2414圓周角__(用)

1、 圓的認(rèn)識(shí)圓的認(rèn)識(shí) 復(fù)習(xí)舊知：請(qǐng)說說我們是如何給圓心角下定義的，試回答？復(fù)習(xí)舊知：請(qǐng)說說我們是如何給圓心角下定義的，試回答？頂點(diǎn)頂點(diǎn)在在圓心圓心的角叫的角叫?？伎寄悖耗隳芊抡?qǐng)A心角的定義，考考你：你能仿照?qǐng)A心角的定義， 給下圖中象給下圖中象ACB ACB 這樣的角下個(gè)定義嗎？這樣的角下個(gè)定義嗎？頂點(diǎn)頂點(diǎn)在在圓上圓上，并且，并且兩邊兩邊都和都和圓圓相交相交的角叫做的角叫做 特征：特征： 角的頂點(diǎn)在圓上角的頂點(diǎn)在圓上. 角的兩邊都與圓相交角的兩邊都與圓相交.探索：判斷下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？探索：判斷下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？ 圓外角圓外角圓內(nèi)角圓內(nèi)角探究活動(dòng)探究活動(dòng) : 1、分

2、別量一量圖中、分別量一量圖中弧弧AB所對(duì)的兩個(gè)圓周角的所對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)比較一下度數(shù)比較一下. 再變動(dòng)點(diǎn)再變動(dòng)點(diǎn)C在圓周上的位置，看在圓周上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化看圓周角的度數(shù)有沒有變化. 你發(fā)你發(fā)現(xiàn)其中有現(xiàn)其中有什么規(guī)律什么規(guī)律嗎？嗎？ 圖 23.1.10 2、分別量出圖、分別量出圖 中中弧弧AB所對(duì)的圓周所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，比較一下，你角和圓心角的度數(shù)，比較一下，你發(fā)現(xiàn)什么發(fā)現(xiàn)什么？結(jié)論結(jié)論 (1)同弧所對(duì)的圓周角都相等同弧所對(duì)的圓周角都相等, (2)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半如圖如圖AB所對(duì)的圓周角有所對(duì)的圓周角有所對(duì)的圓心角有所

3、對(duì)的圓心角有_ADB,ACB, AOB 圖 23.1.11 為了驗(yàn)證這個(gè)為了驗(yàn)證這個(gè) 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn) ， 可將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過圓心可將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過圓心O和圓周角的頂點(diǎn)和圓周角的頂點(diǎn)C，這時(shí)可能出現(xiàn)三種情況這時(shí)可能出現(xiàn)三種情況:（1） 折痕是圓周角的一條邊，折痕是圓周角的一條邊，（2） 折痕在圓周角的內(nèi)部折痕在圓周角的內(nèi)部,（3） 折痕在圓周角的外部。折痕在圓周角的外部。 證明你的猜想證明你的猜想:（1）圓心在）圓心在BAC的一邊上的一邊上. AOBC由于由于OA=OC因此因此C=BAC而而BOC=BAC+C所以所以BAC= BOC12OABC（2）圓心在）圓心在BAC的內(nèi)部的內(nèi)部.D作直徑作

4、直徑AD.由于由于BAD= BOD12DAC= DOC，12所以所以BAD+DAC= （BOD+DOC）12即即BAC= BOC12OABC（3）圓心在）圓心在BAC的外部的外部.D作直徑作直徑AD.由于由于DAB= DOB12DAC= DOC，12所以所以DAC-DAB= （DOC-DOB）12即即BAC= BOC12結(jié)論結(jié)論1： 在在同圓或等圓同圓或等圓中中 , ,同弧或等弧同弧或等弧 所對(duì)的所對(duì)的圓周角相等圓周角相等， 都等于該弧或等都等于該弧或等弧所對(duì)的弧所對(duì)的 圓心角圓心角的的一半一半； 相等的圓周角相等的圓周角所對(duì)的所對(duì)的弧弧也也相等相等。 圖 23.1.10 ACB= ； ADB

5、= ； = . 如圖：則有如圖：則有AOB21AOB21ACBADB在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)弧一定相周角相等，它們所對(duì)弧一定相等嗎？為什么？等嗎？為什么？在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等的弧相等如圖如圖23.1.9， 圖 23.1.9 線段線段AB是是 O的直徑，的直徑， 點(diǎn)點(diǎn)C是是 O上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、B），）， 那么，那么，ACB就是直徑就是直徑AB所對(duì)的圓周角所對(duì)的圓周角. 想想看，想想看，ACB會(huì)是怎么樣的角？會(huì)是怎么樣的角？ 圖 23.1.9 我們可以看到，我們可以看到， OAOB

6、OC， 所以所以AOC、BOC都是等腰三角形，都是等腰三角形， 因而因而OACOCA， OBCOCB.又又 OACOBCACB180，所以所以 ACBOCAOCB218090. 如圖：如圖： 半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于都等于90（直角）。（直角）。反過來也是成立的，即反過來也是成立的，即90的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑。的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑。結(jié)論結(jié)論2: 圖 23.1.9 歸納：歸納：在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,如果如果兩個(gè)兩個(gè)圓心角圓心角, ,兩個(gè)圓周角兩個(gè)圓周角兩條弧兩條弧, , 兩條弦兩條弦, , 兩條弦心距兩條弦心距中中, ,有一有一組

7、量相等組量相等, ,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等各組量都分別相等. .歸納：歸納：圓內(nèi)接多邊形圓內(nèi)接多邊形:所有頂點(diǎn)都在同一所有頂點(diǎn)都在同一圓上的多邊形。圓上的多邊形。 結(jié)論結(jié)論3:圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)OBCDA圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角有何數(shù)量關(guān)系？圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角有何數(shù)量關(guān)系？例例1 如圖，如圖， O直徑直徑AB為為10cm，弦，弦AC為為6cm，ACB平分平分線交線交 O于于D，求，求BC、AD、BD的長(zhǎng)四邊形的長(zhǎng)四邊形 ACBD的面積的面積.86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22A

8、DBDAB解：解：AB是直徑，是直徑， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，.ACDBCD OABCDAD=BD.AD=BD.例題講解例題講解:練一練1、如圖，在、如圖，在 O中，中，ABC=50，則則AOC等于（等于（ ）A、50； B、80；C、90； D、100ACBOD2、如圖，、如圖，ABC是等邊三角形，是等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P在圓周的劣弧在圓周的劣弧AB上，且不上，且不與與A、B重合，則重合，則BPC等于（等于（ ）A、30； B、60；C、90； D、45CABPB 3 3如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A A、B B、C C、D D在同一個(gè)圓上，四邊形在同一個(gè)圓上，

9、四邊形ABCDABCD的對(duì)角線把的對(duì)角線把4 4個(gè)內(nèi)角分成個(gè)內(nèi)角分成8 8個(gè)角，這些角中哪些是相個(gè)角，這些角中哪些是相等的角？等的角？ABDC123456781 = 45 = 82 = 73 = 6利用利用同弧所對(duì)的圓周角的相等同弧所對(duì)的圓周角的相等練習(xí)練習(xí) (1)(1)一個(gè)概念一個(gè)概念（圓周角）（圓周角） 內(nèi)容小結(jié)：內(nèi)容小結(jié)：(2)一個(gè)定理一個(gè)定理： 等于該等于該 弧所對(duì)的圓心角的一半；弧所對(duì)的圓心角的一半；(3)二個(gè)推論二個(gè)推論：同圓或等圓中同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)弧相等相等的圓周角所對(duì)弧相等. 半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角； 90的圓周角所對(duì)的弦是直徑

10、。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 同圓或等圓中同圓或等圓中 ，同弧或等弧所對(duì)的，同弧或等弧所對(duì)的 圓周角相等圓周角相等 1. 1. 如圖，在直徑為如圖，在直徑為ABAB的半圓中，的半圓中，O O為圓心，為圓心，C C、D D 為半圓上的兩點(diǎn)，為半圓上的兩點(diǎn)，COD=50COD=50，則，則 CAD=_CAD=_；25253、右圖是一個(gè)圓形的零件，你能、右圖是一個(gè)圓形的零件，你能告訴我，它的圓心的位置嗎？你告訴我，它的圓心的位置嗎？你有什么簡(jiǎn)捷的辦法有什么簡(jiǎn)捷的辦法？2、在圓中，一條弧所對(duì)的圓心角和、在圓中，一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角分別為（圓周角分別為（2x100）和和（5x30），），求這條弧所對(duì)

11、的求這條弧所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù)圓心角和圓周角的度數(shù).如圖，你能設(shè)法確定一個(gè)圓形紙片的圓心嗎？你有多少如圖，你能設(shè)法確定一個(gè)圓形紙片的圓心嗎？你有多少種方法？與同學(xué)交流一下種方法？與同學(xué)交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB 圓的認(rèn)識(shí)圓的認(rèn)識(shí)復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知4.圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ) 例題講解例題講解: 例例 1: 如圖，如圖，P是是 圓上的一點(diǎn)圓上的一點(diǎn)APC=CPB=60。求證：。求證：ABC是等邊三角形。是等邊三角形。APBCO證明：證明：ABC和和APC 都是都是 所對(duì)的圓周角。所對(duì)的圓周角。 ACABC=APC=60(同弧所對(duì)

12、的圓周角相等）同弧所對(duì)的圓周角相等）同理，同理，BAC和和CPB都是都是 所對(duì)的圓周角，所對(duì)的圓周角，BC BAC=CPB=60。ABC等邊三角形。等邊三角形。已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC,以以AB為直徑的圓交為直徑的圓交BC于于D,交交AC于于E,求證：求證：BD=DE證明：證明：連結(jié)連結(jié)AD.AB是圓的直徑，點(diǎn)是圓的直徑，點(diǎn)D在圓上，在圓上，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分頂角平分頂角BAC，即，即BAD=CAD， BD= DE（同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)弧相同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)弧相等）。等）。ABCDE 如圖，在如圖，在O中，中，AB為直

13、徑，為直徑，CB = CF, 弦弦CGAB，交，交AB于于D，交，交BF于于E 求證：求證：BE=EC求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）ABCO求證：求證： ABC 為直角三角形為直角三角形.證明：證明：CO= AB,12以以AB為直徑作為直徑作 O，AO=BO，AO=BO=CO.點(diǎn)點(diǎn)C在在 O上上.又又AB為直徑為直徑,ACB=90.已知：已知：ABC 中，中，CO為為AB邊上的中線，邊上的中線，12且且CO= AB ABC

14、 為直角三角形為直角三角形.1 1：已知：已知OO中弦中弦ABAB等等于半徑，于半徑，求弦求弦ABAB所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù)。所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù)。 OAB圓心角為圓心角為60度度圓周角為圓周角為 30 度度或或 150 度。度。練練 習(xí)習(xí)2:如圖如圖 AB是是 O的直徑的直徑, C ,D是圓上的兩點(diǎn)是圓上的兩點(diǎn),若若ABD=40,則則BCD=.ABOCD40 4.如圖，圓心角如圖，圓心角AOB=100，則，則ACB=_。OABCBAO.70 x 3.求圓中角求圓中角X的度數(shù)。的度數(shù)。AO.X120 5、 如圖，在直徑為如圖，在直徑為AB的半圓中，的半圓中，O為圓心，為圓心，C、D為

15、半圓上的兩點(diǎn)，為半圓上的兩點(diǎn)，CAD=260，則，則COD=_35120130526.AB6.AB、ACAC為為OO的兩條弦，延長(zhǎng)的兩條弦，延長(zhǎng)CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ，求求BOCBOC的度數(shù)。的度數(shù)。7 7、如圖，在如圖，在OO中，中，BC=2DEBC=2DE， BOC=84BOC=84，求求 A A的度數(shù)。的度數(shù)。BOC =140BOC =140 A=21A=21 MNOBAC8如圖，已知如圖，已知OA、OB是是 O的半徑，點(diǎn)的半徑，點(diǎn)C為為AB的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，M、N分別為分別為OA、OB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：MC=NCOBCAE9如圖，如圖，BC為為 O的直徑，的直徑，OA是是 O的半徑，弦的半徑，弦BEOA