觀測不可測量的狀態(tài)變量，而不是可直接測量的狀太態(tài)變量。例如，由于輸出變量是能觀測的，并且它們與狀態(tài)變量線性相關(guān)，所以無需觀測所有的狀態(tài)變量，而只觀測n-m個狀態(tài)變量，其中n是狀態(tài)向量的維數(shù)，m是輸出向量的維數(shù)。估計小于n個狀態(tài)變量（n為狀態(tài)向量的維數(shù)）的觀測器稱為降維狀態(tài)觀測器，或簡稱為降價觀測器。如果降維狀態(tài)觀測器的階數(shù)是最小的，則稱該觀測器為最小階狀態(tài)觀測器或最小階觀測器。本節(jié)將討論全維狀態(tài)觀測器和最小階狀態(tài)觀測器。4.5.1引言狀態(tài)觀測器基于輸出的測量和控制變量來估計狀態(tài)變量。在3.7節(jié)討論的能觀測性概念有重要作用。正如下面將看到的，當且僅當滿足能觀測性條件時，才能設(shè)計狀

3、態(tài)觀測器。在下面關(guān)于狀態(tài)觀測器的討論中，我們用表示被觀測的狀態(tài)向量。在許多實際情況中，將被觀測的狀態(tài)向量用于狀態(tài)反饋，以產(chǎn)生所期望的控制向量?？紤]如下線性定常系統(tǒng)(4.27)(4.28) 假設(shè)狀態(tài)向量x由如下動態(tài)方程(4.29)中的狀態(tài)來近似，該式表示狀態(tài)觀測器。注意到狀態(tài)觀測器的輸入為y和u，輸出為。式（4.29）的右端最后一項包含被觀測輸出C之間差的修正項。矩陣起到加權(quán)矩陣的作用。修正項監(jiān)控狀態(tài)變量。當此模型使用的矩陣A和B與實際系統(tǒng)使用的矩陣A和B之間存在差異時，由于動態(tài)模型和實際系統(tǒng)之間的差異，該附加的修正項將減小這些影響。圖4.5所示為系統(tǒng)和全維狀態(tài)觀測器的方塊圖。 下面將詳細討論用

4、矩陣A和B以及附加的修正項來表征動態(tài)特性的狀態(tài)觀測器，其中的附加修正項包含測量輸出和估計輸出之間的差。在討論過程中，假設(shè)在此模型中使用的矩陣A和B與實際系統(tǒng)使用的相同。圖4.5 全維狀態(tài)觀測器方塊圖4.5.2全維狀態(tài)觀測器在此討論的狀態(tài)觀測順的階數(shù)和系統(tǒng)的階數(shù)相等。假設(shè)系統(tǒng)由式（4.27）和（4.28）定義。觀測器方程由式（4.29）定義。為了得到觀測器的誤差方程，用式（4.27）減去式（4.29），可得(4.30)定義和之差為誤差向量，即則式（4.30）改寫為(4.31)由式（4.31）可看出，誤差向量的動態(tài)特性由矩陣A-KeC的特征值決定。如果矩陣A -KeC是穩(wěn)定矩陣，則對任意初始誤差向

5、量e(0)，誤差向量都將趨近于零。也就是說，不管x(0)和(0)值如何，都將收斂到x (t)。如果所選的矩陣A-KeC的特征值使得誤差向量的動態(tài)特性漸近穩(wěn)定且足夠快，則任意誤差向量都將以足夠快的速度趨近于零(原點)。如果系統(tǒng)是完全能觀測的，則可證明可以選擇。使得A - KeC具有任意所期望的特征值。也就是說，可以確定觀測器的增益矩陣，以產(chǎn)生所期望的矩陣A - KeCo下面討論這個問題。4.5.3對偶問題全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題，是確定觀測器增益矩陣，使得由式（4.31）定義的誤差動態(tài)方程以足夠快的響應速度漸近穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定性和誤差動態(tài)方程的響應速度由矩陣A-KeC的特征值決定）。因此，全維觀測

6、的設(shè)計就變?yōu)榇_定一個合適的，使得A-KeC具有所期望的特征值。因而，全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題就變成與4.2節(jié)討論的極點配置問題相同，考慮如下的線性定常系統(tǒng) 在設(shè)計全維狀態(tài)觀測器時，我們可以求解其對偶問題。也就是說，求解如下對偶系統(tǒng)的極點配置問題。假設(shè)控制輸入為如果對偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得矩陣得到一組期望的特征值。如果1,2,n是期望的狀態(tài)觀測器矩陣特征值，則通過取相同的i作為對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣的期望特征值，可得 注意到和的特征值相同，可得 比較特征多項式和觀測器系統(tǒng)（參見式（4.31）的特征多項式，可找出和的關(guān)系為因此，采用在對偶系統(tǒng)中由極點配置方法確

7、定矩陣K，原系統(tǒng)的觀測器增益矩陣K，可通過關(guān)系式確定。4.5.4 可觀測條件如前所述，對于A-KeC所期望特征值的觀測器增益矩陣的確定，其充要條件為：原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。該對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控的條件是的秩為n。這是由式(4.27)和(4.28)定義的原系統(tǒng)的完全能觀測性條件。這意味著。由式（4.27）和(4.28)定義的系統(tǒng)的狀態(tài)觀測的充要條件是系統(tǒng)完全能觀測。下面將介紹解決狀態(tài)觀測器設(shè)計問題的直接方法（而不是對偶問題的方法），采用對偶問題的方法來確定求觀測器增益矩陣的愛克曼公式。4.5.5 全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計考慮由下式定義的線性定常系統(tǒng)(4.32)式中，。假設(shè)系統(tǒng)是完全能觀

8、測的，又設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4.5所示。在設(shè)計全維狀態(tài)觀測器時，如果將式（4.32）和（4.33）給出的系統(tǒng)變換為能觀測標準形就很方便了。如前所述，可按下列步驟進行：定義一個變換矩陣P，使得(4.34）式中R是能觀測性矩陣(4.35)且對稱矩陣W由式（4.6）定義，即式中，是由式（4.32）給出的如下特征方程的系數(shù) 顯然，由于假設(shè)系統(tǒng)是完全能觀測的，所以矩陣WR的逆存在?，F(xiàn)定義一個新的n維狀態(tài)向量為x=P(4.36)則式（4.32）和（4.33）為(4.37)(4.38)式中(4.39)(4.40)(4.41)式（4.39）到（4.41）的推導見例4.7和4.8。式（4.37）和（4.38）是能觀測

9、標準形。因而給定一個狀態(tài)方程和輸出方程，如果系統(tǒng)是完全能觀測的，并且通過采用式（4.36）給出的變換，將原系統(tǒng)的狀態(tài)向量x變換為新的狀態(tài)向量，則可將給定的狀態(tài)方程和輸出方程變換為能觀測標準形。注意，如果矩陣A已經(jīng)是能觀測標準形，則Q=I。如前所述，選擇由=(4.42)給出的狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程?，F(xiàn)定義(4.43)將式（4.43）代入式（4.42），有(4.44)用式（4.37）減去式（4.44），可得(4.45)定義則式（4.45）為(4.46)要求誤差動態(tài)方程是漸近穩(wěn)定的，且以足夠快的速度趨于零。確定矩陣的步驟，是先選擇所期望的觀測器極點（的特征值），然后確定，使其給出所期望的觀測器極點。注

10、意，可得式中由于是一個n維向量，則(4.47)參考式（4.41），有和特征方程為即或者(4.48)可見,n,n-1,1中的每一個只與特征方程系數(shù)中的一個相關(guān)聯(lián)。假設(shè)誤差動態(tài)方程所期望的特征方程為(4.49)注意，期望的特征值i確定了被觀測狀態(tài)以多快的速度收斂于系統(tǒng)的真實狀態(tài)。比較式（4.48）和(4.49)的s同冪項的系數(shù)，可得從而可得 于是，由式（4.47）得到因此(4.50)式（4.50）規(guī)定了所需的狀態(tài)觀測器增益矩陣。如前所述，式（4.50）也可通過其對偶問題由式（4.13）得到。也就是說，考慮對偶系統(tǒng)的極點配置問題，并求出對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K。那么，狀態(tài)觀測器的增益矩陣K可由確

11、定（見例4.16）。一旦選擇了所期望的特征值（或所期望的特征方程），只要系統(tǒng)完全能觀測，就能設(shè)計全維狀態(tài)觀測器。所選擇的特征方程的期望特征值，應使得狀態(tài)觀測器的響應速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快25倍。如前所述，全維狀態(tài)觀測器的方程為(4.51)注意，迄今為止，我們假設(shè)觀測器中的矩陣A和B與實際系統(tǒng)中的嚴格相同。實際上，這做不到。因此，誤差動態(tài)方程不可能由式（4.46）給出，這意味著誤差不可能趨于零。因此，應盡量建立觀測器的準確數(shù)學模型，以使誤差小到令人滿意的程度。4.5.6 求狀態(tài)觀測器增益矩陣的直接代入法與極點配置的情況類似，如果系統(tǒng)是低階的，可將矩陣直接代入所期望的特征多項這可能更為簡便。

12、例如，若x是一個三維向量，則觀測器增益矩陣可寫為： 將該矩陣代入期望的特征多項式 通過使上式兩端s的同次冪系數(shù)相等，可確定、和的值。如果n=1,2或者3，其中n是狀態(tài)向量x的維數(shù)，則該方法很簡便（雖然該方法用于n=4,5,6,的情況，但涉及到的計算可能非常繁瑣）。確定狀態(tài)觀測器增益矩陣的另一種方法是采用愛克曼公式。下面就介紹這種方法。4.5.7愛克曼公式(Ackermanns Formula)考慮如下的線性定常系統(tǒng)(4.52)(4.53)在4.2節(jié)中，我們已推導了用于式（4.52）定義的系統(tǒng)的極點配置的愛克曼公式，其結(jié)果已由式（4.18）給出，現(xiàn)重寫為對于由式（4.52）和(4.53)定義的對

13、偶系統(tǒng)前述關(guān)于極點配置的愛克曼公式可改寫為(4.54)如前所述，狀態(tài)觀測器的增益矩陣由給出，這里的由式（4.54）確定。從而(4.55)式中，是狀態(tài)觀測器的期望特征多項式，即這里，1, 2, ,n是期望的特征值。式（4.55）稱為確定觀測器增益矩陣的愛克曼公式。4.5.8最優(yōu)選擇的注釋參考圖4.5，應當指出，作為對裝置模型修正的觀測器增益矩陣，通過反饋信號來考慮裝置中的未知因素。如果含有顯著的未知因素，那么通過矩陣的反饋信號也應該比較大。然而，如果由于干擾和測量噪聲使輸出信號受到嚴重干擾，則輸出y是不可靠的。因此，由矩陣引起的的反饋信號應該比較小。在決定矩陣時，應該仔細檢查包含在輸出y中的干擾

14、和噪聲的影響。應強調(diào)的是觀測器增益矩陣依賴于所期望的特征方程在許多情況中，1, 2, ,n的選取不是唯一的。有許多不同的特征方程可選作所期望的特征方程。對于每個期望的特征方程，可有不同的矩陣。在設(shè)計狀態(tài)觀測器時，最好是在幾個不同的期望特征方程的基礎(chǔ)上決定觀測器增益矩陣。 這幾種不同的矩陣必須進行仿真，以評估作為最終系統(tǒng)的性能。當然，應從系統(tǒng)總體性能的觀點來選取最好的。在許多實際問題中，最好的矩陣選取，歸結(jié)為快速響應及對于擾和噪聲靈敏性之間的一種折衷。-例4.2 考慮如下的線性定常系統(tǒng)式中設(shè)計一個全維狀觀測器。設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和圖4.5所示的相同。又設(shè)觀測器的期望特征值為 由于狀態(tài)觀測器的設(shè)計實際上歸

15、結(jié)為確定一個合適的觀測器增益矩陣，為此先檢驗能觀測性矩陣，即的秩為2。因此，該系統(tǒng)是完全能觀測的，并且可確定期望的觀測器增益矩陣。我們將用3種方法來求解該問題。方法1：采用式（4.50）來確定觀測器的增益矩陣。由于該狀態(tài)矩陣A已是能觀測標準形，因此變換矩陣。由于給定系統(tǒng)的特征方程為因此觀測器的期望特征方程為因此 故觀測器增益矩陣可由式（4.50）求得如下方法2：參見式（4.31） 定義則特征方程為(4.56)由于所期望的特征方程為比較式（4.56）和以上方程，可得或方法3：采用由式（4.55）給出的愛克曼公式。式中因此從而 當然，無論采用什么方法，所得的是相同的。 全維狀態(tài)觀測器由式（4.51

16、）給出為或者- 與極點配置的情況類似，如果系統(tǒng)階數(shù)n4，則推薦方法1和3，這是因為在采用方法1和3時，所有矩陣都可由計算機實現(xiàn)；而方法2總是需要手工計算包含未知參數(shù)的特征方程。4.5.9觀測器的引入對閉環(huán)系統(tǒng)的影響在極點配置的設(shè)計過程中，假設(shè)真實狀態(tài)x(t)可用于反饋。然而實際上，真實狀態(tài)x(t)可能無法測量，所以必須設(shè)計一個觀測器，并且將觀測到的狀態(tài)用于反饋，如圖4.6所示。因此，該設(shè)計過程分為兩個階段，第一個階段是確定反饋增益矩陣K，以產(chǎn)生所期望的待征方程；第二個階段是確定觀測器的增益矩陣，以產(chǎn)生所期望的觀測器特征方程。現(xiàn)在不采用真實狀態(tài)x(t)而采用觀測狀態(tài)研究對閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程的影

17、響?？紤]如下線性定常系統(tǒng)且假定該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和完全能觀測。 對基于觀測狀態(tài)的狀態(tài)反饋控制 利用該控制，狀態(tài)方程為(4.57) 將直實狀態(tài)x(t）和觀測狀態(tài)的差定義為誤差e(t)，即 將誤差向量代入式（4.57），得（4.58）注意，觀測器的誤差方程由式（4.31）給出，重寫為（4.59）將式（4.58）和(4.59)合并，可得(4.60)式（4.60）描述了觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)特性。該系統(tǒng)的特征方程為或注意，觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點包括由極點配置單獨設(shè)計產(chǎn)生的極點和由觀測器單獨設(shè)計產(chǎn)生的極點。這意味著，極點配置和觀測器設(shè)計是相互獨立的。它們可分別進行設(shè)計，并合并為觀測-狀態(tài)

18、反饋控制系統(tǒng)。注意，如果系統(tǒng)的階次為n，則觀測器也是n階的（如果采用全維狀態(tài)觀測器），并且整個閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為2n階的。由狀態(tài)反饋（極點配置）選擇所產(chǎn)生的期望閉環(huán)極點，應使系統(tǒng)能滿足性能要求。觀測器極點的選取通常使得觀測器響應比系統(tǒng)的響應快得多。一個經(jīng)驗法則是選擇觀測器的響應至少比系統(tǒng)的響應快25倍。因為觀測器通常不是硬件結(jié)構(gòu)，而是計算軟件，所以它可以加快響應速度，使觀測狀態(tài)迅速收斂到真實狀態(tài)，觀測器的最大響應速度通常只受到控制系統(tǒng)中的噪聲和靈敏性的限制。注意，由于在極點配置中，觀測器極點位于所期望的閉環(huán)極點的左邊，所以后者在響應中起主導作用。4.5.10 控制器-觀測器的傳遞函數(shù)考慮如下

19、線性定常系統(tǒng)且假設(shè)該系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測，但x不能直接測量。又設(shè)采用觀測-狀態(tài)反饋控制為(4.61)如圖4.6所示，則觀測器方程為(4.62)對式(4.61)取拉普拉斯變換(4.63)由式（4.62）定義的觀測器方程的拉普拉斯變換為(4.64)設(shè)初始觀測狀態(tài)為零，即。將式（4.63）代入式（4.64），并對(s)求解，可得（4.65）將上述方程代入式（4.63），可得這里在討論時，u和y均為純量。式（4.65）給出了U(s)和-Y(s)之間的傳遞函數(shù)。圖4.7為該系統(tǒng)的方塊圖。注意，控制器的傳遞函數(shù)為 因此，通常稱此傳遞函數(shù)為控制器-觀測器傳遞函數(shù)。-例12.3 考慮下列系統(tǒng)的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)設(shè)計：(

20、4.67)(4.68)式中假設(shè)采用極點配置方法來設(shè)計該系統(tǒng)，并使其閉環(huán)極點為s =i(i = 1, 2)，其中。在此情況下，可得狀態(tài)反饋增益矩陣K為采用該狀態(tài)反饋增益矩陣K，可得控制輸入u為假設(shè)采用觀測-狀態(tài)反饋控制替代真實狀態(tài)反饋控制，即式中，觀測器增益矩陣的特征值選擇為現(xiàn)求觀測器增益矩陣。并畫出觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的方塊圖。再求該控制-觀測器的傳遞函數(shù)U(s)/-Y(s)，并畫出系統(tǒng)的方塊圖。對于由式（4.67）定義的系統(tǒng)，其特征多項式為因此該觀測器的期望特征方程為因此 為了確定觀測器增益矩陣，利用式（4.50），則有式中因此(4.69)式（4.69）給出了觀測器增益矩陣。觀測器的方程由

21、式（4.51）定義，即(4.70)由于所以，式（4.70）為或 具有觀測-狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方塊圖如圖4.8所示。 參照式（4.66），控制器-觀測器的傳遞函數(shù)為該系統(tǒng)的方塊圖如圖4.9所示。設(shè)計的觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列方程描述。對于系統(tǒng) 對于觀測器 作為整體而言，該系統(tǒng)是4階的，其系統(tǒng)特征方程為 該特征方程也可由圖4.9所示的系統(tǒng)的方塊圖得到。由于閉環(huán)傳遞函數(shù)為則特征方程為 事實上，該系統(tǒng)的特征方程對于狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)表達式是相同的。-4.5.11最小階觀測器迄今為止，我們所討論的觀測器設(shè)計都是重構(gòu)所有的狀態(tài)變量。實際上，有一些狀態(tài)變量可以準確測量。對這些可準確測量的狀態(tài)

22、變量就不必估計了。假設(shè)狀態(tài)向量x為n維向量，輸出向量y為可量測的m維向量。由于m個輸出變量是狀態(tài)變量的線性組合，所以m個狀態(tài)變量就不必進行估計，只需估計n-m個狀態(tài)變量即可，因此，該降維觀測器為n-m階觀測器。這樣的n-m階觀測器就是最小階觀測器。圖4.10所示為具有最小階觀測器系統(tǒng)的方塊圖。圖4.10 具有最小階觀測器的觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)如果輸出變量的測量中含有嚴重的噪聲，且相對而言較不準確，那么利用全維觀測器可以得到更好的系統(tǒng)性能。為了介紹最小階觀測器的基本概念，又不涉及過于復雜的數(shù)學推導，我們將介紹輸出為純量（即m=1）的情況，并推導最小階觀測器的狀態(tài)方程。考慮系統(tǒng)式中，狀態(tài)向量x可

23、劃分為(純量)和(n-1維向量)兩部分。這里，狀態(tài)變量等于輸出y，因而可直接量測，而是狀態(tài)向量的不可量測部分。于是，經(jīng)過劃分的狀態(tài)方程和輸出方程為(4.71)(4.72)式中，。 由式（4.71），狀態(tài)可測部分的狀態(tài)方程為或(4.73)式（4.73）左端各項是可量測的。式（4.73）可看作輸出方程。在設(shè)計最小階觀測器時，可認為式（4.73）左端是已知量。因此，式（4.73）可將狀態(tài)的可量測和不可量測部分聯(lián)系起來。由式（4.71），對于狀態(tài)的不能量測部分(4.74)注意，Ab axa和Bbu這兩項是已知量，式（4.74）為狀態(tài)的不可量測部分的狀態(tài)方程。下面將介紹設(shè)計最小階觀測器的一種方法。如果采

24、用全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法，則最小階觀測器的設(shè)計步驟可以簡化。現(xiàn)比較全維觀測器的狀態(tài)空間表達式和最小階觀測器的狀態(tài)空間表達式。 全維觀測器的狀態(tài)方程為 最小階觀測器的狀態(tài)方程為全維觀測器的輸出方程為 最小階觀測器的輸出方程為因此，最小階觀測器的設(shè)計步驟如下：首先，注意到全維觀測器由式（4.51）給出，將其重寫為(4.75)然后，將表4.1所做的替換代入式（4.75），可得(4.76)式中，狀態(tài)觀測器增益矩陣是(n-1)×1維矩陣。在式（4.76）中，注意到為估計，需對微分，這是不希望的，因此有必要修改式（4.76）。表4.1 給出式(4.76)的最小階狀態(tài)觀測器方程所做的替換全維狀態(tài)

25、觀測器最小階狀觀測器AAbbBuAb axa+BbuyCAab (n×1矩陣)(n-1)×1矩陣 注意到xa=y，將式（4.76）重寫如下，可得(4.77) 定義及(4.78)則式（4.77）成為 (4.79)從而式（4.79）和（4.78）一起確定了最小階觀測器。下面推導觀測器的誤差方程。利用式（4.73），將式（4.76）改寫為(4.80) 用式（4.80）減去式（4.74），可得(4.81) 定義于是，式（4.81）為(4.82)這就是最小階觀測器的誤差方程。注意，e是（n-1）維向量。如果矩陣的秩為n-1（這是用于最小階觀測器的完全能觀測性條件），則仿照在全維觀測器

26、設(shè)計中提出的方法，可選定最小階觀測器的誤差狀態(tài)方程。 由式（4.82）得到的最小階觀測器的期望特征方程為(4.83)式中，1，2，n -1是最小階觀測器的期望特征值。觀測器的增益矩陣確定如下：首先選擇最小階觀測的期望特征值（即將特征方程（4.83）的根置于所期望的位置），然后采用在全維觀測器設(shè)計中提出并經(jīng)過適當修改的方法。例如，若采用由式（4.50）給出的確定矩陣的公式，則應將其修改為(4.84)式中的是(n-1)×1維矩陣，并且這里，均為(n-1)×(n-1)維矩陣。注意，是如下特征方程的系數(shù)： 同樣，如果采用式（4.55）給出的愛克曼公式，則應將其修改為(4.85)式中

27、-例4.4 考慮系統(tǒng)式中 假設(shè)輸出y可準確量測，因此狀態(tài)變量x1(等于y)不需估計。設(shè)計一個最小階觀測器（該最小階觀測器是二階的）。此外，假設(shè)最小階觀測器的期望特征值為 參照式（4.83），該最小階觀測器的特征方程為：下面采用由式（4.85）給出的愛克曼公式（例4.20介紹用式（4.84）來確定）。(4.86)式中由于可得式（4.86）為參照式（4.78）和(4.79)，最小階觀測器的方程為(4.87)式中注意到 最小階觀測器的式（4.87）為或圖4.11 具有觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)式中或 如果采用觀測-狀態(tài)反饋，則控制輸入為式中的K為狀態(tài)反饋增益矩陣（矩陣K不是在本例中確定的）。圖4.11

28、所示為具有觀測-狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的方塊圖，圖中的觀測器為最小階觀測器。-4.5.12 具有最小階觀測器的觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)對于具有全維狀態(tài)觀測器的觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，我們已經(jīng)指出，其閉環(huán)極點包括由極點配置設(shè)計單獨給出的極點，加上由觀測器設(shè)計單獨給出的極點。因此，極點配置設(shè)計和全階觀測器設(shè)計是相互獨立的。對于具有最小階觀測器的觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，可運用同樣的結(jié)論。該系統(tǒng)的特征方程可推導為(4.88)詳細情況請參見例4.13。具有最小階觀測器的觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點，包括由極點配置的閉環(huán)極點（矩陣A-BK的特征值）和由最小階觀測器的閉環(huán)極點（矩陣）兩部分組成。因此，極點配置設(shè)

29、計和最小階觀測器設(shè)計是互相獨立的。這就是所謂的極點配置與階觀測器設(shè)計的分離性原理。4.6 利用MATLAB設(shè)計狀態(tài)觀測器 本節(jié)將介紹用MATLAB設(shè)計狀態(tài)觀測器的幾個例子。我們將舉例說明全維狀態(tài)觀測器和最小階狀態(tài)觀測器設(shè)計的MATLAB方法。-例4.5 考慮一個調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的設(shè)計。給定線性定常系統(tǒng)為 式中且閉環(huán)極點為s=i(i=1,2)，其中 期望用觀測-狀態(tài)反饋控制，而不用真實的狀態(tài)反饋控制。觀測器增益矩陣的特征值為試采用MATALB求必需的狀態(tài)反饋增益矩陣K和觀測器增益矩陣。解 對于所考慮的系統(tǒng)，MATLAB Program 4.5可用來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K和觀測器增益矩陣。MATLAB

30、Program4.5%-Pole placement and design of observer-%* Design of a control system using pole-placement%technique and state observer. First solve pole-placement%problem *%* Enter matrices A,B,C,and D *A=0 1;20.6 0;B=0;1C=1 0;D=0;%* Check the rank of the controllability matrix M *M=B A*B;Rank(M)ans= 2%*

31、 Since the rank of the controllability matrix M is 2,%arbitrary pole placement is possible *%* Enter the desired characteristic polynomial by%defining the following matrix J and computing poly(J) *J=-1.8+2.4*i 0;0 -1.8-2.4*i;Poly(J)ans= 1.000 3.6000 9.0000%* Enter characteristic polynomial Phi *Phi=

32、polyvalm(poly(J),A);%* State feedback gain matrix K can be given by *K=0 1*inv(M)*PhiK=29.6000 3.6000%* The following program determines the observer matrix Ke *%* Enter the observability matrix RT and check its rank *RT=C A*C;rank(RT)ans=2%* Since the rank of the observability matrix is 2, design o

33、f%the observer is possible *%* Enter the desired characteristic polynomial by defining %the following matrix J0 and entering statement poly(JO) *JO=-8 0;0 -8;Poly(JO)ans= 1 16 64%* Enter characteristic polynomial Ph *Ph=polyvalm(ply(JO),A);%* The observer gain matrix Ke is obtained from *Ke=Ph*(inv(

34、RT)*0;1Ke= 16.0000 84.60000求出的狀態(tài)反饋增益矩陣K為 觀測器增益矩陣為 該系統(tǒng)是4階的，其特征方程為 通過將期望的閉環(huán)極點和期望的觀測器極點代入上式，可得 這個結(jié)果很容易通過MATLAB得到，如MATLAB Program4.6所示，(MATLAB Program4.6是MATLABProgram4.5的繼續(xù)。矩陣A、B、C、K和已在MATLAB Program4.5中給定)。MATLAB Program4.6%- Characteristic polynomial -%* The characteristic polynomial for the designed

35、 system%is given by |sI-A+BK|sI-A+KeC| *%* This characteristic polynomial can be obtained by use of %eigenvalues of A-BK and A-KeC as follows *X=eig(A-B*K);eig(A-Ke*C)X= -1.8000+2.4000i -8.0000 -8.0000poly(X)ans= 1.0000 19.6000 130.6000 374.4000 576.0000-例4.6 考慮在例4.4討論的設(shè)計最小階觀測器的同一問題。該系統(tǒng)為式中 假定狀態(tài)變量x1(

36、等于y)是可量測的，但未必是能觀測的。試確定最小階觀測器的增益矩陣。期望的特征值為試利用MATLAB方法求解。解 下面介紹該問題的兩個MATLAB程序。MATLAB Program4.7采用變換矩陣P，MATLAB Porgram 4.8采用愛克曼公式。MATLAB Program 4.7%- Design of minimum-order observer -%* This program uses transformation matrix P *%* Enter matrices A and B *A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;B=0;0;1;%* Enter matr

37、ices Aaa,Aab,Aba,Abb,Ba,and Bb. Note%that A=Aaa Aab;Aba Abb and B=Ba;Bb *Aaa=0;Aab=1 0;Aba=0;-6;Abb=0 1;-11 -6;Ba=0;Bb=0;1;%* Determine al and a2 of the characteristic polynomial %for the unobserved portion of the system *P=poly(Abb)P= 1 6 11a1=p(2);a2=p(3);%* Enter the reduced observbility matrix R

38、T and matrix W *RT=Aab Abb*Aab;W=a1 1;1 0;%* Enter the desired characteristic polynomial by defining %the following matrix J and entering stastement poly(J) *J=-2+2*sqrt(3)*i 0;0 -2-2*sqrt(3)*i;JJ=poly(J)JJ= 1.0000 4.0000 16.0000%* Determine aal and aa2 of the desired characteristic%polynomial *aa1=

39、JJ(2);aa2=JJ(3);%* Observer gain matrix Ke for the minimum-order observer%is given by *Ke=inv(W*RT)aa2-a2;aa1-a1Ke= -2 17MATLAB Program 4.8%- Design of minimum-order observer -%* This program is based on Ackermanns formula *%* Enter matrices A and B *A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;B=0;0;1;%* Enter matrices

40、 Aaa,Aab,Aba,Abb,Ba,and Bb. Note%that A=Aaa Aab;Aba Abb and B=Ba;Bb *Aaa=0;Aab=1 0;Aba=0;-6;Abb=0 1;-11 -6;Ba=0;Bb=0;1;%* Enter the reduced observability matrix RT *RT=Aab Abb*Aab;%* Enter the desired characteristic polynomial by defining%the following matrix J and entering statement poly(J) *J=-2+2

41、*sqrt(3)*i 0;0 -2-2*sqrt(3)*i;JJ=poly(J)JJ=1.0000 4.0000 16.0000%* Enter characteristic polynomial Phi *Phi=polyvalm(poly(J),Abb);%* Observer gain matrix Ke for the minimum-order observer%is given by * Ke=Phi*inv(RT)*0;1Ke= -2 17-4.7 伺服系統(tǒng)設(shè)計 在經(jīng)典控制理論中，我們通常按前饋傳遞函數(shù)中的積分器數(shù)目來劃分系統(tǒng)的類型。I型系統(tǒng)在前饋通道中有一個積分器，且此系統(tǒng)對階

42、躍響應不存在穩(wěn)態(tài)誤差。本節(jié)將討論I型伺服系統(tǒng)的極點配置方法，此時，將限制每個系統(tǒng)具有一個純量控制輸入u和一個純量輸出y。 下面首先討論含積分器的I型伺服系統(tǒng)的設(shè)計問題，然后討論不含積分器時的I型伺服系統(tǒng)的設(shè)計問題。4.7.1 具有積分器的I型伺服系統(tǒng)考慮由下式定義的線性定常系統(tǒng)(4.89)(4.90)式中，。如前所述，假設(shè)控制輸入u和輸出y均為純量。通過選擇一組適當?shù)臓顟B(tài)變量，可以選擇輸出量等于一個狀態(tài)變量（見第3章介紹的求傳遞函數(shù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的方法，這時輸出量y等于x1）。圖4.12畫出了具有一個積分器時，I型伺服系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。這里，假設(shè)y=x1。在分析中，假設(shè)參考輸入r是階躍函數(shù)

43、。在此系統(tǒng)中，采用下面的狀態(tài)反饋控制規(guī)律為圖4.12 具有一個積分器的系統(tǒng)的I型伺服系統(tǒng)(4.91)式中假設(shè)在t = 0時施加參考輸入（階躍函數(shù)）。因此t > 0時，該系統(tǒng)的動態(tài)特性由式（4.89）和（4.91）描述，即 (4.92)設(shè)計I型伺服系統(tǒng)，使得閉環(huán)極點配置在期望的位置。所設(shè)計的將是一個漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，y()將趨于常值r(r為階躍輸入)，u()將趨于零。在穩(wěn)態(tài)時，(4.93)注意，r（t）是階躍輸入。對t > 0,有r()=r(t)=r(常值)。用式（4.92）減去（4.93），可得(4.94)定義因此，式（4.94）成為(4.95)式（4.95）描述了誤差動態(tài)特征。I型伺

44、服系統(tǒng)的設(shè)計轉(zhuǎn)化為：對于給定的任意初始條件e(0),設(shè)計一個漸近穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，使得e(t）趨于零。如果由式（4.89）確定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則對矩陣A-BK，通過指定的所期望的特征值1，2，,n,可由4.2節(jié)介紹過的極點配置方法來確定線性反饋增益矩陣K。x(t)和u(t)的穩(wěn)態(tài)值求法如下：在穩(wěn)態(tài)（）時，由式（4.92）可得由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面，所以矩陣A-BK的逆存在。從而，x()可確定為 同樣，u()可求得為-例4.7 考慮系統(tǒng)傳遞函數(shù)具有一個積分器時的I型伺服系統(tǒng)的設(shè)計。假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)計一個I型伺服系統(tǒng)，使得閉環(huán)極點為。假設(shè)該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與圖4.12所示

45、的相同，參考輸入r是階躍函數(shù)。解 定義狀態(tài)變量x1,x2和x3為，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為(4.96)(4.97)式中參見圖4.12并注意到n=3，則控制輸入u為(4.98)式中此時，就可用極點配置方法確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。 現(xiàn)檢驗系統(tǒng)的能控性矩性。由于的秩為3。因此，該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，并且可任意配置極點。 將式（4.98）代入式（4.96），可得(4.99)式中的r為階躍函數(shù)。因此，當t趨于無窮時，x(t)趨于定常向量x()。在穩(wěn)態(tài)時，(4.100)從式（4.99）減去式（4.100），可得 定義那么(4.101)式（4.101）確定了誤差的動態(tài)特性。該系統(tǒng)的特征方程為因此由于A-

46、BK的期望特征值為所以期望的特征方程為因此 為了利用極點配置方法來確定矩陣K，采用式（4.13），將其重寫為(4.102)由于式（4.96）已是能控標準形的，所以P=I。因此該系統(tǒng)的階躍響應容易由計算機仿真求得。由于 由式（4.99），可得設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(4.103)輸出方程為(4.104)當r為單位階躍函數(shù)時，求解式（4.103）和（4.104），即可求得y(t)對t的單位階躍響應曲線。MATLAB Program 4.9可求出單位階躍響應。所得的單位階躍響應曲線如圖4.13所示。注意到，因此由式（4.100），可得MATLAB Program 4.9%- Unit-step resp

47、onse-%*Enter the state matrix A,control matrixB,output matrixC，%and direct transmission matrixD*A=0 10;001;-160-56 -14;B=0;0;160;C=1 00;D=0;%*Enter step command and plot command*t=0:0.01:5;y=step(A,B,C,D,1,t);plot(t,y)gridtitle(Unit-Step Response)xlabel(t Sec)ylabel(Output y)圖4.13 例4.7設(shè)計的系統(tǒng)y(t)對t的單位

48、階躍響應曲線 由于所以顯然，。在階躍響應中沒有穩(wěn)態(tài)誤差。 注意，由于所以即在穩(wěn)態(tài)時，控制輸入u為零。-4.7.2 系統(tǒng)中不含積分器時的I型伺服系統(tǒng)的設(shè)計如果系統(tǒng)中沒有積分器（0型系統(tǒng)），則設(shè)計I型伺服系統(tǒng)的基本原則是在誤差比較器和系統(tǒng)間的前饋通道中插入一個積分器，如圖4.14所示（當不含積分器時，圖4.14所示方塊圖是I型伺服系統(tǒng)的基本形式）。由圖中可得(4.105)(4.106)(4.107)(4.108)式中，。假設(shè)由式（4.105）定義的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 為了避免插入的積分器在系統(tǒng)原點處與零點有相約的可能，假設(shè)在原點處沒有零點。假設(shè)在t=0時施加參考輸入（階躍函數(shù)），則對t>0，該系統(tǒng)的動態(tài)特性可由式（4.105）和（4.108）的組合來描述，即(4.109) 試設(shè)計一個漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，使得、和分別趨于常值。因此，在穩(wěn)態(tài)時，并且。 注意，在穩(wěn)態(tài)時(4.110)其中r(t)為階躍輸入，從而對t>0，r() =r(t)=r（常值）。從式（4.109）中減去式（4.110），可得(4.111) 定義則式（4.1