高中數(shù)學(xué)技巧--妙--構(gòu)造對(duì)偶式的八種途徑

1、v1.0可編輯可修改構(gòu)造對(duì)偶式的八種途徑在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，合理地構(gòu)造形式相似，具有某種對(duì)稱關(guān)系的一對(duì)對(duì)偶關(guān)系式，并通過(guò)對(duì)這對(duì)對(duì)偶關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?，差，積等運(yùn)算，往往能使問(wèn)題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果。下面通過(guò)實(shí)例來(lái)談?wù)剺?gòu)造對(duì)偶式的八種途徑。一.和差對(duì)偶對(duì)于表達(dá)式u(x) v(x),我們可構(gòu)造表達(dá)式 u(x)v(x)作為它的對(duì)偶關(guān)系式。,且 3sin 4cos 5,求 tan 的值。2解析：構(gòu)造對(duì)偶式：3sin 4cos y r 3sin 4cos3sin 4cosy，得sincos再由 sin2cos21,得：y 7, tan點(diǎn)評(píng)：這種構(gòu)造對(duì)偶式的方法靈巧，富有創(chuàng)意，有助于培養(yǎng)學(xué)生的

2、創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力。例2 已知：a, b, c, dR,且 a2 b2c2d21,求證：(ab)4 (ac)4 (a d)4(bc)4(bd)4 (c d)4 6。解：設(shè)M (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4,構(gòu)造對(duì)偶式N (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4則有：M N6(a4b4c4d4 2a2b22a2c22a2d2 2b2c22b2d2 2c2d2)6(a2b2c2d2)2 6又N 0 ,故M 6 ,即原不等式成立。點(diǎn)評(píng)：這個(gè)對(duì)偶式構(gòu)造得好！它的到來(lái)一下子使問(wèn)題冰消融了。解法自然，樸素，過(guò)程簡(jiǎn)

3、潔,運(yùn)算輕松!例 3 解方程：，x2 8x 21x2 8x 21 1011v1.0可編輯可修改123解：構(gòu)造對(duì)偶式:一 x2 8x21 x28x 21 a,再由原方程聯(lián)立可解得:.x2 8x 21x2 8x 2110 a10 a,(2)那么(1)2(2)2 得：2x2421 2(1002a2),(1)2(2)2 得：16x8x代入(3 )中得:一 一 9 2整理得：x 252164 22x2 42 -(100 一x2), 2254,解得：x 10 o3二.互倒對(duì)偶互倒對(duì)偶是指針對(duì)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)式中的某些元素取倒數(shù)來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例4若 x,y,z (0,1),求證:1 3。1 z x解

4、：設(shè)M構(gòu)造對(duì)偶式:3,故M(1y)(1z)(1x),則一 (1 y3,即y)(1z)；(1 z x)3。例5設(shè)a1，a2, a3,|“，an為互不相等的正整數(shù),求證:aia222A" 3an d 11 -n2231113解：設(shè)M =a222I HIan2 n,構(gòu)造對(duì)偶式:a222HIa2111an31113v1.0可編輯可修改3iii又ai,a2,a3,|,an為互不相等的正整數(shù)，所以NIlli點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)巧妙構(gòu)思，對(duì)其構(gòu)造了 “意料之中”的對(duì)偶式，化新為舊，等價(jià)轉(zhuǎn)化，完成對(duì) 難點(diǎn)的突破，以達(dá)化解問(wèn)題這目的。34例6已知對(duì)任意x (,0)(0,)總有.1f(x) 2f(一) x x0

5、,求函數(shù)y f(x)的解析解析：因f(x) 2f (1)x 0x 111用1替代上式中的x,構(gòu)造對(duì)偶式：f(-) 2f (x) - 0xxx由X 2 得：f (x) x 4f d) 2 0 x x故 f (x)x2 2x3x三.共輾對(duì)偶共軻對(duì)偶是反映利用共軻根式或共軻復(fù)數(shù)來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例7已知z c ,解方程：z z 3iz 1 3i。解析：由z z 3iz 1 3i構(gòu)造對(duì)偶式：z z 3iz 1 3i由一得z z 2,代入得(z 1)(z 1 3i) 0,故 z 1 或 z 1 3i。z 1例8若z c,已知z 1且z 1,證明：為純虛數(shù)。z 1一 7 1 一. 7 17 17 1解：

6、設(shè)乂=則M(二) 七一構(gòu)造對(duì)偶式：N= z 1z 1 z 1z 1則M + N= - + :?- = 0 (因?yàn)?z z z 1)z 1 z 1z 1，又 0 (因?yàn)閦 1)z 1v1.0可編輯可修改z 1 一，為純虛數(shù)。z 1例9 已知：a 0,b 0,且 a b 1,求證：J20l J2bF 2四。證明：設(shè)m= J2a。J2T7,構(gòu)造對(duì)偶式：n= J2aJ2BF222 M M N 4(a b) 4 8M 2 J2 ,即原不等式成立。四.倒序?qū)ε嫉剐驅(qū)ε际侵羔槍?duì)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)和式或積式進(jìn)行倒序構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例10求和：S 1C： 2cl2 3c3 4c4 m nC：解析：觀察和式聯(lián)想到

7、 Ck c；k,0 k n,n N ,故首先在和式右邊添上一項(xiàng)0C0,則 S 0 C0 1C1 2c2 III nCl構(gòu)造對(duì)偶式：S nC： (n 1)Cn (n 2)C2Ml 0C：即亦為： S 0 C0 1C； 2cl2 "I nCnn由+得：nC： nC1 "I nC： 1 nC：2S nC： nC1 | nC：1 nC； n(C0 U C；1 C：) 2S n 2nS n 2n點(diǎn)評(píng)：利用現(xiàn)成的對(duì)偶式，使問(wèn)題本身變得簡(jiǎn)單，便易，如此處理，可謂“勝似閑庭信步”，豈不妙哉！例1 1正項(xiàng)等比數(shù)列an中，Ta1a2a3口an,Sa1a2a3an試用s,t表示 Q 1。a a2

8、 川 an解析：傳統(tǒng)解法都用 a1，q表示s, T及Q,然后通過(guò) a1和q找到s, T, Q的等量關(guān)系，這種解法雖思路正確，但運(yùn)算繁瑣，加之在用等比數(shù)列求和公式時(shí)還要討論q 1和q 1兩種情形，如 44v1.0可編輯可修改此解題會(huì)陷入漫漫無(wú)期的運(yùn)算之中，很少有人能夠到達(dá)終點(diǎn)。其實(shí)，觀察和式子與積式特征不妨 采取“本末倒置”構(gòu)造倒序?qū)ε夹蚴揭辉嚒Ｓ深}意知：T a1a2 a3111an構(gòu)造倒序?qū)ε际?an an 1 an 2 W ai由X得：T2 (a1 an)(a2 an 1)n(an aj (ai an)2,即 T (a an尸再來(lái)看：Q 1ai a2 川 an55構(gòu)造倒序?qū)ε际剑篞 1an

9、an 1ai即+得：1an 2III(i即2Qa ana2an 2a ana2 an 2IIIan a1an 4由等比數(shù)列性質(zhì)可知，右邊的分母均為a1 an,故2Q(a an) (a?an 1)(ana)a1 an2s即 2Q 二S , . QamSaianTn2五.定值對(duì)偶定值對(duì)偶是指能利用和，差，積，商等運(yùn)算產(chǎn)生定值，并借此構(gòu)造出對(duì)偶式的方法。x2例12已知函數(shù) f (X) -o1 X111f(4)f(3)也) f(1) f(2)f(3)f(4),則5= v1.0可編輯可修改67解析：f(x) f(l) - x 12x2 x(1)2x1(-)2x發(fā)現(xiàn)定值：f(x)1那么S f(-)4f(-

10、)x1f(-) f3f(2)f(3)f(4)構(gòu)造對(duì)偶式：Sf(4) f(3)f(2)f(1)嗎)11f(3) f(4)由+得:_ 1.12s f(/ f f(3)f(3)1 f(2)f(2)2f(1),1,1,1f(2) f(2) f f(3) f f(4)六.奇偶數(shù)對(duì)偶奇偶數(shù)對(duì)偶指利用整數(shù)的分類中奇數(shù)與偶數(shù)的對(duì)稱性構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例1 3求證:2n 12n解：設(shè)M4 6 |,llh2n 1|-2,構(gòu)造對(duì)偶式：N2n 12nIII2no2n 1因此M從而M 2 M2n2n 1,2n 1例 14求證：(1 1)(1 1X"。)3 3n 13n 2證明：待證不等式的左邊為：(111)(

11、1 對(duì) k13n 25 in 貯。4 3n 2III3n 1構(gòu)造兩個(gè)對(duì)偶式:3n32712 3'4 5 625 in,明占P3n3n 1433n6iii13n3n3nv1.0可編輯可修改78M3(13nIII3H)(2%(4 73n 1)3n 13 6 3n M33n 1故原不等式成立。點(diǎn)評(píng)：靈活地選取解題方法，對(duì)其構(gòu)造了 “意想不到”的對(duì)偶式，從而完成了解答，充分體現(xiàn)了解題技巧。七.輪換對(duì)偶輪換對(duì)偶是指針對(duì)式子的結(jié)構(gòu),通過(guò)輪換字母而構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例1 5求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)2 b2-b 8不等式成立。 1 a 1證明:b2b2構(gòu)造對(duì)偶式N b 1(a b)(a b)2(b 1)(a1

12、)(b1)(a1)4 2 2 8,8,即M8。當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)等號(hào)成立。例 1 6設(shè) a,b,cb2證明:b2構(gòu)造對(duì)偶式:b2 M2,2abb2 b0,b2b c八.互余對(duì)偶v1.0可編輯可修改三角中的正弦與余弦是兩個(gè)對(duì)稱元素，利用互余函數(shù)構(gòu)造對(duì)偶式，借用配對(duì)思想可以輕 松完成有關(guān)三角題的解答。例 1 7 已知 x 0,解方程：cos2x cos2 2x cos2 3x 1 222 _2_ -2_2_2_斛析：右令 M cos x cos 2x cos 3x,構(gòu)造對(duì)偶式：N sin x sin 2x sin 3x則：M N 32M N cos2x cos4x cos6x 2cosxcos3x 2c

13、os 3x 12cos3x(cosx cos3x) 1 4cosxcos2xcos3x 1 M N 4cos x cos2x cos3x 11由十得：cosxcos2xcos3x (2M2),又 M 14cosx cos2x cos3x 0cosx 0 或 cos2x0或 cos3x 0,x 0,-288x 一或 x 或 x。642點(diǎn)評(píng)：通過(guò)構(gòu)造對(duì)偶式，創(chuàng)設(shè)了 cosxcos2xcos3x 0這一美妙而又能打開書局面的有利條 件，可謂“高招” ！例 1 8求 sin210， cos2 40. sin10 . cos40,.的值。解析：令 M sin210 * cos2 401sin10' cos40;,構(gòu)造對(duì)偶式： N cos210sin2 40* cos10'*' sin 40-,則M N 2 sin10vcos40cos10、sin40， 2 sin50M N cos20 - cos80H sin10，cos40， cos10 sin40:1 2sin 50 sin 301 sin30sin