超全幾何模型：中點、角平分線、手拉手、半角、弦圖、最短路徑等.doc

1、超全幾何模型：中點、角平分線、手拉手、 半角、弦圖、最短路徑等中點模型【模型11倍長1、倍長中線；2、倍長類中線；3、中點遇平行線延長相交【模型21遇多個中點，構(gòu)造中位線1、直接連接中點；2、連對角線取中點再相連【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，/ ABC =60°,G是DF的中點，連接GC、GE.(1)如圖1,當點E在BC邊上時，若AB = 10, BF = 4,求GE的長；(2)如圖2,當點F在AB的延長線上時，線段 GE、GC有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫由你的猜想，并給予證明；(3)如圖3,當點F在CB的延長線上時，(2)問中的關(guān)系還成立嗎？寫由你的猜想，并給予證明.【解

2、答】(1)延長EG交CD于點H易證明 ACHGACEG,則 GE=3,3(2)延長CG交AB于點I,易證明ZXBCEA FIE ,則ACEI是等邊三角形， GE =，3GC 且 GEXGC(3)【例21如圖，在菱形 ABCD中，點E、F分別是BC、 CD 上一點，連接 DE、EF,且 AE = AF, / DAE = / BAF.(1)求證：CE = CF;(2)若/ABC =120°,點G是線段AF的中點，連接DG、 EG,求證：DGLEG【解答】(1)證明 ZABEAADF 即可；(2)延長DG與AB相交于點H ,連接HE ,證明ZXHBE 匕匕EFD即可【例31如圖，在凹四邊形

3、 ABCD中，AB = CD, E、F 分別為BC、AD的中點，BA交EF延長線于G點，CD交 EF 于 H 點，求證：/ BGE = /CHE.【解答】取BD中點可證，如圖所示：角平分線模型【模型11構(gòu)造軸對稱【模型21角平分線遇平行構(gòu)等腰三角形【例41如圖，平行四邊形 ABCD中，AE平分/ BAD 交BC邊于E, EFXAE交邊CD于F點，交AD邊于H,延 長 BA 到 G 點，使 AG = CF,連接 GF.若 BC = 7, DF=3, EH = 3AE ,則GF的長為.【解答】延長FE、AB交于點I,易得CE = CF, BA = BE ,設(shè)CE =x,則 BA = CD = 3+

4、x, BE = 7x,3+x=7x, x=2, AB = BE = 5, AE =,作 AJ ± BC , 連接AC ,求得 GF = AC=3手拉手模型【條件】OA = OB , OC = OD , / AOB = / COD【結(jié)論】AOACOBD , / AEB =/AOB = / COD （即都是旋轉(zhuǎn)角）；OE平分/AED【例51 （2014重慶市A卷）如圖，正方形 ABCD的邊 長為6,點O是對角線 AC、BD的交點，點E在CD上，且， 連接BE.過點C作CFXBE,垂足是F,連接 OF,則OF 的長為.【答案】6,5/5【例 61 如圖， AABC 中，/ BAC=90 ,

5、 AB=AC, AD ，BC于點D,點E在AC邊上，連接 BE, AG，BE于F, 交BC于點G,求/ DFG.【答案】45【例7】（2014重慶B卷）如圖，在邊長為6,2的正方形 ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線一點，BE = DG,連接EG, CFXEG交EG于點H,交AD于點F,連接 CE、BH .若 BH = 8,則 FG=.【答案】5,2鄰邊相等對角互補模型【模型11【條件】如圖，四邊形 ABCD中，AB=AD, / BAD + / BCD = / ABC + A ADC = 180【結(jié)論】AC平分/ BCD【模型21【條件】如圖，四邊形 ABCD中，AB=AD, / B

6、AD = / BCD =90【結(jié)論】 / ACB =/ACD =45 ; BC+CD =，2AC例8如圖，矩形 ABCD中，AB=6, AD =5, G為 CD 中點，DE = DG , FGLBE 于 F,則 DF 為.【答案】9,5/5例9如圖，正方形 ABCD的邊長為3,延長CB至點 M ,使BM = 1,連接 AM ,過點B作BNXAM ,垂足為 N , O是對角線 AC、BD的交點，連結(jié) ON,則 ON的長為【答案】6V5/5【例10如圖，正方形 ABCD的面積為64, ABCE是等 邊三角形，F(xiàn)是CE的中點，AE、BF交于點G,則DG的長 為.【答案】4V3+4半角模型【模型11【

7、條件】如圖，四邊形 ABCD中，AB=AD, / BAD + / BCD = / ABC + A ADC =180 , / EAF =1/2 / BAD , 點E在直線BC上，點F在直線 CD上【結(jié) 論】BE、DF、EF滿足截長補短關(guān)系【模型21【條件】如圖，在正方形 ABCD中，已知E、F分別是邊 BC、CD上的點，且滿足/ EAF = 45°, AE、AF分別與對角 線BD交于點M、N .【結(jié)論】BE+DF=EF; AH =AB ; BM2 +DN2 = MN2 ; ANM s DNF s BEM s AEF s BNA s DAM （由 AO : AH = AO : AB =

8、1:，2可得至U AANM 和 AAEF 相似比為1:，2）AOMsMDF; AAONsMBE;AAEN為等腰直角三角形， /AEN =45°,出FM為等 腰直角三角形，/AFM =45°A、M、F、D四點共圓，A、B、E、N四點共圓，M、N、F、C、E五點共圓.【模型2變形】【條件】在正方形 ABCD中，已知E、F分別是CB、DC 延長線上的點，且滿足/ EAF = 45【結(jié)論】BE+EF=DF【模型2變形】【條件】在正方形 ABCD中，已知E、F分別是BC、CD 延長線上的點，且滿足/ EAF = 45【結(jié)論】DF+EF=BE【例11如圖，叢BC fflADEF是兩個全

9、等的等腰直角 三角形，/ BAC=/ EDF = 90°, ADEF的頂點E與2BC的 斜邊BC的中點重合，將 ADEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中， 線段DE與線段AB相交于點P,射線EF與線段AB相交于 點G,與射線CA相交于點 Q.若AQ = 12, BP=3,則PG =【解答】連接AE,題目中有一線三等角模型和半角模型設(shè) AC=x,由 ABPCsACEQ 得BP/CE=BE/CQ , 3/( (，2/2)X =(，2/2)x/(x+12),解得 x= 12設(shè) PG=y,由 AG2 + BP2=PG2 得 32 + (12 3x)2 = x2, 解得x = 5【例12如圖，在菱形 A

10、BCD 中，AB = BD,點E、F在AB、AD上，且 AE = DF.連接 BF與DE交于點 G,連接CG與BD交于點H ,若CG = 1,則S四邊形BCDQ =【解答】V3/4一線三等角模型【條件】/ EDF = / B = / C,且 DE = DF【結(jié)論】 ABDE wCFD【例13如圖，正方形 ABCD中，點E、F、G分別為 AB、BC、CD 邊上的點，EB = 3, GC=4,連接 EF、FG、 GE恰好構(gòu)成一個等邊三角形，則正方形的邊為 .【解答】如圖，構(gòu)造一線三等角模型，ZXEFHA FGI貝 U BC = BF+CF=HF-BH + FI - CI = GI - BH + H

11、E - CI =7,3/3弦圖模型【條件】正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段【結(jié)論】新構(gòu)成了同心的正方形【例14如圖，點E為正方形ABCD邊AB上一點，點 F在DE的延長線上，AF = AB , AC與FD交于點 G , / FAB 的平分線交FG于點H,過點D作HA的垂線交HA的延長 線于點 I.若 AH=3AI, FH = 2v2,則 DG =.【解答】17V2/4【例 15如圖，AABC 中，/ BAC=90 , AB=AC, AD±BC于點D,點E是AC中點，連接BE,作AG，BE于F, 交BC于點G,連接EG,求證：AG + EG=BE.【解答】過點 C作CH，AC交AG的延長

12、線于點H ,易 證最短路徑模型【兩點之間線段最短】1、將軍飲馬2、費馬點【垂線段最短】【兩邊之差小于第三邊】【例16如圖，矩形 ABCD是一個長為1000米，寬為 600米的貨場，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場內(nèi)建一個收費站 P, 在鐵路線BC段上建一個發(fā)貨站臺 H ,設(shè)鋪設(shè)公路 AP、DP 以及PH之長度和為1,求l的最小值.【解答】600+500點線為最短.【例17如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個 動點，滿足 AE = DF,連接CF交BD于G,連接BE交AG 于H,若正方形的邊長為 2,則線段 DH長度的最小值為【解答】如圖，取AB中點P,連接PH、PD,易證PH> PD-PH 即 DH> V5-1 .課后練習題【練習11如圖，以正方形的邊 AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形 ABE , /AEB=90°, AC、BD交于O.已知AE、 BE的長分別為3、5,求三角形OBE的面積.【解答】5/2【練習2】已知：如圖1,正方形 ABCD中，為對角線 BD上一點，過 E點作EFXBD交BC于F,連接DF, G為