控制理論作業(yè)二答案

1、第三章 3-1 已知二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 。試求單位階躍響應(yīng)的tr , tm ,% , ts的數(shù)值？解：題意分析這是一道典型二階系統(tǒng)求性能指標(biāo)的例題。解法是把給定的閉環(huán)傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行對(duì)比，求出參數(shù)，而后把代入性能指標(biāo)公式中求出，和的數(shù)值。 上升時(shí)間 tr 峰值時(shí)間tm 過(guò)度過(guò)程時(shí)間ts 超調(diào)量 3-2 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試求系統(tǒng)的性能指標(biāo)，峰值時(shí)間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。 解：題意分析這是一道給定了開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),求二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的練習(xí)題。在這里要抓住二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式與參數(shù)(,)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后確定用哪一組公式去求性能指標(biāo)。 根據(jù)題目給出條

2、件可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式相比較可得，即=1,=0.5。由此可知，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。故，單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)為 3-3 如圖1所示系統(tǒng)，假設(shè)該系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)中的超調(diào)量=25%，峰值時(shí)間=0.5秒，試確定K和的值。 X(s) Y(s) 圖1解：題意分析這是一道由性能指標(biāo)反求參數(shù)的題目，關(guān)鍵是找出：K,與,的關(guān)系；,與,的關(guān)系；通過(guò),把,與K,聯(lián)系起來(lái)。 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式相比較，可得 由題目給定： 即 兩邊取自然對(duì)數(shù)可得 依據(jù)給定的峰值時(shí)間： （秒）所以 （弧度/秒）故可得 0.13-4 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，若 時(shí)，試求

3、： (1) 當(dāng)=0時(shí)，系統(tǒng)的tr , tm , ts的值。(2) 當(dāng)0時(shí)，若使=20%，應(yīng)為多大。 100X(s) Y(s) 圖2 解：題意分析這是一道二階系統(tǒng)綜合練習(xí)題。(1)練習(xí)輸入信號(hào)不是單位階躍信號(hào)時(shí)，求性能指標(biāo)。關(guān)鍵是求出 ,。(2)的求法與例433相似。 (1) 由結(jié)構(gòu)圖可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 可得 由于 輸出的拉氏變換為 則拉氏反變換為 (2) 當(dāng)0時(shí)，閉環(huán)傳遞函數(shù)由 兩邊取自然對(duì)數(shù) ， 可得 故 3-5(1) 什么叫時(shí)間響應(yīng) 答：系統(tǒng)在外加作用的激勵(lì)下，其輸出隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系叫時(shí)間響應(yīng)。(2) 時(shí)間響應(yīng)由哪幾部份組成？各部份的定義是什么？ 答：時(shí)間響應(yīng)由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分

4、組成。瞬態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)受到外加作用后，系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程稱瞬態(tài)響應(yīng)或者動(dòng)態(tài)響應(yīng)或稱過(guò)渡過(guò)程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)受到外加作用后，時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)或稱穩(wěn)態(tài)。(3) 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線各部分反映系統(tǒng)哪些方面的性能？ 答：時(shí)間響應(yīng)由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成。瞬態(tài)響應(yīng)反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性，相對(duì)穩(wěn)定性及響應(yīng)的快速性；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映系統(tǒng)的準(zhǔn)確性或穩(wěn)態(tài)誤差。(4) 時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)有哪些？它們反映系統(tǒng)哪些方面的性能？答：延遲時(shí)間；上升時(shí)間；峰值時(shí)間；調(diào)節(jié)時(shí)間；最大超調(diào)量.,反映系統(tǒng)的快速性，即靈敏度，反映系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。3-6設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：

5、特征方程符號(hào)相同，又不缺項(xiàng)，故滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表判別。 由于第一列各數(shù)均為正數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。也可將特征方程式因式分解為 根均有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。3-7設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為 解：列勞斯表 將特征方程式因式分解為 根為 系統(tǒng)等幅振蕩，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。3-8 單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試求k的穩(wěn)定范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程： 列勞斯表 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 K>00.35-0.025K>0得 K<14所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍為0<K<14。3-9(1) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義是什么？ 答：系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)作用后，其輸出偏離平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，經(jīng)過(guò)

6、足夠長(zhǎng)的時(shí)間，若系統(tǒng)又恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之系統(tǒng)不 穩(wěn)定。(2) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是什么？ 答：系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于S平面的左半部。(3) 誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義是什么？ 答：輸出端定義誤差e(t)：希望輸出與實(shí)際輸出之差。輸入端定義誤差e(t)；輸入與主反饋信號(hào)之差。穩(wěn)態(tài)誤差，誤差函數(shù)e(t)，當(dāng)t時(shí)的誤差值稱為穩(wěn)態(tài)誤差,即 3-10已知單位反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3所示。若，。試求：（1）典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)和；（2）暫態(tài)特性指標(biāo)和； （3）欲使，當(dāng)不變時(shí)，應(yīng)取何值。 圖3隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解： 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為與典

7、型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)比較得 已知、值，由上式可得于是，可 為使，由公式可求得，即應(yīng)使由0.25增大到0.5，此時(shí) 即值應(yīng)減小4倍。3-11控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量，且峰值時(shí)間。試確定與的值，并計(jì)算在此情況下系統(tǒng)上升時(shí)間和調(diào)整時(shí)間。 圖4 控制系統(tǒng)框圖解：由圖可得控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的特征方程為。所以 由題設(shè)條件：，可解得，進(jìn)而求得在此情況下系統(tǒng)上升時(shí)間 調(diào)整時(shí)間 3-12設(shè)系統(tǒng)的特征方程式分別為1 23試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解題的關(guān)鍵是如何正確列出勞斯表，然后利用勞斯表第一列系數(shù)判斷穩(wěn)定性。1列勞斯表如下s4 1 3 5 s3 2 4 s

8、2 1 5s1 -6s0 5勞斯表中第一列系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；又由于第一列系數(shù)的符號(hào)改變兩次，1-65，所以系統(tǒng)有兩個(gè)根在s平面的右半平面。2列勞斯表如下s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0() 1 s1 2-2/s0 1由于是很小的正數(shù)，行第一列元素就是一個(gè)絕對(duì)值很大的負(fù)數(shù)。整個(gè)勞斯表中第一列元素符號(hào)共改變兩次，所以系統(tǒng)有兩個(gè)位于右半s平面的根。3列勞斯表如下s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 0 0 由上表可以看出，s3行的各項(xiàng)全部為零。為了求出s3各行的元素，將s4行的各行組成輔助方程式為 A(s)= s4+3s2+2s0將輔助方程式A(s)對(duì)s求導(dǎo)數(shù)得用上式中的各項(xiàng)

9、系數(shù)作為s3行的系數(shù)，并計(jì)算以下各行的系數(shù)，得勞斯表為s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 4 6 s2 3/2 2s1 2/3 s0 2從上表的第一列系數(shù)可以看出，各行符號(hào)沒(méi)有改變，說(shuō)明系統(tǒng)沒(méi)有特征根在s右半平面。但由于輔助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（s2+2）=0可解得系統(tǒng)有兩對(duì)共軛虛根s1,2=±j，s3,4=±j2，因而系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3-13已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解： 解題的關(guān)鍵是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖正確求出系統(tǒng)的特征方程式，然后再用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。圖5控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 其

10、閉環(huán)特征方程式為 s3 + 3s2 + 2s+ =0 列勞斯表為： s3 1 2 s2 3 s1 (6-)/3 s0 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯表中第一列系數(shù)全大于零，即和，因此，的取值范圍為，并且系統(tǒng)臨界穩(wěn)定放大系數(shù)為=6。3-14 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下。（1） （2）試求：1靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)；2求當(dāng)輸入信號(hào)為時(shí)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：（1）首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為型，可以求得靜態(tài)誤差為：所以給定輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算如下：(2) 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

11、 其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為型，可以求得靜態(tài)誤差為：所以給定輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算如下： 注意：該例中若取，則由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此不能定義靜態(tài)誤差系數(shù)，也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。第四章4-1單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按下述步驟繪制概略根軌跡（1） 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為，開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為。（2） 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為。（3） 根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為（4） 確定分離點(diǎn)。分離點(diǎn)方程為，用試探法求得。閉環(huán)系統(tǒng)概略根軌跡如下圖1圖14-2設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解：漸近線與

12、實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為。分離點(diǎn)與匯合點(diǎn)：由得所以，。根軌跡如下圖2圖24-3以知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：（1）系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)有四個(gè)，分別為0，-4，（2）實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為。（3）漸近線有四條。（4）根軌跡的起始角。復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（5）確定根軌跡的分離點(diǎn)。由分離點(diǎn)方程解得，皆為根軌跡的分離點(diǎn)。（6） 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列寫(xiě)勞斯表，可以求出當(dāng)K=260時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為。解得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。如下圖3圖34-4單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，k的變換范圍為，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。解：分析知道，應(yīng)繪制零度根軌跡。按照零度根軌跡的基本法則

13、確定根軌跡的參數(shù)：（1）系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為1，開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為0，-2。（2）實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為。（3）漸近線有一條（4）確定根軌跡的分離點(diǎn)，由分離點(diǎn)的方程，解得（5） 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為。當(dāng)k=-2時(shí)，閉環(huán)特征方程的根為。如下圖4：圖44-5以知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，a的變化范圍為，試?yán)L制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為即有。等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，變化范圍為。（1） 等效系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為（2） 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為（3） 根軌跡有三條漸近線（4） 根軌跡的分離點(diǎn)方程，解得。（5） 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由勞斯表，可以求出當(dāng)a=1時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為。解得。如下圖5圖54-6. 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出