高職專升本第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習題及答案

1、應(yīng)用數(shù)學習題集第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一.選擇題1 ,若f (x)在X0處可導(dǎo)，則以下結(jié)論錯誤的是( D )。A f (x)在xo處有極限；B f (x)在xo處連續(xù);C f(x)在xo處可微;D f(x“ = lim f (x)必成立。- x xi.2.若f (x)在xo處可導(dǎo)，則(B )是錯誤的。(02-03 電大試題)A函數(shù)f(x)在點xo處有定義;B lim f (x) = A，但 A = f (xo)；J%C函數(shù)f(x)在xo處連續(xù);D函數(shù)f (x)在xo處可微。3 . f (x)在xo處不連續(xù)，則f (x)在*0處(A )A必不可導(dǎo)；B有時可導(dǎo)；C必無定義；D必無極限。4 .函數(shù)f(x)

2、=|2x|在x=o處的導(dǎo)數(shù)( D )。A等于o ;B等于2 ;C等于-2 ;D不存在。5 .函數(shù)f(x)=|sinx|在點x=o處的導(dǎo)數(shù)( D )。A等于-1 ;B等于o ;C等于1 ;D不存在。6 . y =ln | x|,則 y= ( B )。A -工； B 1 ；|x|x1|x|7.曲線y=sinx 在點(0,0)處的切線方程是(C )。A y=2xC y=xD y=-x8. f(x)=xcosx,則 f(x)=(D )。(02-03 電大試題)B cosx-xsinxD -2sinx-xcosxA cosx+xsinxC 2sinx+xcosx9 .函數(shù)中在1 , e上滿足Lagran

3、ge定理條件的函數(shù)是( B )。A y=ln(lnx) ; B y=lnx ; C y= ; D y=ln(2-x)ln x10 .若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，Lagrange 定理的結(jié)論是至少存在一點E ,使(A )。A f(q = f (b) - f ；b f(q = o；b -aC f(b)= f(a) + f代)(b+a)； D f化)=f(b) - f(a) 211 . f(x0) =0,則 X0 是函數(shù) f(x)的(D )。(02-03 電大試題)A.極大值點；B.最大值點；C.極小值點；D.駐點。12 . xo是連續(xù)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的極小值點，則(

4、C )。A 必有 f(xo) =0;B f(x0)必不存在;C f(x0)=0或 f(x。)不存在；13 . y=arctane x,貝U dy= ( C )。D x e (a,b)時，必有 f(x)之 f(x0)。12271 eexdx1 e2x D dxD 2 2x 1 e214 .設(shè) f(x)=x+cosx ,貝U f(x)= ( C )。A 1-sinxB 1+sinx 2; C 1-sinx 2 2x ； D (1-sinx 2)2x。15 .設(shè) f (t)=3L ,則 f (t)= ( B )。t2 -11一；2tt2 122 ，(t -1)3t2 -122(t -1)t2 1t2

5、 -1x aa - x16 . lima (a0)的值是(D )。 1x -aA 0 ; B 1 ; C 8；D aa( ln a T)。17 .若xi與x2分別是函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的一個極大點和一個極小點，則(D )必成立。A f(x1) f (x2)；B f(Xi) = f(Xz) =0 ;C 對做 C(a,b) , f(x)Mf(x1)，f(x)之 f(xz); D (xj、f(x2)可能為 0,也可能不存在。18 若 lim f(x) - f (x0) = -1 ，則 f(x。)一一定是 f(x)的(D )。x M (x -x。) .若函數(shù) y =ln V3 ,則 y = 0

6、_A最大值；B極小值；C最小值；D極大值。1 .填空題：1 .已知 f (x) =lnx ,貝U 1m gCx-也一nx = 1。 x 30xx3 .曲線y=x 3+4在/(0,4)處的切線平行于 x軸。4 .拋物線y=x 2在/-(1/2,1/4)處的切線的傾斜角是 45。5 .已知 f(x)=x sinx ,則 f(0) = 2。6 .方程exy =xy所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy= 乂。dx x7 .若函數(shù)f (x)在x=o處可微，則ijm f (x) = f(0)。8 . d ln(sin x)= cotxdx。9 . dln(cosx)= tanxdx。x x x10 . d(sin e

7、 ) = e cose dx。11 .半徑為x的金屬圓片，面積為S(x)。加熱后半徑伸長了 x,應(yīng)用微分方法求出 S S半) 。In x12 .m一x 二 o。一一213 .函數(shù)y=arctan(x +1)的遞增區(qū)間是(0, +0)。14 .函數(shù)y=ln(2x 4+8)的遞減區(qū)間是(一00,0)。15 .函數(shù)y=sinx-x 在其定義域內(nèi)的單調(diào)性是單調(diào)減少。16 .極值存在的必要條件：如果 f(x)在點x0處取得極值且在點xO處可導(dǎo)，則f(x)=0。17 .若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)f(x)0,則函數(shù)的最小值為 f(b)。18 .設(shè)函數(shù)y = f(x)二階可導(dǎo)，若 函)=0、

8、f(x0) 0,則f (x0)是f3的_&太。19 .已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=80+2q,則產(chǎn)量q=50時，該產(chǎn)品的平均成本為3.620 .微分近似計算函數(shù)值公式f (x + x)電f(x)十f(x)x。三、解答題：11，1 ,求函數(shù)y =產(chǎn)+廣的導(dǎo)致。1 x 1 - x八 一.112_,解：因為y=七+七所以1x 1 - , x 1 - x2(-1)2y = -2 =2。(1 -x) (1 -x)In x2 .求函數(shù)y =的導(dǎo)數(shù)。sin x解：y=(In x)sin x -In x(sin x)1sin x -ln xcosx .,xsin x - xln xcosx一 2si

9、n x.2sin x.2xsin x解:ytan- 22 x11sec =22xx2 sin - cos221sin x3 .求函數(shù)y=x ex cosx的導(dǎo)數(shù)。解：y =ex cosx +xex cosx _xex sin x = ex（cosx + xcosx _ xsin x） o24 .求方程y=x =2sin xcosxcos2x-2sin xsin 2x = 2sin x(cosxcos2x -sin xsin x2x) = 2sin xcos3x。 x .求函數(shù)y=lntan的導(dǎo)致。2在點（3,9）處的切線方程。22解：曲線y=x在點（3,9）處的切線的斜率為 y=x在點（3,9

10、）處的導(dǎo)數(shù)因為ylxg = 2x|x = 6,所以切線的方程為y -9 =6(x -3)即 6x -y -9 =025.求函數(shù)y=sin xcos2x的導(dǎo)致。2.2解：y= 2sin x(sin x)cos2x+sin x(-sin 2x) 2，一一 1，一7 .求函數(shù)y =n的導(dǎo)致。cos x H V-n4 .nsin x解:y = (cos x) = -ncos x(cosx) =n-cos x8 .利用對數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù) y = （cosx）s1nx的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取自然對數(shù)，得ln y = sin x ln cosx兩邊對x求導(dǎo)，得y-sin x=cosxln cosx sin xyco

11、sxy = y(cosxln cosx -sin xtan x) = (cosx)s1nx(cosxln cosx - sin xtan x)。9 .利用對數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)y = (sin x)1nx的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取自然對數(shù)，得ln y = In xln sin x兩邊對x求導(dǎo)，得cosxx sin xy 1,.,一 =-1n sin x 1ny xIn sin x In xcot x = (sin x)1n x i 11n sin x In xcot x i x10 .求方程xy = yx所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 曳。 dx解：兩邊取自然對數(shù)，得yln x = xln y兩邊對x求導(dǎo)，得,1,

12、yyln x y = In y x dyodx整理，得 dy = y(x1ny-y) dx x(y In x - x)11 .求方程arctan = 1n xx+y2所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) x解：兩邊對x求導(dǎo)，得1/2匕x ,1yx -y1x2 y22x 2yy2,x2 y2整理,x-y12 .求方程xey = yex所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)蟲。dx解：兩邊對x求導(dǎo)，得y . y . x , x e xe y = ye yey_x整理，得曳:e _ye x y dx e -xe13 .己知函數(shù)丫=*3、，求丫(。解：因為 y= ex + xex =ex(x+1),y = ex(x +1) +ex =

13、ex(x +2), y = ex(x +2) +ex =ex(x +3),所以， y(n) = ex(x n)14 .已知 y(n/)=-x-,求ln x(n)y 。解:1 ln x x x 2 ln xIn x -12In x2八八1一 ln x -(ln x -1)2In x -、,(n) xx 2 -1nxy =；-4二ln xx ln x15 .求函數(shù)y =arcsin 和e 2, +如兩個子區(qū)間。列表1由表可知：當x = e 2時，函數(shù)有極小值x-1、0, e 2 )1 e-1、e 2,十妙I(lǐng))2lnx+1-0+f(x)-0+f(x)極小值1-2e11-2 = - x- 2e2424

14、 .求函數(shù)y=2x -x的極值點和極值。解：令 y= 4x -4x3 =4x(1 - x2) =4x(1 - x)(1 +x) = 0 ,解得 x = 0和 x = 1。駐點 x = 0和 x = 1把函數(shù)的定義域(-,+叫分成(-, 1), (1,0), (0,1)和(1,+笛)四個子區(qū)間。列表x(-00, -1)-1(-1,0)0(0,1)1(1, 十 七)1 +x-0+x-0+1 -x+0-f(x)+0-0+0-f(x)極大值1極小值0極大值1由表可知：當x=0時，函數(shù)有極小值 y = 0；當x = 1時，函數(shù)有極大值 y=1。25 .求函數(shù)f (x) = x-ln(1+x)的單調(diào)區(qū)間與

15、極值解：f (x) = x Tn(1 x) x (-1，二)1.一f (x) =1 由 f (x)=0 ,知x=01 xx(-1,0)0(0,0)y0+y0二f(x)的單調(diào)下降區(qū)間為(-1,0),上升區(qū)間為(0,y)f(x)的極小值f(0)=026若f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證 f(x)是偶函數(shù)。證：因f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，知f(_x) = _f(x),求導(dǎo)，有_ f (_x) = _ f(x),所以f ( x) = f (x),即f (x)是偶函數(shù)。H227 .驗證Lagrange 中值te理對函數(shù) y =ax +bx +c (a 0)所求得的點 三恒在正中間。2解：函數(shù)y =ax +bx

16、+c(a=0)在任意一個區(qū)間m,n上連續(xù)，在(m,n)內(nèi)可導(dǎo)，因此在(m,n)內(nèi)至少存在一點 E使f ( ) _ f (n) - f (m)n - m由已知條件：22f (n) - f (m)=(an bn c) (am bm c)二(n m)a(n m) bf (n) - f (m)二 a(n m) bn - mf( ) =2a b于是即28.求曲線解：2a b=a(m n) b.二圣2y=6x24x2十x4的凹凸區(qū)間和拐點y = 6x - 24x2 x4 x Ry = 6 - 48x 4x322.y =-48+12x =12(x -4)由 y =0知乂 =工2x(-00, -2)-2(-2

17、,2)2(2尸)y+0-0+yU-92n-68U所以曲線f(x )的凹區(qū)間(-2)(2,+“)所以曲線f(x )的凸區(qū)間(2,2) 拐點(2,29) -68).x .、29.求曲線y=xe 的凹凸區(qū)間和拐點解：y： =e* -xey = -e- -e- xe-所以 y = e”(x2)由于 y“ = 0x = 2x(-叫2)2(2,z)FF y-0+yn2eU所以曲線f (x )的凹區(qū)間(2,十無)所以曲線f(x )的凸區(qū)間(-,2) 拐點(2,2eN)30 .求曲線y =x4 -4x3 +2x -5的凹凸區(qū)間和拐點解： y =4x3 -12x2 12y =12x2-24x由 y* =12x(

18、x 2 )=0知：x1 =0 x2 =2x(-0,0)0(0,2)2收)y+0-0+yu-5n-17U所以曲線f(x )的凹區(qū)間(叼0)收)所以曲線f(x )的凸區(qū)間(0,2)拐點(0,5)(2-17)31 .求函數(shù)y = - x3 - x2 +4x在區(qū)間-1 , 2上的最值。 32解 y = x2 - 5x 4 = (x - 1)(x -4)令y = 0,求得區(qū)間-1, 2上的駐點x = 1。4111211一 ，一.因為f(-1)=-41, f=二f(2)=2 ,所以函數(shù)的最大值為f(1)=,最小值為 66364132.設(shè)有一根長為L的鐵絲，現(xiàn)將其分為兩段，分別構(gòu)造成圓形和正方形。若記圓形的

19、面積為S1,正方形Si 二的面積為S2 ,求證：當S1 + S2最小時， =一。S24證： 設(shè)圓的半徑為x,正方形的邊長為y 0由已知2nx+4y = L 所以丫 =匕_*。因此42222f (x) = S1 S2 = x y - xf (x) =2ji +ji一 L42 二 Lx W16,(0xL)令f (x) =0得唯一駐點這時，S2y233.某窗戶的形狀為半圓置于矩形之上, 試所能通過的光線是充足的。若此窗框的周長為一定值L,試確定半圓的半徑r和矩形的高h,解：設(shè)半圓的半徑為 r,矩形的高為L -二r 2r 2h, L -二r -2r.h =h,則由題意，得12二一二r(L2一耽一2r)r=Lr -1二r22-2r2令 s = L nr - 4r = 0/曰L仔r