圓錐曲線大題綜合測試(含詳細答案)

1、圓錐曲線21 .設(shè)橢圓M :篤a2£1 a、.22的右焦點為F,，直線I : x 一2與x軸交于點A ,7 a 2uur uur若OF, 2F,A （其中0為坐標(biāo)原點).(1)求橢圓M的方程;(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點,EF為圓N ：x22y 21的任意一條直徑(E、F為直徑的兩個端點)，求PE PF的最大值.2 為1 a b2(I)求橢圓E的方程；(n)設(shè)橢圓E的上下頂點分別為 A, A2, P是橢圓上異于A, A的任一點，直線PA, PA2分別交x軸于點N,M ,若直線0T與過點M,N的圓G相切，切點為T.證明：線段0T的長為定值,并求出該定值2x2 .已知橢圓E：飛ab 0

2、的一個焦點為iE°，而且過點H心13、已知圓0：x2y22交x軸于A,B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為上的橢圓,其左焦點為F,若P是圓02上一點,連結(jié)PF,過原點0作直線PF的垂線交直線 x=-2于點Q.（I ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（n）若點P的坐標(biāo)為（1,1）,求證:直線pq與圓0相切;（川）試探究：當(dāng)點P在圓0上運動時（不與A B重合）,直線PQ與圓0是否保持相切的位置關(guān)系 ？若是,請證明；若不是，請說明理由24設(shè)A（xyj B（X2, y2）是橢圓 與X2與 1（a b0）上的兩點，滿足（工上）（竺半）0，橢圓的離心率b2babae,短軸長為2, 0為坐標(biāo)原點.2（1）求

3、橢圓的方程；（2）若直線AB過橢圓的焦點F （0, c）, （c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；（3）試問： AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由2 25、直線I : y = mx + 1 ，雙曲線C: 3x y = 1 ,問是否存在 m的值，使l與C相交于A , B兩點，且以AB為直 徑的圓過原點26已知雙曲線C：篤a2古 1(a o，b0）的兩個焦點為F1（-2，0），F(xiàn)2（ 2，0），點P（3,J7）在曲線C上。（1）求雙曲線C的坐標(biāo)；（2）記O為坐標(biāo)原點，過點Q（0,2）的直線I與雙曲線C相交于不同兩點 巳卩,若厶OEF的面積為2, 2， 求直線丨的方程

4、。2 27.已知橢圓C :務(wù)占 1( aa2b20）經(jīng)過點A（2,1），離心率為,過點B（3, 0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點M ,N . （1）求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN，求證：kAM kAN為定值.x2&已知橢圓C1 :-a軸長為半徑的圓相切。y2b2 1(a b °)的離心率為直線l：yx 22與以原點為圓心、以橢圓Ci的短半(I)求橢圓Ci的方程;(n)設(shè)橢圓Ci的左焦點為F1，右焦點為F2,直線li過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線 2垂直li于點P,線段PF的垂直平分線交12于點M求點M的軌跡G的方程；(川)若AC

5、BD為橢圓Ci的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2,求四邊形 ABCD勺面積的最小值.2 29設(shè)F是橢圓C：篤再i(a b °)的左焦點，直線l為其左準(zhǔn)線，直線I與x軸交于點P,線段MN為橢圓的長 a b軸，已知 |MN |8,且 |PM | 2|MF | .(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點P的直線與橢圓相交于不同兩點A、B求證：/ AFM=Z BFN(2) 求三角形ABF面積的最大值.10如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在 x軸上，長軸長是短軸長的 2倍且經(jīng)過點M(2,1)，平行于0M的直線I在 y軸上的截距為 m(m 0)， I交橢圓于A、B兩個不同點(1 )求橢圓的方程

6、；(2)求m的取值范圍；(3)求證直 線MA MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。211已知橢圓C :務(wù)a2b21(a b 0)，左、右兩個焦點分別為R、F2，上頂點A(0,b)，AF1F2為正三角形且周長為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;(2) O為坐標(biāo)原點,P是直線F1A上的一個動點，求| PF2 |PO|的最小值，并求出此時點P的坐標(biāo).12如圖，設(shè)P是圓x2 y2 2上的動點，PDL x軸，垂足為 D, M為線段PD上一點，且|PD|= .2 |MD|，點 A、Fi 的坐標(biāo)分別為(0，), (- 1, 0 )。(1) 求點M的軌跡方程；(2) 求 |MA|+|MFi|的最大值，并求此

7、時點 M的坐標(biāo)。x213.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中。橢圓C:y2 1的右焦點為F，右準(zhǔn)線為丨。2(1) 求到點F和直線丨的距離相等的點 G的軌跡方程。(2) 過點F作直線交橢圓 C于點 代B，又直線 OA交丨于點T ,若uuu uuuOT 2OA，求線段AB的長；(3)已知點M的坐標(biāo)為xo,y。，Xo于點N，且和橢圓 C的一個交點為點uuu 2 uuuu uuir OP OM ON ?，若存在，求出實數(shù)0 ,直線OM交直線y°y 1P，是否存在實數(shù)，使得;若不存在，請說明理由。6歡迎下載第18題圖圓錐曲線答案1解：(1)由題設(shè)知，A(UJLT 由OF,uur2AF10，得.所

8、以橢圓M的方程為M(2)方法1:設(shè)圓n ：x2則 PE PF NE NP從而求pe pf2a 0a2_a22 222Xy：62y2 2NFNP,F1.a2 2 ,0 ,uuur uuuuuir6 分NF NP NFNp?的最大值.因為P是橢圓M上的任意一點，設(shè)P Xo ,y。,2所以X0-62聳 1, 即 X02 6 3y02 .因為點N0,2，所以 NP?2 2Xoyo222y。112.k2 , 2，所以當(dāng)y01時，np取得最大值12.所以PE PF的最大值為11.3分解得a2NP7 分 ULU2NP7分 npuiU2 uuir2 NF NP 1.10分11分12分13分14分直線PA1：y

9、1 -y 1x,令y0,得 XnX0y° 1直線PA2：y1y° 1x,令y0,得 XmX0.X0y0 1則 |OM |ON |X0X01 一 X02y° 1 y° 1|y° 12而X0y。241 ,即 X041 y,|OM| |ON | 4|OM | |ON | 42 由(I)可知 0,1 ,A2 0, 1 ,設(shè) P x0, y0取線段MN的中點Q連接GQ,GM ,GO, r | GM | OT2 OG2 GM 2 (OQ2 QG2) (MQ2 QG2)2 2OQ MQ (| OQ MQ |)(| OQ | MQ |)|OT| 2.即線段OT

10、的長為定值2. 14分3 7.(14 分)解:(I )因為 a，所以 c=1,則 b=1,' 22 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 鼻 y21 5分21(n ) P(1,1), kpF，二 kOQ2, 直線 OQ的方程為 y=-2x,點 Q(-2,4)7 分2- kPQ 1,又koP 1, kOP kpQ 1,即OHPQ,故直線PQ與圓O相切 10分(川)當(dāng)點P在圓O上運動時，直線PQ與圓O保持相切11分證明：設(shè) P(X0,y°)(x3.2),則心 2 xo,所以 kPF ,kOQ D,X01y°所以直線OQ的方程為yX01-Xy。所以點Q(-2,2 X0 2 ) y

11、76;-12分2x02y0所以kPQy 0y。2y。(2 X02)2X02X0x0 ,又 k°P13 分x0 2(X。2) y°(Xo2) y。yoX0所以k°pkpQ 1,即OPL PQ,故直線PQ始終與圓O相切.14分4 9解:(1) 2b2.b1,e Caa2 b22.e. 3橢圓的方程為1 x214.(2 分)(2)設(shè)AB的方程為y kx.31 (k24)x20x1X22 3kk24 1X1X21k24(4分)X1X20 b2y“2a2x1x21(kx1. 3)(kx24)X1X23k(x1 X2)-444k244、.3k 2.3k 3,解得 k44 k2

12、4(7 分)(3 )當(dāng)當(dāng)AB必為頂點 .Saao=1A為頂點時，B不為頂點時，設(shè) AB的方程為y=kx+b8 分)y2y4kx b1 (k24)x22kbx b240得到 x22kb k2 4x-i x2b224x1x2k24 1 2(kx1b)(kx2 b)0X X20代入整理得:2b2 k24( 11分)12|b|x1 心2|b | , (X1 X2)24x-|X2 |b|,4k2 4b2162土 12|b|所以三角形的面積為定值12 分)976 解：(1)依題意c 2, .2aa2b2,解得:2 2a 2,b所以雙曲線方程為(2)依題意可知，直線l的斜率存在設(shè)直線l的方程為y=kx+2，

13、E( xi,y-)，F(xiàn) ( x?, y?)，2由 y=kx+2 及22 2k )x 4kx 6.有兩個交點，1 k2又厶=16k224(1k2)XiX261 k2/ | EF | r k2_x2)2_4X2k2(4k )224(1 k2)k2 12 O點到直線的距離為d 丄TH7丄 |EF|d 2、2 ,214,)2 A 2， k=.直線l的方程為y -2x 2或y2x12分4占1,a7 .解：(1 )由題意得2 ab2 c2ca2 .22故橢圓C的方程為y1 .63解得 aJ6, b .、, 3 .(2)由題意顯然直線I的斜率存在，設(shè)直線I方程為k(x3)，y由x!6k(x 3),2y_3得

14、(1 2k2)x2 12k2x 18k2 6 1,0.因為直線I與橢圓C交于不同的兩點所以144k44(1 2k2)(18k26)24(1 k2)解得1 k 1.N的坐標(biāo)分別為(x1, yi)，(X2, y2),則 X1x212k212k2,X1X218k2126, y1 k(x12k23),y2k(X23).9 分kAMkANy X2210分(3k 1)(x22) (kx2 3k 1)(為 2)ZkxM (5k 1)(為 x2) 12k4(X12)(X22)x-|X2 2(x1x2) 4所以kAM8 6 .解:2 2 22k(18k6) (5k 1) 12k(12k4)(1 2k )18k2

15、 6 24k24(1 2k2)2.2k22kAN為定值14分(I) Qe2 c_ 2 aa2 b21a222 2a 2b直線l : x y0與圓2b相切2222 b, b2,b2 4, a28,2橢圓C的方程是8 MP=MF二動點 M到定直線l1 :l1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點的拋物線M的軌跡C2的方程為y2 8x 6分當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時，設(shè)直線AC的斜率為k,(n)是以點(川)x 2的距離等于它到定點F2 (2, 0)的距離,動點M的軌跡CA(X1,yJC(X2,y2)，則直線 AC的方程為 y k(x 2).2聯(lián)立81 及 yk(x00002 )得(1 2k )x 8k x 8k8

16、0.所以X18k21 2k8k2 81 2k2 .|AC|,(1 k2)(x!X2)2,(1 疋)(為X2)24玄232(k21)由于直線BD的斜率為-代換上式中的k可得|BD|k1 2k2.32(1 k2)/ ACBD ,四邊形ABCD的面積為S由(1 2k2)(k2 2) 口2 2丄 |AC|BD| ；6(1 k ) 22(k22)(1 2k2)2k2) (k2 2)23(k2 1)2 22k22所以S 64,當(dāng)1 2k2 k2 2時,即k1時取等號.9易知，當(dāng)直線 AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形13分ABCD勺面積S 89 解：(1)/ |MN | 8又 I PM | = 2 |M

17、F | 得2豆|中廉甲2早即齊得ae a = 4橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 X16當(dāng)AB的斜率為0時,當(dāng)AB的斜率不為0時，設(shè)代 入(48m)2橢 圓4 144(3m2kAFkBFkAFkBF綜上可知：恒有x120,從而AFMy2X2 2AFM122 y12顯然1（舍去）AFMBFN 0.滿足題意“兒1）, B（X2,y2），AB方程為4), y1my 6BFN.BFN S ABF Spbf S PAF | PF| | y2% 丨7216m2472 m242 3(m4) 163 m2my8,當(dāng)且僅當(dāng)16vm 即 m三角形ABF面積的最大值是10【解析】：（1）設(shè)橢圓方程為程 整 理48my12my1

18、y26(y1y223my2my2 672 m2 43m2 4722.316(3m224)y 48my1440 則2x2ay2(my16)(my2 6)1443m24也028 （此時適合3 > 0的條件）取得等號2b 1(a b0)a 2bj22a 8x y則 41 解得 2 所以橢圓方程乂1 b2282a b(2)因為直線I平行于0M且在y軸上的截距為 m又Kom1yxm12y xm由 222xy1821，所以I的方程為:22 2x 2mx 2m 40因為直線I與橢圓交于 A B兩個不同點,(2 m)24(2 m24)0,所以m的取值范圍是m| 2 m 2,m 0。設(shè)A(;syj,B(X2, y2)，則k1上y2 1X12x22由x22mx2m2 40可得X1X22m, x1x22m24而k1k2y1 1y21(y11)(X22) (y21)(為2)(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為ki,k2，只要證明ki k? 0即可x1 2 x2 2(x-i 2)(x2 2)(1x1 m 1)(x22)(-x2 m 1)(x12)2 2x1x2 (m 2)( x-i x2) 4( m 1)X 2)(X22)化 2)(X2 2)2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m 1)(X12)(X22)11 解：(I )解:由題設(shè)得aa 2c 62.2 2ab c解得：a 2,b