CHAPTER02-平面問題有限元01-本科生2013春季

1、有限元方法 第2章 1 1第第2章章 彈性力學(xué)平面問題有限元彈性力學(xué)平面問題有限元 FEM for 2D elasticity 有限元方法 第2章 22.1 彈性力學(xué)平面問題基本方程彈性力學(xué)平面問題基本方程 2.2 平面問題有限元平面問題有限元-三角形單元三角形單元2.3 高精度三角形單元高精度三角形單元2.4 4節(jié)點(diǎn)矩形單元的簡單介紹節(jié)點(diǎn)矩形單元的簡單介紹有限元方法 第2章 3 結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)： 桿系，板殼，一般的固體桿系，板殼，一般的固體 在在彈性范圍彈性范圍 內(nèi)研究內(nèi)研究 分析方法分析方法 ： 材料力學(xué)材料力學(xué) ， 板殼力學(xué)，板殼力學(xué)， 船船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)，舶結(jié)構(gòu)力學(xué)， 更一般的更一般的 彈性力

2、學(xué)彈性力學(xué) 2.1 彈性力學(xué)平面問題基本方程彈性力學(xué)平面問題基本方程 Basic governing equation2.1.12.1.1彈性力學(xué)的基本變量彈性力學(xué)的基本變量有限元方法 第2章 42.1.1 2.1.1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) stress description 有限元方法 第2章 5有有9個應(yīng)力分量個應(yīng)力分量或：或：xxxyxzyxyyyzzxzyzz( , , )iji jx y z有限元方法 第2章 62.1.2 平衡方程平衡方程 equilibrium equation有限元方法 第2章 70X ()()0yxxxxxxxyxyxxdx tdytdydy tdx

3、tdxF tdxdyxy0Y 00yxxxxyyxyyFxyFyx有限元方法 第2章 8 上述結(jié)果極易推廣到三維微元體的平衡：上述結(jié)果極易推廣到三維微元體的平衡：000yxxxzxxxyyyzyyyzxzzzzFxyzFxyzFxyz有限元方法 第2章 9 由對原點(diǎn)的彎矩為零，由對原點(diǎn)的彎矩為零， 導(dǎo)致：導(dǎo)致： 稱之為稱之為剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理。 由此進(jìn)一步得到，由此進(jìn)一步得到， 微元體獨(dú)立的應(yīng)力變量為微元體獨(dú)立的應(yīng)力變量為6個：個：( , , )xyyxijjiori jx y zxxxyxzxyyyyzxzyzzz Txxyyzzxyyzzx有限元方法 第2章 102.1.3 幾何

4、方程幾何方程 Geometrical equation有限元方法 第2章 1111()0 xxyyxyudxdxdxA BABuxABdxxudyD DuyA Ddyy圖圖(a) 有限元方法 第2章 12圖圖(b) 110()xxyyxyvdydydyA DADvyADdyyvdxB BvxA Bdxx有限元方法 第2章 13最后疊加最后疊加, 并將其定義為應(yīng)變并將其定義為應(yīng)變其中：其中：更一般的三微微元體：更一般的三微微元體：xxyyzzxyyzzxuxvywzuvyxvwzywuxzxyxyxyyxuvyx有限元方法 第2章 14 給出了位移給出了位移(displacement) 和和應(yīng)變

5、應(yīng)變 (strain) 的關(guān)的關(guān)系系 , 稱之為幾何方稱之為幾何方程，程， 注意它和結(jié)注意它和結(jié)構(gòu)是否為彈性體并構(gòu)是否為彈性體并不相關(guān)。不相關(guān)。000000 000 xxyyzzxyyzzxxyuzL uvwyxzyzx 有限元方法 第2章 1515 彈性力學(xué)的基本變量彈性力學(xué)的基本變量-15-15個個應(yīng)力應(yīng)力位移位移應(yīng)變應(yīng)變 Txxyyzzxyyzzx Tuuvw Txxyyzzxyyzzx有限元方法 第2章 162.1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1()1()1()xxxxyyzzyyyyzzyyzzzzxxyyEEE 2(1)2(1)2(1)xyxyxyyzyzyzzxzxzxEGEGE

6、G2(1)EG剪切彈性模量剪切彈性模量 Shear elastic modulus 廣義虎克定律廣義虎克定律 Hookes Law 有限元方法 第2章 17 CD或 111000100010001(1)1200(1)(12 )2(1)1202(1)122(1)EDsys 1DC有限元方法 第2章 18 整個彈性力學(xué)三維問題歸結(jié)上述整個彈性力學(xué)三維問題歸結(jié)上述15個微分個微分方程的求解，方程的求解， 并由此給出并由此給出15個變量。個變量。 適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。 位移邊界：位移邊界： 給定位移給定位移 力邊界：力邊界： 給定邊界力（另外再給出）給定邊界力（另外再給出）有限元方法 第2

7、章 192.1.5 平面應(yīng)力和平面應(yīng)變平面應(yīng)力和平面應(yīng)變 planar stress and strain 桿系結(jié)構(gòu)桿系結(jié)構(gòu): 長度遠(yuǎn)大于兩個方向的尺度長度遠(yuǎn)大于兩個方向的尺度 變形在軸向采用了平面假設(shè)變形在軸向采用了平面假設(shè) 只有一個未知函數(shù)只有一個未知函數(shù) 沿其他兩個方向的變形特征是通過沿其他兩個方向的變形特征是通過假定假定 比如比如： 拉壓直桿、梁的彎曲拉壓直桿、梁的彎曲 ( )ww x有限元方法 第2章 20 對于梁的彎曲問題，如果是深梁對于梁的彎曲問題，如果是深梁,平面假平面假定不再成立定不再成立 需要分別求出兩個方向的位移需要分別求出兩個方向的位移.( , )( ( , ), (

8、, )u vu x y v x y有限元方法 第2章 21平面應(yīng)力平面應(yīng)力 plane stress 厚度很小厚度很小, 載荷載荷(包括位移邊界包括位移邊界)和平面和平面 平行平行, 沿沿 均勻分布均勻分布,因此可以近似地認(rèn)為因此可以近似地認(rèn)為沿向所有的應(yīng)力分量為零沿向所有的應(yīng)力分量為零.oxyz0zzxzyz有限元方法 第2章 22 應(yīng)變：應(yīng)變： 平面應(yīng)力問題獨(dú)立的變量：平面應(yīng)力問題獨(dú)立的變量： ,xxyyxyxxyyxyu v0zxyz()0 xxyyzzE 有限元方法 第2章 23平面應(yīng)變平面應(yīng)變 plane strain 橫向尺度遠(yuǎn)小于縱向尺度橫向尺度遠(yuǎn)小于縱向尺度, 載荷載荷(包括位

9、移包括位移邊界邊界)和和 平面平行平面平行,沿沿 均勻分布均勻分布,認(rèn)認(rèn)為沿位移分量為零為沿位移分量為零.oxyz有限元方法 第2章 24位移：位移：由幾何方程，由幾何方程， 可得應(yīng)變?yōu)椋嚎傻脩?yīng)變?yōu)椋鹤⒁庾⒁?但但平面應(yīng)變問題獨(dú)立的變量：平面應(yīng)變問題獨(dú)立的變量：0w ( , ),( , )uu x y vv x y0zz0zz()zzxxyy ,xxyyxyxxyyxyu v0zzxzyz有限元方法 第2章 251()1()2(1)xxxxyyzzyyyyxxzzxyxyEEE 平面應(yīng)力和平面應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系：平面應(yīng)力和平面應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系：211EE以后可僅研究平面應(yīng)力以后可僅研究平面應(yīng)力 22

10、21()11()12(1)2(1)11xxxxyyyyyyxxxyxyxyEEEE有限元方法 第2章 262.1.6 邊界條件邊界條件 位移邊界位移邊界 uuvv有限元方法 第2章 27 力邊界力邊界有限元方法 第2章 280X cossin0 xxxyxT dsdsdscossinsincosxxxyxxyyyxyyTTTTxxx xyx yxyyy yxy xyTllTTllT 或：或： 有限元方法 第2章 292.1.7 平面問題邊值問題的提法平面問題邊值問題的提法 未知量：未知量： 2個位移、個位移、3個應(yīng)力、個應(yīng)力、3個應(yīng)變個應(yīng)變 variable to be determined

11、方程：方程： 3個幾何、個幾何、3個物理、個物理、2個平衡個平衡 governing equation 邊界條件邊界條件 boundary condition, B.C 有限元方法 第2章 302.1.8 最小勢能原理最小勢能原理 The principle for minimum potential energy1 21 2( )TTTAASTTTAASdxdyFu dxdyTu dsDdxdyFu dxdyTu dsu 有限元方法 第2章 31意義：意義： (1) 勢能取極小值時(shí)，勢能取極小值時(shí)， 對應(yīng)的是真實(shí)解對應(yīng)的是真實(shí)解 (2) 將解方程的問題轉(zhuǎn)化為求極小值問題。將解方程的問題轉(zhuǎn)化為

12、求極小值問題。 (3) 通過盡可能使得勢能極小，可以得到近通過盡可能使得勢能極小，可以得到近似解。此即所謂的似解。此即所謂的RITZ方法。方法。有限元方法 第2章 32最小勢能原理的證明最小勢能原理的證明 1()2()()sxxxxyyyyxyxysxyxysutdsf uf v tdsT uT v td 21()()()()2()()()()()()( )( )( )sxxxxxxxxyyyyyyyysxyxyxyxyxysxyuutdsf uufvv tdsT uuT vv tduuu 有限元方法 第2章 3321( )02xxxxyyyyxyxysutds 1( )()()2()()()

13、()()()ssxxxxxxxxyyyyyyyysxyxyxyxyxyxysxxxxyyyyxyxysxyxysutdsfufv tdsTuTv tdtdsfufv tdsTuTv td xxxxxxxxyyyyyyyyxyxyxyxy 注意到：注意到： 有限元方法 第2章 34上式右邊第一個積分可以進(jìn)一步寫為上式右邊第一個積分可以進(jìn)一步寫為 ,( )()()()()()()() (xxxyyyxyyxsxxxxx xxx xsxyyxy yxy yyxxyx xyx xyyyyy yyy yxxyxxxyyyysxxH uuvuvtdsuuuuuuvvvvvv tdsuvuvtds ,1,)

14、()( )()()xxy yyx xyy ysxx xxy yyx xyy ysuv tdsH uuv tds有限元方法 第2章 351( )()()()()()()susxxyxxxyyyyxxxxyyyxxyyyxxxxyyxyxxyyyH uuv nuuv n tdsnnunnv tdsnnunnv tds ,2,( )()()()()()()( )()()()(ssxxxxyyyxxyyyxyxx xxy yyx xyy ysxysxx xxy yxyx xyy yyysxxxxyyxuuunnunnv tdsTuTv tduv tdsfufv tdsufufv tdsnnTu 2)(

15、 )syxxyyyynnTv tdsu有限元方法 第2章 36由于由于( )u必然有上述的平衡方程和力邊界條件得以滿足。必然有上述的平衡方程和力邊界條件得以滿足。所以所以（1 1） 滿足位移邊界的勢能極小等價(jià)于平衡方程滿足位移邊界的勢能極小等價(jià)于平衡方程和力邊界條件和力邊界條件（2 2） 解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為極小問題解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為極小問題對于的極小對于的極小( )u變形能外力做功有限元方法 第2章 372.1.9 經(jīng)典彈性力學(xué)的近似解經(jīng)典彈性力學(xué)的近似解- RITZ方法方法有限元方法 第2章 38 舉例舉例1 簡支梁的計(jì)算簡支梁的計(jì)算 一旦假定了位移的形式，一旦假定了位移的形式， 則

16、極小化問題變?yōu)閷t極小化問題變?yōu)閷Υ▍?shù)的極小化待定參數(shù)的極小化 只是對所選定位移函數(shù)形式，導(dǎo)致的極小化，只是對所選定位移函數(shù)形式，導(dǎo)致的極小化， 不是不是所有的滿足位移邊界條件的位移函數(shù)所有的滿足位移邊界條件的位移函數(shù)， 因因此是近似。此是近似。 整個位移函數(shù)是在整個整個位移函數(shù)是在整個結(jié)構(gòu)區(qū)域結(jié)構(gòu)區(qū)域選取的。選取的。siniii xwaL2221()( )2LLwEIdxqw x dxx 有限元方法 第2章 39第第2章章 作業(yè)作業(yè)1-3有限元方法 第2章 40第第2章章 作業(yè)作業(yè)44 請說明下列問題是平面應(yīng)力還是平面應(yīng)變請說明下列問題是平面應(yīng)力還是平面應(yīng)變?（1）船體梁在總縱彎曲狀態(tài)下

17、，甲板的應(yīng)力）船體梁在總縱彎曲狀態(tài)下，甲板的應(yīng)力 ；（2）潛艇耐壓殼體在水下外壓作用；）潛艇耐壓殼體在水下外壓作用；（3）水工結(jié)構(gòu)中的壩體；）水工結(jié)構(gòu)中的壩體；（4）船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)橫梁腹板）船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)橫梁腹板有限元方法 第2章 412. 2平面問題有限元平面問題有限元-三角形單元三角形單元2.2.1 單元的劃分單元的劃分e 有限元方法 第2章 42有限元方法 第2章 43 單元局部編號單元局部編號 單元總體節(jié)點(diǎn)編號單元總體節(jié)點(diǎn)編號 節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移: 單元節(jié)點(diǎn)位移單元節(jié)點(diǎn)位移 ：, ,ei j k1,2,3e iiiuv ,iijjkk Teuu v uv uv有限元方法 第2章 442.2.2

18、三角形單元的位移模式三角形單元的位移模式 如果節(jié)點(diǎn)位移已知，如何給出單元內(nèi)部任如果節(jié)點(diǎn)位移已知，如何給出單元內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移？意一點(diǎn)的位移？ FEM的思想：單元內(nèi)部插值的思想：單元內(nèi)部插值 問題問題: 單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移是什么形式單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移是什么形式? 先假定單元內(nèi)部的變形為一多項(xiàng)式先假定單元內(nèi)部的變形為一多項(xiàng)式, 這在這在一個小的范圍內(nèi)是可行的。類似與曲線上一個小的范圍內(nèi)是可行的。類似與曲線上相近兩點(diǎn)之間可以近似用直線代替。相近兩點(diǎn)之間可以近似用直線代替。有限元方法 第2章 45 先假定單元內(nèi)部的變形為一多項(xiàng)式先假定單元內(nèi)部的變形為一多項(xiàng)式 再進(jìn)一步確定系數(shù)再進(jìn)一步確定系數(shù) 如

19、何確定多項(xiàng)式的系數(shù)？如何確定多項(xiàng)式的系數(shù)？ 將其表示為節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，只要節(jié)點(diǎn)位移給將其表示為節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，只要節(jié)點(diǎn)位移給出，出， 則問題得以求解。則問題得以求解。 yxu321有限元方法 第2章 46位移模式或位移函數(shù)位移模式或位移函數(shù)yxu321yxv654)6 , 1( ii 123iiiuxy123jjjuxy123kkkuxy 在節(jié)點(diǎn)上應(yīng)滿足節(jié)點(diǎn)位移在節(jié)點(diǎn)上應(yīng)滿足節(jié)點(diǎn)位移 有限元方法 第2章 47111()2iiijijkjjijkkkkuxyuxyaua ua uDAuxy21111()21iijijkjijkkkuyuybub ub uDAuy31111()21iijijkji

20、jkkkxuxucuc uc uDAxu有限元方法 第2章 481211iijjkkxyAxyDxyjjijkkjkkxyax yx yxy11jijkkybyyy 11jikjkxcxxx有限元方法 第2章 49123, ,1()21()21()21()2ijkijkijkijkijkijkiiiii j kuxyaua ua uAbub ub uxAcuc uc uyAab xc y uAijkijkijkijkuN uN uN uvN vN vN v1()( , , )2iiiiNab xc yi j kA有限元方法 第2章 50 將其表示為節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，其數(shù)學(xué)本質(zhì)就是將其表示為節(jié)點(diǎn)位

21、移的函數(shù)，其數(shù)學(xué)本質(zhì)就是由三個頂點(diǎn)的位移去插值（關(guān)于插值的理解后由三個頂點(diǎn)的位移去插值（關(guān)于插值的理解后面會進(jìn)一步討論）任意一點(diǎn)的位移。面會進(jìn)一步討論）任意一點(diǎn)的位移。000000iijijkjjikkkuvuNNNuuNNNvvuv euNu有限元方法 第2章 51關(guān)于插值的理解：關(guān)于插值的理解： 兩個點(diǎn)線性插值兩個點(diǎn)線性插值1122(),()y xyxyaxb121122x xx xyaxbyyaxby21121221( )xxxxy xyyxxxx1122( )( )( )y xN x yNx y有限元方法 第2章 52形函數(shù)（插值函數(shù)）形函數(shù)（插值函數(shù)）Nshape function 請注意：我們只是在單元上假定位移的形式請注意：我們只是在單元上假定位移的形式有限元