高考概率知識點及例題

1、概率知識要點.隨機事件的概率隨機事件的概率I、必然事件：一般地，把在條件s下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件 S的必然事件。2、不可能事件：把在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的 不可能事件。3、確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱相對于條件S的確定事件。4、隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S 的隨機事件。5、頻數(shù)：在相同條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n 次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。6、頻率：事件A出現(xiàn)的比例f (A)= J tl n7、概率：隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.概率的意義1、概率

2、的正確解釋：隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機性 中含有規(guī)律性。認識了這種隨機中的規(guī)律性，可以比較準確地預測隨機事 件發(fā)生的可能性。2、游戲的公平性：抽簽的公平性。3、決策中的概率思想：從多個可選答案中挑選出正確答案的決策任務，那 么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準則。極大似然法、小概率事件4、天氣預報的概率解釋：明天本地降水概率為70%解釋是“明天本地下雨 的機會是70%”。5、試驗與發(fā)現(xiàn)：孟德爾的豌豆試驗。6、遺傳機理中的統(tǒng)計規(guī)律。（概率的基本性質(zhì)1、事件的關(guān)系與運算（1）包含。對于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生， 稱事件B包含事件A （或事件A包含

3、于事件B）,記作8 3A（或AnB）。不可能事件記作0。（2）相等。若33AH則稱事件A與事件B相等，記作A二B。（3）事件A與事件B的并事件（和事件）：某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā) 生或事件B發(fā)生。（4）事件A與事件B的交事件（積事件）：某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā) 生且事件B發(fā)生。（5）事件A與事件B互斥：AC8為不可能事件，即館8=0,即事件A與 事件B在任何一次試驗中并不會同時發(fā)生。（6）事件A與事件B互為對立事件：AflB為不可能事件，AU8為必然事 件，即事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生。 ¥2、概率的幾個基本性質(zhì)（1） 0<P（A）<l.（2）必然

4、事件的概率為l.P（E） = l.（3）不可能事件的概率為0.尸（尸） = 0.（4）事件A與事件B互斥時，P（A|JB）=P（A）+P（B）概率的加法公式。（5）若事件B與事件A互為對立事件,，則AU8為必然事件，尸（AU8） = 1.古典概型古典概型I1、基本事件：基本事件的特點：（1）任何兩個事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本時間 的和。2、古典概型：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。具有這兩個特點的概率模型稱為古典概型。2 八十 “A、A包含的基本事件的個數(shù)3、公式：P（A）=汗砧、，,她基本事件的總數(shù)（整數(shù)值）

5、隨機數(shù)的產(chǎn)生如何用計算器產(chǎn)生指定的兩個整數(shù)之間的取整數(shù)值的隨機數(shù)一一書上例 題。幾何概型幾何概型1、幾何概型：每個事件發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或 體積）成比例的概率模型。2、幾何概型中，事件A發(fā)生的概率計算公式：構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生常用的是0川上的均勻隨機數(shù)，可以用計算器來產(chǎn)生01之間的均勻隨機 數(shù)。本章知識小結(jié)（1）在具體情境中，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進一 步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別。（2）通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式。（3）通過實例，理解古典概型及其概率計算

6、公式，會用列舉法計算一些隨 機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。（4） 了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法（包括計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來進行 模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義（參見例3）。（5）通過閱讀材料，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程。重難點的歸納：重點：1、了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，正確理解概率的意義.2、理解古典概型及其概率計算公式.3、關(guān)于幾何概型的概率計算4、體會隨機模擬中的統(tǒng)計思想：用樣本估計總體.難點：1、理解頻率與概率的關(guān)系.2、設計和運用模擬方法近似計算概率.13、把求未知量的問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題.（二）高考概率概率考試內(nèi)容：隨機事件的概率.等可能性

7、事件的概率.互斥事件有一個 發(fā)生的概率.相互獨立事件同時發(fā)生的概率.獨立重復試驗.考試要求：（1） 了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義.（2） 了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些 等可能性事件的概率。（3） 了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式 與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.（4）會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生K次的概率.以下歸納9個常見考點：解析概率與統(tǒng)計試題是高考的必考內(nèi)容。它是以實際應用問題為載體，以 排列組合和概率統(tǒng)計等知識為工具，以考查對五個概率事件的判斷識別及 其概率的計算和隨機變量概率分布

8、列性質(zhì)及其應用為目標的中檔師，預計 這也是今后高考概率統(tǒng)計試題的考查特點和命題趨向。下面對其常見題型和考點進行解析?？键c1考查等可能事件概率計算。在一次實驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。如果事件A包含的結(jié)果有m個，那么p(a)=竺。這就是等可能事件 n的判斷方法及其概率的計n算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的計算方法以及分析 和解決實際問題的能力。例1(2004天津)從4名男生和2名女生中任3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.考點2考查互斥事件至少有一個

9、發(fā)生與相互獨立事件同時發(fā)生概率計算。不可能同時發(fā)生的兩個事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個發(fā)生 的事件為A+B,用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)計算。事件A (或B)是否發(fā)生對事件B (或A)發(fā)生的概率沒有影響，則A、B叫做相互獨立事件，它們同時發(fā)生的事件為ABo用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)計算。高考常結(jié)合考試競賽、上網(wǎng)工作等問題對這兩個事件的識別及其概率 的綜合計算能力進行考查。例2.(2005全國卷III)設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有 影響。己知在某一小時內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為，甲、丙都需要照 顧的概率為，乙、丙都需要照顧的概率為，

10、(I )求甲、乙、丙每臺機器在 這個小時內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；(II)計算這個小時內(nèi)至少有一臺 需要照顧的概率?？键c3考查對立事件概率計算。必有一個發(fā)生的兩個互斥事件A、B叫做互為對立事件。用概率的減法 公式P(A)4P(A)計算其概率。高考常結(jié)合射擊、電路、交通等問題對對立事件的判斷識別及其概率計算 進行考查。例3. (2005福建卷文)甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為1和2。2 5(I)甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；(II)甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的 概率；考點4考查獨立重復試驗概率計算。若n次重復試驗中，每次試驗結(jié)果的概率

11、都不依賴其它各次試驗的結(jié) 果，則此試驗叫做n次獨立重復試驗。若在1次試驗中事件A發(fā)生的概率 為P,則在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=匕(A)= C/(i p)"3高考結(jié)合實際應用問題考查n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次 的概率的計算方法和化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法的應用。例4. （2005湖北卷）某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只， 且型號相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號的燈 泡壽命為1年以上的概率為pl,壽命為2年以上的概率為p2。從使用之日 起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換。¥

12、（I）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡 的概率；（II）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要 更換燈泡的概率；（III）當pl=, p2二時，求在第二次燈泡更換工作，至少需 要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）考點5考查隨機變量概率分布與期望計算。解決此類問題時，首先應明確隨機變量可能取哪些值，然后按照相互 獨立事件同時發(fā)生概率的法公式去計算這些可能取值的概率值即可等到分 布列，最后根據(jù)分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機變 量分布列和數(shù)學期望等概念和運用概率知識解決實際問題的能力。例5.（2005湖北卷）某地最近出臺一項機動

13、車駕照考試規(guī)定；每位考試 者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，使可領取駕 照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參 加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為，一求在一年內(nèi)李明參 加駕照考試次數(shù)1的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領到駕照的概率。 考點6考查隨機變量概率分布列與其他知識點結(jié)合1、考查隨機變量概率分布列與函數(shù)結(jié)合。例6. (2005湖南卷)某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽 這三個景點的概率分別是，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設£表示 客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值。%(I)求W的分布

14、及數(shù)學期望；(H)記函數(shù)f(x)=x2 33+l在區(qū)間2, +-)上單調(diào)遞增為事件A,求 事件A的概率。2、考查隨機變量概率分布列與數(shù)列結(jié)合。例7甲乙兩人做射擊游戲，甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨立事件，規(guī)則 如下：若射擊一次擊中，原射擊者繼續(xù)射擊，若射擊一次不中，就由對方 接替射擊。已知甲乙兩人射擊一次擊中的概率均為7,且第一次由甲開始射 擊。(1)求前4次射擊中，甲恰好射擊3次的概率。(2)若第n次由甲射擊的概率為a”，求數(shù)列aj的通項公式；求lima”，并 說明極n玲8限值的實際意義。3、考查隨機變量概率分布列與線形規(guī)劃結(jié)合。例8 (2005遼寧卷)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)

15、過第一 和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨立，每道工序的加工結(jié) 果均有A、B兩個等級對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品。&（I）己知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所 示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概P（甲卜P（乙卜（II）己知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用、n分別表示一件甲、乙產(chǎn)品 的利潤，在（I）的條件下，求、n的分布列及此、Eq；（III）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人 40名，可用資金60萬元。設x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（II） 的條件下，y為何值時，z=xE +

16、 yEnx最大最大值是多少（解答時須給出圖 示）考查隨機變量概率分布列性質(zhì)性質(zhì)應用考點7考查隨機變量概率分布列性質(zhì)應用。離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.，高考常結(jié)合應用問題對隨機變量概率分布列及其性質(zhì)的應用 進行考查。例9（2004年全國高考j）某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得。分。假設這名同學每 題回答正確的概率均為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響求這名同學回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學期望； 求這名同學總得分不為負分（即Q0）的概率?？键c8樣本抽樣識別與計算。簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣

17、，分層抽樣得共同特點是不放回抽樣，且各個體被抽取得概率相等，均為2 （N為總體個體數(shù)，n為樣本容量）。系統(tǒng)抽 N樣、分層抽樣的實質(zhì)分別是等距抽樣與按比例抽樣，只需按照定義，適用 范圍和抽樣步驟進行，就可得到符合條件的樣本。高考常結(jié)合應用問題，考查構(gòu)照抽樣模型，識別圖形，搜集數(shù)據(jù)，處 理材料等研究性學習的能力。例11 （2005年湖北湖北高考題）某初級中學有學生270人，其中一年級 108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查, 考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽 樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1, 2,270；使用系統(tǒng)

18、抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號1, 2,270,并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況:7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250；5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265； 11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254；30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 （）A.、都不能為系統(tǒng)抽樣B.、都不能為分層抽樣C.、都可能為系統(tǒng)抽樣 D.、都可能為分層抽樣考點9考

19、查直方圖。這是統(tǒng)計的知識，不是概率的吧 例12.（2005江西卷）為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設最大頻率為a,視力在到之間的學生數(shù)為b,則3 b的值分別為()A. 0,27,78 B. 0,27,83 C. ,78 D. ,83方法小結(jié)：解決概率問題時，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷問題是否是等可能性事件、 互斥事件、相互獨立事件，還是某一事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k 次的情況，以便選擇正確的計算方法，同時注意上述各類事件的綜合問題, 要全面考慮

20、，特別是近幾年高考概率與期望的綜合，體現(xiàn)了高考對概率知 識要求的進一步提高。下面僅以幾個例題作以小結(jié)。一、用排列組合求概率例1從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù), 這個三位數(shù)不能被3整除的概率為()(A)19 乃 4(B)3Hs(C)3 的 4(D)41y60分析：等可能事件的概率關(guān)鍵是利用排列組合出基本事件數(shù)。答案：B點評：本題將等可能事件與對立事件的概率，以及分類討論綜合在一起， 體現(xiàn)了知識交匯點的命題精神，是高考的熱點。二、互斥事件有一個發(fā)生的概率例2某廠生產(chǎn)A產(chǎn)品，每盒10只進行包裝，每盒產(chǎn)品都需要檢驗合格后才能 出廠，規(guī)定以下,從每盒10只中任意抽4只進行

21、檢驗，如果次品數(shù)不超過1只, 就認為合格，否則就認為不合格，己經(jīng)知道某盒A產(chǎn)品中有2只次品(1)求該盒產(chǎn)品被檢驗合格的概率（2）若對該盒產(chǎn)品分別進行兩次檢驗，求兩次檢驗的結(jié)果不一致的概率 分析：對一個復雜事件的概率可以分拆成幾個互斥事件的概率或者轉(zhuǎn)化為 求其對立事件的概率。點評：求相互獨立事件同時發(fā)生的概率，要保證兩者確是“相互獨立”事 件。本例的“比賽型”題，分析比較簡單，只要結(jié)合有關(guān)比賽規(guī)則即可解 決，此類題也是高考的熱點題。三、對立重復試驗例3 一位學生每天騎自行車上學，從他家到學校有5個交通崗,假設他在交通 崗遇到紅燈是相互獨立的，且首末兩個交通崗遇到紅燈的概率均為p,其余3 個交通崗

22、遇到紅燈的概率均為1。2若p二弟，求該學生在第三個交通崗第一遇到紅燈的概率；（2）若該學生至多遇到一次紅燈的概率不超過18,求p的取值范圍。分析：首末兩個交通崗遇紅燈的概率相同，其余3個交通崗遇紅燈的概率 也相同，可看作獨立重復試驗。點評：要注意恰有k次發(fā)生和某指定的k次發(fā)生的差異。對獨立重復試驗 來說，前者的概率為總結(jié)：概率初步的考題一般以（1）等可能事件；（2）互斥事件有一個發(fā)生;（3）相互獨立事件同時發(fā)生；（4）獨立重復試驗為載體。有的考題可能綜 合多個概率題型；在等可能事件的概率計算中，關(guān)鍵有二：一是誰是一次 試驗（一次事件所含的基本事件的總數(shù)）；二是事件A所含基本事件數(shù)。當 然，所有

23、基本事件是等可能的是前提；善于將復雜的事件分解為互斥事件 的和與獨立事件的積是解題的關(guān)鍵。(三)高考數(shù)學概率中的易錯題辨析一、概念理解不清致錯例1.拋擲一枚均勻的骰子，若事件A： “朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點數(shù)不超過3"，求P (A+B)錯誤解法1：事件A：朝上一面的點數(shù)是1, 3, 5；事件B：超上一面的點數(shù)為 1, 2, 3, AP (A+B) =P (A) +P (B) =- + - = - 6 6 2錯因分析：事件A：朝上一面的點數(shù)是1, 3, 5；事件B：越上一面的點數(shù)為1, 2, 3,很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。即P (A+B) WP (A) +P

24、(B),所以上解是錯誤的。實際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點數(shù)為1, 2, 3, 5四種情況AP (A+B) =- = - 6 3錯誤解法2：事件A：朝上一面的點數(shù)為1, 3, 5；事件B：朝上一面的點數(shù)為1, 2, 3,即以A、B事件中重復的點數(shù)1、3AP (A+B)=P (A) +P (B) -P (A B)11113二+x=2 2 2 2 4錯因分析：A、B事件中重復點數(shù)為1、3,所以P (A-B)這種錯 6誤解法在于簡單地類比應用容斥原理Card (A U 8) = Card (A) + Card (B) - Card(A A B)致錯正確解答：P (A+B) =P (A)

25、+P (B) -P (A B).112 2+ =-1,(當?shù)诖螖S出偶黝-1,(當?shù)诖螖S出奇數(shù))'2 2 6 3例2.某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列詢，使% = 記S, =%+%+ +* 求S, > 0(/ = 1,234)且4 = 2的概率。錯解：記事件A： 4=2,即前8項中，5項取值1,另3項取值一1-* 58 = 2 的概率 P(A) = Cg . (1)8記事件B: S* >0(/ = 123,4),將S >0(/ = 123,4)分為兩種情形:(1)若第1、2項取值為1,則3, 4項的取值任意(2)若第1項為1,第2項為-1,則第3項必為1第四項任意AP(B

26、)=(1)2+(1)3=1，所求事件的概率為P=P(A) P (B) =2 o 2錯因分析：SjNO且凡=2是同一事件的兩個關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個相互獨立事件。51之0對4=2的概率是有影響的，所以解答應為：正解：: S, >0(/ = 1,23,4)J前4項的取值分為兩種情形若1、3項為1;則余下6項中3項為1,另3項為-1即可。即勺=ct(1)8;若1、2項為正，為避免與第類重復，則第3項必為-1,則后5項中只須3項為1,余下2項為-1,即尸2=，(；)8,所求事件的概率為八c+) 4)8 =母二、有序與無序不分致錯例3.甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6

27、個，判斷題4個，甲、乙依次各抽一題。求：(1)甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少(2)甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少錯誤解法：(1)甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為以乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為C：而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為G?。，所求概率為：宣錯因分析：甲、乙依次從10個題目各抽一題的結(jié)果，應當是先選后排, 所以應為娠。為避免錯誤，對于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題 目的結(jié)果應為C；。種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應為C；種， 所以正確解答：器4（2）錯誤解法：從對立事件考慮，甲、乙都抽到判斷題的結(jié)果為。:種, 所以都抽到判斷題的概率為,所求事件的概率為1_工=

28、8C；oC； 1515 15錯因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一題，那么甲、乙都提到 判斷題的結(jié)果應為種，所以所求事件概率應為券=2說明：對于第（2）問，我們也可以用這樣解答：這里啟示我們，當基本事件是有序的，則指定事件是有序的 .o 15（指定事件包含在基本事件中）；當基本事件是無序的，則指定事件也必無 序。關(guān)鍵在于基本事件認識角度必須準確。例4.己知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A、 B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率。錯解：將8支球隊均分為A、B兩組，共有種方法：A、B兩組中 有一組恰有兩支弱隊的分法為：先從3支弱隊取2支弱隊，又從5支強隊

29、取2支強隊，組成這一組共有。久;種方法，其它球隊分在另一組，只有一 種分法。，所求事件的概率為：=錯因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來看，分組是講求順序的，那么指定 事件："A、B組中有一組有2支弱隊”應分為兩種情形。即“A組有”或“B 組有”，所以正確解答為：I正解：笛華=9或二說明：這道題也可從對立事件求解：3支弱隊分法同一組共有：種結(jié)果。，所求事件概率為1-與f=97三、分步與分類不清致錯例5.某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開某房門鎖，試問他恰在第3 次打開房門的概率錯誤解法：由于此人第一次開房門的概率為9若第一次未開，第2 次能打開房門的概率應為：；所以此人第3次打開房門的概率為g

30、o43錯因分析：此人第3次打開房門實際是第1次未打開，第2次未打開, 第3次打開“這三個事件的積事件”，或者理解為“開房門是經(jīng)過未開、 未開、開”這三個步驟，不能理解為此事件只有“開房門”這一個步驟， 所以，正確解答應為：正解：第1次未打開房門的概率為:；第2次未開房門的概率為第543次打開房門的概率為"所求概率為：P = ix2xi=lo35 4 3 5例5.某種射擊比賽的規(guī)則是：開始時在距目標100m處射擊，若命中 記3分，同時停止射擊。若第一次未命中，進行第二次射擊，但目標已在 150m遠處，這時命中記2分，同時停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進行第3次射擊，此時目標已在20

31、0m遠處。若第3次命中則記1分，同時 停止射擊，若前3次都未命中，則記。分。己知身手甲在100m處擊中目標 的概率為，他命中目標的概率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都 是獨立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求P3, P2, %，Po的值。:設射手射擊命中目標的概率P與目標距離x之間的關(guān)系為P = 土,由已知 - = ->=5000 x22 1002錯誤解法：p.=l 2n 5000 24的=0n 5000 1 -=一2002 812149尸。=。-/-補才市錯因分析：求P2時，將第150m處射擊命中目標的概率作為第2次命 中目標的概率，隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系，實際上，

32、第2次 射擊行為的發(fā)生是在第1次未擊中的前提下才作出的。P2應為“第1次未擊中，第2次擊中”這兩個事件的積事件的概率。求P1時也如此。正解：瑪毛49144四、考慮不周致錯例6.某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)x的分布列如下:10P現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績記 為求：孑的分布列。錯誤解法：J的取值為8, 9, 10o57,兩次環(huán)數(shù)為7,7；k8,兩次 成績?yōu)?, 8或8, 8：分9,兩次成績7, 9或8, 9或9, 9； =10,兩次 隊數(shù)為7, 10或8, 10或9, 10或10, 10o/ P（ = 7） = 0.2x0.2 = 0.04P（J = 8） = 0.2x

33、0.3 + 0.32 =0.15P 記=9） = 0.2 x 0.3 + 0.3 x 0.3 + 0.32 = 0.23P（& = 10） = 0.2 x 0.3 0.2 + 0.3 0.3 + 0.22 = 0.2（分布列略）錯因分析：j = 8,即兩次成績應為7, 8或8, 7或8, 8實際為三種情形， PR = 8） = 2x0.2x0.3 + 0.32 =0.21J=9兩次環(huán)數(shù)分別為7,9 （或9,7 ） ； 8,9 （或9,8 ） , P 化= 9） = 2x 0.2 x0.3 + 2x 0.3 x 0.3 + O.32 = 0.39Hgp（ = 10） = 0.122 x2

34、 + 0.3x0.2x4 + 0.22 =0.36例7.將n個球等可能地放入到N （nXn）個有編號的盒子中（盒子中 容納球的個數(shù)不限）。求A：某指定的n個盒子中恰有一球的概率。錯誤解法：將n個球等可能地放入到N個盒子中，共有W種方法。而指定的n個盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率：p（a）=工錯因分析：這種解法不全面，如果球是有編號的，則答案是對的。若球是不可辨認的，則答案錯了，若球是不可辨認的，則若考慮盒子中球的 個數(shù)而不考慮放的是哪幾個球，為此，我們用“口”表示一個盒子；用 表示一個球，先將盒子按編號1345n2把n個球放入N中盒子中，形如：101001110001,正好看作N+1

35、個“1”和n個“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有累.1種; 而指定的n個盒子中恰有一球的放法只有1種，故尸(a)= 二=半上工以皿(抵+!五、混淆“互斥”與“獨立”出錯例8.甲投籃命中概率為，乙投籃命中概率為，每人投3次，兩人恰好 都命中2次的概率是多少錯解:設“甲恰好投中2次”為事件A, “乙恰好投中2次”為事件B, 則兩人恰好投中2次為A+Bo所以 P (A+B) =P (A) +P (B)=60.82x0.2+ C；0.7晨0.3 = 0.825。錯因分析：本題解答錯誤的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當成互 斥事件來考慮。將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中2次”與“乙 恰

36、好投中2次”的和。正解：設“甲恰好投中2次”為事件A, “乙恰好投中2次”為事件B, 則兩人恰好都投中2次為ABo所以 P ( AB) =P (A) XP (B) = Cj 0.82 x 0.2 x C3 0.7 2 x 0.3 = 0.169六.混淆有放回與不放回致錯例9.某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測試，取后不放回,求:（1）恰好到第5次3只次品全部被測出的概率;（2）恰好到第k次3只次品全部被測出的概率/（幻的最大值和最小值。錯解：（1） p （a） =2_2.m=_L 10 9 8 7 6 144（2）心歷（1-歷廠=0.21。錯因分析：錯解（1）的錯誤的原因在于忽視了 “不

37、放回摸球”問題的 每一次摸球是不獨立的；而錯解（2）的錯誤的原因則在于忽視了 “不放回摸球”問題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的（比前一次少一個）。正解:5120二1 廠氏一 3 a(2)P ='-d)"2),(3KE0,&eZ)240當& =3 時，/伏)min=3) =擊；當我 =3 時，f(k) max = f (10) = ©一、選擇2 .（福建理5）某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為二那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是A.提96 c 192625. 625D.256625解:獨立重復實驗8（4,3，尸伙=2）=得償=黑5 5 / 5 y

38、 625那么播下3481253 .（福建文5）某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為% 粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是解：這是獨立重復實驗，服從二項分布8（3二），尸（X=2） = C；0515,¥一年級二年級三年級女生373Xy男生377370Z各年級男、女生人數(shù)如表1.已知4 .（廣東理3）某校共有學生2000名, 在全校學生中隨機抽取1名，抽到二 年級女生的概率是.現(xiàn)用分層抽樣的方 法在全校抽取64名學生，則應在三年 級抽取的學生人數(shù)為（C）A. 24B. 18C. 16D. 12解：依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數(shù)應 該是500,即總體中各個年級的人數(shù)比例為3:3:2,故在分層抽樣中應在三 年級抽取的學生人數(shù)為64x2 = 1686.（江西理11文11）電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23:59的每一時 刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻的四個