清華大學一元微積分期中考題答案_第1頁
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1、一填空題（每空3分，共15空）（請將答案直接填寫在橫線上?。?.答案： 2. 。答案：3. 。答案：4. 已知時，為的5階無窮小量，則 。答案：5. 。答案：6. 。答案：17. 。答案：8. 。答案：9. ，則 。答案：10. ，則 。答案：11. 函數(shù)的不可導點的個數(shù)為 。答案：212. 曲線當時的漸近線為 。答案：13. 設，則 。答案：14. 已知函數(shù)由確定，則曲線在點處的切線方程為 。答案： 15. 函數(shù)的反函數(shù)的導數(shù) 。答案：二計算題（每題10分，共40分）1. 已知求。解： 5分 .5分1. 寫出函數(shù) 在處的帶有Lagrange余項的階泰勒公式。解： 6分，.4分 .（注：只寫出

2、Peano余項，給2分）2. 根據(jù)的奇數(shù)偶數(shù)不同情況分別討論函數(shù)（為正整數(shù)）的增減性，求它在實數(shù)范圍的最值并畫出其圖像。解：當時，駐點為，上單調增，單調降，最大值為，無最小值； 2分當為奇數(shù)時（為正整數(shù)），駐點為與，上單調增，單調降，最大值為，無最小值； 2分當為偶數(shù)時（為正整數(shù)），駐點為與，上單調降，上單調增，單調降，最小值為。 3分.圖像3分，一個1分2. 設為上的連續(xù)可導函數(shù)，(I) 求證：為上的可導函數(shù)；(II) 計算。解：(I) 因為為上的可導函數(shù)，當或時，為可導函數(shù)。當時，因為為上的連續(xù)可導函數(shù)，由羅比達法則，所以在點可導。.5分故為上的可導函數(shù)。(II).5分三證明題1. (8分)設，且當時，存在且單調增，證明：當時，單調增。證明：設，則當時， 4分 其中。 2分由于單調增，故，從而單調增。2分2. (7分)設函數(shù)在內二階可導，且其圖像在內有三個點滿足關系，(I) 證明必然存在一個點，使得;(II) 寫出此命題的一個推廣命題。證明：(I) 記，則在內二階可導。由已知條件，設為區(qū)間內的三個點，使得函數(shù)與得圖像相交，即

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