解析Monte-Carlo算法(基本原理,理論基礎(chǔ),應(yīng)用實(shí)踐)

1、解析Monte-Carlo算法(基本原理,理論基礎(chǔ),應(yīng)用實(shí)踐)2009-05-29 00:17 by EricZhang(T2噬菌體), 6109 visits, 網(wǎng)摘, 收藏, 編輯 引言      最近在和同學(xué)討論研究Six Sigma（六西格瑪）軟件開(kāi)發(fā)方法及CMMI相關(guān)問(wèn)題時(shí)，遇到了需要使用Monte-Carlo算法模擬分布未知的多元一次概率密度分布問(wèn)題。于是花了幾天時(shí)間，通過(guò)查詢相關(guān)文獻(xiàn)資料，深入研究了一下Monte-Carlo算法，并以實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行了一些實(shí)驗(yàn)。      在研究

2、和實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)Monte-Carlo算法是一個(gè)非常有用的算法，在許多實(shí)際問(wèn)題中，都有用武之地。目前，這個(gè)算法已經(jīng)在金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算科學(xué)及計(jì)算機(jī)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。而且這個(gè)算法本身并不復(fù)雜，只要掌握概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，就可以學(xué)會(huì)并加以應(yīng)用。由于這種算法與傳統(tǒng)的確定性算法在解決問(wèn)題的思路方面截然不同，作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)相關(guān)人員以及程序員，掌握此算法，可以開(kāi)闊思維，為解決問(wèn)題增加一條新的思路。      基于以上原因，我有了寫(xiě)這篇文章的打算，一是回顧總結(jié)這幾天的研究和實(shí)驗(yàn)，加深印象，二是和朋友們分享此算法以及我的

3、一些經(jīng)驗(yàn)。      這篇文章將首先從直觀的角度，介紹Monte-Carlo算法，然后介紹算法基本原理及數(shù)理基礎(chǔ)，最后將會(huì)和大家分享幾個(gè)基于Monte-Carlo方法的有意思的實(shí)驗(yàn)。所以程序?qū)⑹褂肅#實(shí)現(xiàn)。      閱讀本文需要有一些概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、微積分和計(jì)算復(fù)雜性的基本知識(shí)，不過(guò)不用太擔(dān)心，我將盡量避免過(guò)多的數(shù)學(xué)描述，并在適當(dāng)?shù)牡胤綄?duì)于用到的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)要的說(shuō)明。Monte-Carlo算法引導(dǎo)      首先，我們來(lái)看一個(gè)有意思的問(wèn)題：

4、在一個(gè)1平方米的正方形木板上，隨意畫(huà)一個(gè)圈，求這個(gè)圈的面積。      我們知道，如果圓圈是標(biāo)準(zhǔn)的，我們可以通過(guò)測(cè)量半徑r，然后用 S = pi * r2 來(lái)求出面積?？墒牵覀儺?huà)的圈一般是不標(biāo)準(zhǔn)的，有時(shí)還特別不規(guī)則，如下圖是我畫(huà)的巨難看的圓圈。圖1、不規(guī)則圓圈      顯然，這個(gè)圖形不太可能有面積公式可以套用，也不太可能用解析的方法給出準(zhǔn)確解。不過(guò)，我們可以用如下方法求這個(gè)圖形的面積：      假設(shè)我手里有一支飛鏢，我將飛鏢擲向木板。并且，

5、我們假定每一次都能擲在木板上，不會(huì)偏出木板，但每一次擲在木板的什么地方，是完全隨機(jī)的。即，每一次擲飛鏢，飛鏢扎進(jìn)木板的任何一點(diǎn)的概率的相等的。這樣，我們投擲多次，例如100次，然后我們統(tǒng)計(jì)這100次中，扎入不規(guī)則圖形內(nèi)部的次數(shù)，假設(shè)為k，那么，我們就可以用 k/100 * 1 近似估計(jì)不規(guī)則圖形的面積，例如100次有32次擲入圖形內(nèi)，我們就可以估計(jì)圖形的面積為0.32平方米。      以上這個(gè)過(guò)程，就是Monte-Carlo算法直觀應(yīng)用例子。      非形式化地說(shuō)，Monte-Carlo算法

6、泛指一類算法。在這些算法中，要求解的問(wèn)題是某隨機(jī)事件的概率或某隨機(jī)變量的期望。這時(shí)，通過(guò)“實(shí)驗(yàn)”方法，用頻率代替概率或得到隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，以此作為問(wèn)題的解。      上述問(wèn)題中，如果將“投擲一次飛鏢并擲入不規(guī)則圖形內(nèi)部”作為事件，那么圖形的面積在數(shù)學(xué)上等價(jià)于這個(gè)事件發(fā)生的概率（稍后證明），為了估計(jì)這個(gè)概率，我們用多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的方法，得到事件發(fā)生的頻率 k/100 ，以此頻率估計(jì)概率，從而得到問(wèn)題的解。      從上述可以看出，Monte-Carlo算法區(qū)別于確定性算法，它的解不一定是

7、準(zhǔn)確或正確的，其準(zhǔn)確或正確性依賴于概率和統(tǒng)計(jì)，但在某些問(wèn)題上，當(dāng)重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可以從很大概率上（這個(gè)概率是可以在數(shù)學(xué)上證明的，但依賴于具體問(wèn)題）確保解的準(zhǔn)確或正確性，所以，我們可以根據(jù)具體的概率分析，設(shè)定實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，從而將誤差或錯(cuò)誤率降到一個(gè)可容忍的程度。      上述問(wèn)題中，設(shè)總面積為S，不規(guī)則圖形面積為s，共投擲n次，其中擲在不規(guī)則圖形內(nèi)部的次數(shù)為k。根據(jù)伯努利大數(shù)定理，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增多時(shí)，k/n依概率收斂于事件的概率s/S。下面給出嚴(yán)格證明：      上述證明從數(shù)學(xué)上說(shuō)明用頻率估

8、計(jì)不規(guī)則圖形面積的合理性，進(jìn)一步可以給出誤差分析，從而選擇合適的實(shí)驗(yàn)次數(shù)n，以將誤差控制在可以容忍的范圍內(nèi)，此處從略。      從上面的分析可以看出，Monte-Carlo算法雖然不能保證解一定是準(zhǔn)確和正確，但并不是“撞大運(yùn)”，其正確性和準(zhǔn)確性依賴概率論，有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并且通過(guò)數(shù)學(xué)分析手段對(duì)實(shí)驗(yàn)加以控制，可以將誤差和錯(cuò)誤率降至可容忍范圍。Monte-Carlo算法的數(shù)理基礎(chǔ)      這一節(jié)討論Monte-Carlo算法的數(shù)理基礎(chǔ)。     

9、; 首先給出三個(gè)定義：優(yōu)勢(shì)，一致，偏真。這三個(gè)定義在后面會(huì)經(jīng)常用到。      1) 設(shè)p為一個(gè)實(shí)數(shù)，且0.5<p<1。如果一個(gè)Monte-Carlo方法對(duì)問(wèn)題任一實(shí)例的得到正確解的概率不小于p，則該算法是p正確的，且p-0.5叫做此算法的優(yōu)勢(shì)。      2) 如果對(duì)于同一實(shí)例，某Monte-Carlo算法不會(huì)給出不同的解，則認(rèn)為該算法時(shí)一致的。      3) 如果某個(gè)解判定問(wèn)題的Monte-Carlo算法，當(dāng)返回true時(shí)是一定

10、正確的。則這個(gè)算法時(shí)偏真的。注意，這里沒(méi)有定義“偏假”，因?yàn)椤捌佟焙推媸堑葍r(jià)的。因?yàn)橹灰Q算法返回的true和false，“偏假”就變成偏真了。      下面，我們討論Monte-Carlo算法的可靠性和誤差分析。      總體來(lái)說(shuō)，適用于Monte-Carlo算法的問(wèn)題，比較常見(jiàn)的有兩類。一類是問(wèn)題的解等價(jià)于某事件概率，如上述求不規(guī)則圖形面積的問(wèn)題；另一類是判定問(wèn)題，即判定某個(gè)命題是否為真，如主元素存在性判定和素?cái)?shù)測(cè)試問(wèn)題。     

11、 先來(lái)分析第一類。對(duì)于這類問(wèn)題，通常的方法是通過(guò)大量重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率。之所以能這樣做的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是伯努利大數(shù)法則：事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率p。這個(gè)法則從數(shù)學(xué)生嚴(yán)格描述了頻率的穩(wěn)定性，直觀意義就是當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率與概率偏差很大的概率非常小。此類問(wèn)題的誤差分析比較繁雜，此處從略。有興趣的朋友可以參考相關(guān)資料。      接著，我們分析第二類問(wèn)題。這里，我們只關(guān)心一致且偏真的判定問(wèn)題。下面給出這類問(wèn)題的正確率分析：      由以上分析可以看到，對(duì)于一致偏真的Mo

12、nte-Carlo算法，即使調(diào)用一次得到正確解的概率非常小，通過(guò)多次調(diào)用，其正確率會(huì)迅速提高，得到的結(jié)果非?？煽?。例如，對(duì)一個(gè)q為0.5的問(wèn)題，假設(shè)p僅為0.01，通過(guò)調(diào)用1000次，其正確率約為0.9999784，幾乎可以認(rèn)為是絕對(duì)準(zhǔn)確的。重要的是，使用Monte-Carlo算法解判定問(wèn)題，其正確率不隨問(wèn)題規(guī)模而改變，這就使得僅需要損失微乎其微的正確性，就可以將算法復(fù)雜度降低一個(gè)數(shù)量級(jí)，在后面中可以看到具體的例子。應(yīng)用實(shí)例一：使用Monte-Carlo算法計(jì)算定積分      計(jì)算定積分是金融、經(jīng)濟(jì)、工程等領(lǐng)域?qū)嵺`中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。通常，計(jì)算

13、定積分的經(jīng)典方法是使用Newton-Leibniz公式：      這個(gè)公式雖然能方便計(jì)算出定積分的精確值，但是有一個(gè)局限就是要首先通過(guò)不定積分得到被積函數(shù)的原函數(shù)。有的時(shí)候，求原函數(shù)是非常困難的，而有的函數(shù)，如f(x) = (sinx)/x，已經(jīng)被證明不存在初等原函數(shù)，這樣，就無(wú)法用Newton-Leibniz公式，只能另想辦法。      下面就以f(x) = (sinx)/x為例介紹使用Monte-Carlo算法計(jì)算定積分的方法。首先需要聲明，f(x) = (sinx)/x在整個(gè)實(shí)數(shù)域是可

14、積的，但不連續(xù)，在x = 0這一點(diǎn)沒(méi)有定義。但是，當(dāng)x趨近于0其左右極限都是1。為了嚴(yán)格起見(jiàn)，我們補(bǔ)充定義當(dāng)x = 0時(shí)f(x) = 1。另外為了需要，這里不加證明地給出f(x)的一些性質(zhì)：補(bǔ)充x = 0定義后，f(x)在負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮上連續(xù)、可積，并且有界，其界為1，即|f(x)| <= 1，當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時(shí)f(x) = 1。      下面開(kāi)始介紹Monte-Carlo積分法。為了便于比較，在本節(jié)我們除了介紹使用Monte-Carlo方法計(jì)算定積分外，同時(shí)也探討和實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算中常用的插值積分法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)對(duì)兩者的效率和精確

15、性進(jìn)行比較。1、插值積分法      我們知道，對(duì)于連續(xù)可積函數(shù)，定積分的直觀意義就是函數(shù)曲線與x軸圍成的圖形中，y>0的面積減掉y<0的面積。那么一種直觀的數(shù)值積分方法是通過(guò)插值方法，其中最簡(jiǎn)單的是梯形法則：用以f(a)和f(b)為底，x軸和f(a)、f(b)連線為腰組成的梯形面積來(lái)近似估計(jì)積分。如下圖所示。圖2、梯形插值      如圖2所示，藍(lán)色部分是x1到x2積分的精確面積，而在梯形插值中，用橙色框所示的梯形面積近似估計(jì)積分值。    

16、  顯然，梯形法則的效果一般，而且某些情況下偏差很大，于是，有人提出了一種改進(jìn)的方法：首先將積分區(qū)間分段，然后對(duì)每段計(jì)算梯形插值再加起來(lái)，這樣精度就大大提高了。并且分段越多，精度越高。這就是復(fù)化梯形法則。      除了梯形插值外，還有許多插值積分法，比較常見(jiàn)的有Sinpson法則，當(dāng)然對(duì)應(yīng)的也有復(fù)化Sinpson法則。下面給出四種插值積分的公式：      下面是四種插值積分法的程序代碼，用C#編寫(xiě)。view source print?01using System; 02using

17、System.Collections.Generic; 03using System.Linq; 04using System.Text; 05   06namespace MonteCarlo.Integration 07 08    / <summary> 09    / 數(shù)值法求積分 10    / 被積函數(shù)為 f(x) = (sin x)/x 11    / </summary&g

18、t; 12    public class NumericalIntegrator 13     14        / <summary> 15        / 梯形法則求積分 16        / 積分公式為：(b - a) / 2) * f(a) + f(b

19、) 17        / </summary> 18        / <param name="a">積分下限</param> 19        / <param name="b">積分上限</param> 20   

20、60;    / <returns>積分值</returns> 21        public static double TrapezoidalIntegrate(double a, double b) 22         23            

21、;return (b - a) / 2) * (Math.Sin(a) / a + Math.Sin(b) / b); 24         25   26        / <summary> 27        / 復(fù)化梯形法則求積分 28      &

22、#160; / 積分公式為：累加(xi - xi-1) / 2) * f(xi) + f(xi-1)  (i=1,2,.,n) 29        / </summary> 30        / <param name="a">積分下限</param> 31        / &l

23、t;param name="b">積分上限</param> 32        / <param name="n">分段數(shù)量</param> 33        / <returns>積分值</returns> 34        public stat

24、ic double ComplexTrapezoidalIntegrate(double a, double b, int n) 35         36            double result = 0; 37            for (int i = 0; i

25、 < n; i+) 38             39                double xa = a + i * (b - a) / n;/區(qū)間積分下限 40            

26、    double xb = xa + (b - a) / n;/區(qū)間積分上限 41   42                result += (xb - xa) / 2) * (Math.Sin(xa) / xa + Math.Sin(xb) / xb); 43        

27、60;    44   45            return result; 46         47   48        / <summary> 49    

28、0;   / Sinpson法則求積分 50        / 積分公式為：(b - a) / 6) * f(a) + 4 * f(a + b) / 2) + f(b) 51        / </summary> 52        / <param name="a">積分下限<

29、;/param> 53        / <param name="b">積分上限</param> 54        / <returns>積分值</returns> 55        public static double SinpsonIntegrate(double a,

30、double b) 56         57            return (b - a) / 6) * (Math.Sin(a) / a + 4 * (Math.Sin(a + b) / (2 * (a + b) + Math.Sin(b) / b); 58         59  

31、60;60        / <summary> 61        / 復(fù)化Sinpson法則求積分 62        / 積分公式為：累加(h / 3) * f(x2i-2) + 4*(f(x2i-1) + f(x2i)  (i=1,2,.,n/2 h = (b - a) / n) 63   

32、0;    / </summary> 64        / <param name="a">積分下限</param> 65        / <param name="b">積分上限</param> 66        

33、;/ <param name="n">分段數(shù)量(必須為偶數(shù))</param> 67        / <returns>積分值</returns> 68        public static double ComplexSinpsonIntegrate(double a, double b, int n) 69    

34、0;    70            double result = 0; 71            for (int i = 0; i < n / 2 - 1; i+) 72            

35、 73                double xa = a + 2 * i * (b - a) / n;/區(qū)間積分下限 74                double xb = xa + (b - a) / n;/區(qū)間積分限中點(diǎn) 75   &

36、#160;            double xc = xb + (b - a) / n;/區(qū)間積分上限 76                result += (b - a) / (3 * n) * (Math.Sin(xa) / xa + 4 * (Math.Sin(xb) / xb) + Math.Sin(xc

37、) / xc); 77             78   79            return result; 80         81     822、Monte-Carlo積分法  

38、;    我們知道，求定積分的直觀意義就是求面積，所以，用Monte-Carlo求積分的原理就是通過(guò)模擬統(tǒng)計(jì)方法求解面積。即通過(guò)向特定區(qū)域隨機(jī)產(chǎn)生大量點(diǎn)，然后統(tǒng)計(jì)點(diǎn)落在函數(shù)區(qū)域內(nèi)的頻率，以此頻率估計(jì)面積，從而得到積分值。下面給出Monte-Carlo求取積分的算法程序。view source print?01using System; 02using System.Collections.Generic; 03using System.Linq; 04using System.Text; 05   06namespace MonteC

39、arlo.Integration 07 08    / <summary> 09    / Monte-Carlo法求積分 10    / 被積函數(shù)為 f(x) = (sin x)/x 11    / </summary> 12    public class MonteCarloIntegrator 13     14 &

40、#160;      / <summary> 15        / 用Monte-Carlo法求解積分值 16        / </summary> 17        / <param name="a">積分下限</param>

41、; 18        / <param name="b">積分上限</param> 19        / <param name="N">模擬次數(shù)</param> 20        / <returns>積分值</returns> 21

42、60;       public static double MonteCarloIntegrate(int a, int b, int N) 22         23            Random random = new Random(); 24      

43、      int positivePointCount = 0;/y >=0 區(qū)間內(nèi)落入函數(shù)曲線內(nèi)的點(diǎn)數(shù)目 25            int negativePointCount = 0;/y < 0區(qū)間內(nèi)落入函數(shù)曲線內(nèi)的點(diǎn)數(shù)目 26   27           

44、; /統(tǒng)計(jì)y >= 0區(qū)間點(diǎn)分布 28            for (int i = 0; i < N; i+) 29             30               

45、0;double xCoordinate = random.NextDouble();/隨機(jī)產(chǎn)生的x坐標(biāo) 31                double yCoordinate = random.NextDouble();/隨機(jī)產(chǎn)生的y坐標(biāo) 32                

46、xCoordinate = a + (b - a) * xCoordinate;/將x規(guī)格化到相應(yīng)積分區(qū)間 33                /yCoordinate = 1 * yCoordinate;/將y規(guī)格化到相應(yīng)區(qū)間 34                if (Mat

47、h.Sin(xCoordinate) / xCoordinate >= yCoordinate) 35                 36                    positivePointCount+; 37

48、0;                38             39   40            /統(tǒng)計(jì)y < 0區(qū)間點(diǎn)分布 41   &

49、#160;        for (int i = 0; i < N; i+) 42             43                double xCoordinate = random.NextDouble();/隨機(jī)

50、產(chǎn)生的x坐標(biāo) 44                double yCoordinate = random.NextDouble();/隨機(jī)產(chǎn)生的y坐標(biāo) 45                xCoordinate = a + (b - a) * xCoordinate;/將x規(guī)格化

51、到相應(yīng)積分區(qū)間 46                yCoordinate = -1 * yCoordinate;/將y規(guī)格化到相應(yīng)區(qū)間 47                if (Math.Sin(xCoordinate) / xCoordinate <= yCoordi

52、nate) 48                 49                    negativePointCount+; 50        &#

53、160;        51             52   53            double positiveFrequency = (double)positivePointCount / (double)N;/y >= 0區(qū)間內(nèi)函數(shù)內(nèi)點(diǎn)頻

54、率 54            double negativeFrequency = (double)negativePointCount / (double)N;/y < 0區(qū)間內(nèi)函數(shù)內(nèi)點(diǎn)頻率 55   56            return (positiveFrequency - negativeFrequency

55、) * (double)(b - a); 57         58     593、積分法的測(cè)試與比較      下面對(duì)各種積分方法進(jìn)行測(cè)試，對(duì)sinx/x在1,2區(qū)間上進(jìn)行定積分。其中，我們分別對(duì)復(fù)化梯形和復(fù)化Sinpson法則做分段為10，10000，和10000000的積分測(cè)試。另外，對(duì)Monte-Carlo法也投點(diǎn)數(shù)也分為10，10000，和10000000。測(cè)試結(jié)果如下：圖3、積分法測(cè)試結(jié)果  

56、    為了分析偏差，我們必須給出一個(gè)精確值。但是現(xiàn)在我手頭沒(méi)有這個(gè)積分的精確值，不過(guò)1000萬(wàn)次的梯形法則和Sinpson法則已經(jīng)精確度很高了，所以這里就以0.65932985作為基本，進(jìn)行誤差分析。下面給出分析結(jié)果：表1、積分方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果      首先看時(shí)間效率。當(dāng)頻度較低時(shí)，各種方法沒(méi)有太多差別，但在1000萬(wàn)級(jí)別上復(fù)化梯形和復(fù)化Sinpson相差不大，而Monte-Carlo算法的效率快一倍。      而從準(zhǔn)確率分析，當(dāng)頻度較低時(shí)，幾種方法的誤差都很大，

57、而隨著頻度提高，插值法要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于Monte-Carlo算法，特別在1000萬(wàn)級(jí)別時(shí)，Monte-Carlo法的相對(duì)誤差是插值法的的近萬(wàn)倍?？傮w來(lái)說(shuō)，在數(shù)值積分方面，Monte-Carlo方法效率高，但準(zhǔn)確率不如插值法。應(yīng)用實(shí)例二：在O(n)復(fù)雜度內(nèi)判定主元素      這次，我們看一個(gè)判定問(wèn)題。問(wèn)題是這樣的：在一個(gè)長(zhǎng)度為n的數(shù)組中，如果有超過(guò)n/2的元素具有相同的值，那么具有這個(gè)值的元素叫做數(shù)組的主元素?，F(xiàn)在要求給出一種算法，在O(n)時(shí)間內(nèi)判定給定數(shù)組是否存在主元素。      如果采用確定性

58、算法，由于最壞情況下要搜索n/2次，而每次要比較的次數(shù)為O(n)量級(jí)，這樣，算法的復(fù)雜度就是O(n2)，不可能在O(n)時(shí)間內(nèi)完成。所以我們只好換一種思路：不是要一個(gè)一定正確的結(jié)果，而只需要結(jié)果在很大概率上正確就行。我們可以這樣做：圖4、Monte-Carlo法判定主元素      上述算法，就是用Monte-Carlo思想求解主元素判定問(wèn)題的過(guò)程。由于閾值N是一個(gè)給定的常數(shù)，不隨規(guī)模變化而變化，所以這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，符合題設(shè)要求。但這個(gè)算法給出的解并不是100%正確的，正確率和N有關(guān)。N設(shè)得過(guò)大，影響效率，N太小，正確率太低，那

59、么到底N設(shè)多大合適呢。這就要對(duì)算法進(jìn)行概率分析。      首先，這個(gè)算法是一致且偏真的，證明很簡(jiǎn)單，這里從略。所以，如果數(shù)組中不存在主元素，則結(jié)果一定正確，而如果存在，調(diào)用一次得到正確結(jié)果的概率不低于1/2。由于偏真，在N次調(diào)用中只要返回一次True，就可以認(rèn)為得到正確結(jié)果，所以，調(diào)用N此得到正確結(jié)果的概率不低于1 (1/2)N，可以看到，隨著N的增大，這個(gè)概率增加很快，只要調(diào)用10次，正確率就可以達(dá)到99.9%，重要的是，這個(gè)正確率和規(guī)模無(wú)關(guān)，即使數(shù)組的元素有1千萬(wàn)億，只需調(diào)用10次，正確率依然是99.9%，這就體現(xiàn)出在數(shù)組很大時(shí)，Mont

60、e-Carlo方法的優(yōu)勢(shì)。      下面是使用Monte-Carlo算法進(jìn)行主元素測(cè)試的C#程序示例。view source print?01using System; 02using System.Collections.Generic; 03using System.Linq; 04using System.Text; 05   06namespace MonteCarlo.Detection 07 08    public class PrincipalElement

61、Detector 09     10        / <summary> 11        / 使用Monte-Carlo發(fā)探測(cè)主元素 12        / </summary> 13        / <

62、;param name="elements">所有元素</param> 14        / <param name="N">閾值</param> 15        / <returns>是否存在主元素</returns> 16        pub

63、lic static bool DetectPrincipalElement(IList<int> elements,int N) 17         18            Random random = new Random(); 19            

64、;bool result = false; 20            for (int i = 0; i <= N; i+) 21             22                

65、int index = random.Next(0, elements.Count - 1); 23                int element = elementsindex; 24                int count = 0; 25 

66、0;              for (int j = 0; j < elements.Count; j+) 26                 27           

67、0;        if (element = elementsj) 28                     29                

68、0;       count+; 30                     31                 32    

69、            if (count >= elements.Count / 2) 33                 34               &

70、#160;    result = true; 35                    break; 36                 37    &#

71、160;        38   39            return result; 40         41     42      程序很簡(jiǎn)單，不做贅述。下面測(cè)試這個(gè)算法。我們分別將閾值設(shè)為1、3、10，并且

72、在每個(gè)閾值下測(cè)試100次，看看這個(gè)算法的準(zhǔn)確率如何。測(cè)試數(shù)組是 4, 5, 8, 1, 8, 4, 9, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 7, 8, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 9, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 4, 7, 8, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2 ，其中存在主元素2。下面是測(cè)試結(jié)果：圖5、Monte-Carlo算法判定主元素實(shí)驗(yàn)結(jié)果      測(cè)試數(shù)組有49個(gè)元素，主元素2有29個(gè)，比率為59%。從測(cè)試結(jié)果可以看出，即使閾值為1，正確率也

73、高達(dá)84%，而僅僅為3的閾值就使正確率升高到98%，閾值為10時(shí)，100次測(cè)試全部正確。雖然理論上來(lái)說(shuō)，閾值為10時(shí)有0.4110=0.013%的概率給出錯(cuò)誤判斷，但是筆者多次試驗(yàn)，還沒(méi)有在閾值為10時(shí)得到錯(cuò)誤結(jié)果。所以，Monte-Carlo方法求解判定問(wèn)題，不論從理論上還是實(shí)踐中，都是不錯(cuò)的方法。      另外一個(gè)與判定主元素類似的應(yīng)用是素?cái)?shù)判定問(wèn)題，我們知道，對(duì)于尋找上百位的大素?cái)?shù)，完全測(cè)試在時(shí)間效率上時(shí)不允許的。于是，結(jié)合費(fèi)馬小定理使用Monte-Carlo法進(jìn)行素?cái)?shù)判定，是廣泛使用的方法。具體這里不再詳述，感興趣的朋友可以參考相關(guān)資

74、料。應(yīng)用實(shí)例三：分布未知的概率密度函數(shù)模擬      現(xiàn)在我們來(lái)看看Monte-Carlo算法的第三種應(yīng)用：模擬。在這種應(yīng)用中，不再是用Monte-Carlo算法求解問(wèn)題，而是用來(lái)模擬難以解析描述的東西。問(wèn)題是這樣的：      這個(gè)問(wèn)題是實(shí)驗(yàn)室一個(gè)師兄在開(kāi)發(fā)Six Sigma軟件開(kāi)發(fā)過(guò)程管理工具時(shí)遇到的一個(gè)實(shí)際需求，最終Y的概率密度函數(shù)將被用來(lái)計(jì)算分位點(diǎn)，從而進(jìn)行過(guò)程控制。其中X可能是正態(tài)分布（高斯分布）、泊松分布、均勻分布或指數(shù)分布等。將多個(gè)不同分布的概率密度函數(shù)相加，得到的Y的分布式很難解

75、析表示出來(lái)的，但如果是為了計(jì)算分位點(diǎn)，我們可以采取這樣一個(gè)策略：對(duì)于每一個(gè)X，產(chǎn)生若干符合其分布的點(diǎn)，帶入公式就得到若干符合Y分布的點(diǎn)，然后分段計(jì)算頻率，從而模擬出Y的分布，這些模擬點(diǎn)也可以用于分位點(diǎn)計(jì)算。這就是Monte-Carlo模擬的思想。      下面我們實(shí)現(xiàn)這個(gè)算法，這里的X我們僅給出最常用的正態(tài)分布，如果要實(shí)現(xiàn)其他分布，只要編寫(xiě)相應(yīng)的隨機(jī)點(diǎn)發(fā)生器就可以了。由于C#中只能產(chǎn)生符合均勻分布的隨機(jī)數(shù)，所以我們需要一種算法，將均勻分布的隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)為正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。這種算法很多，Marc Brysbaert在1991年發(fā)表的Algorithm

76、s for randomness in the behavioral sciences: A tutorial一文中，共總結(jié)了5種將均勻分布隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)為正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)的算法，這里筆者用到的是Knuth在1981年提出的一種算法。這個(gè)算法是將符合u(0,1)均勻分布的隨機(jī)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為符合N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)點(diǎn)p，由概率知識(shí)可知，要轉(zhuǎn)為符合N(e,v)的一般正態(tài)分布，只需進(jìn)行p*v+e即可。下面是這個(gè)算法：      下面是根據(jù)這個(gè)算法，使用C#編寫(xiě)的正態(tài)分布隨機(jī)點(diǎn)發(fā)生器：view source print?01using System; 0

77、2using System.Collections.Generic; 03using System.Linq; 04using System.Text; 05   06namespace MonteCarlo.DistributingSimulation 07 08    public class NormalDistributingGenerator 09     10        / <summ

78、ary> 11        / 產(chǎn)生符合正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù) 12        / 正態(tài)分布的期望為expectation,方差為variance 13        / </summary> 14        / <param name="e

79、xpectation">期望</param> 15        / <param name="variance">方差</param> 16        / <param name="N">產(chǎn)生的數(shù)量</param> 17        /

80、 <returns>隨機(jī)數(shù)序列</returns> 18        public static IList<double> GenerateNDRNumber(double expectation, double variance, int N) 19         20          

81、60; Random random = new Random(); 21            IList<double> randomList = new List<double>(); 22            for (int i = 0; i < N; i+) 23   

82、0;         24                double u1, u2, v, z, a; 25                do26    &

83、#160;            27                    u1 = random.NextDouble(); 28             

84、       u2 = random.NextDouble(); 29                    v = 0.8578 * (2 * u2 - 1); 30             

85、60;      z = v / u1; 31                    a = 0.25 * Math.Exp(2); 32   33             

86、60;      if (a < 1 - u1) 34                     35                   

87、60;    break; 36                     37   38                 while (a > 0.295 / u1

88、 + 0.35 | a > -Math.Log(u1, Math.E); 39   40                randomList.Add(z * Math.Sqrt(variance) + expectation); 41             42 

89、0; 43            return randomList; 44         45     46      接著是利用這個(gè)正態(tài)分布發(fā)生器獲得X的隨機(jī)值，并計(jì)算出Y的隨機(jī)值的代碼。也就是Y的隨機(jī)點(diǎn)發(fā)生器：view source print?01using System; 02using Syst

90、em.Collections.Generic; 03using System.Linq; 04using System.Text; 05   06namespace MonteCarlo.DistributingSimulation 07 08    public class DistributingSimulator 09     10        / <summary> 11 &

91、#160;      / 模擬多個(gè)正態(tài)分布之和的分布情況，產(chǎn)生符合復(fù)合分布的隨機(jī)點(diǎn) 12        / y = a0 + a1*N(e1,v1) + . + an*N(en,vn) 13        / N(e,v)表示期望為e，方差為v的正態(tài)分布 14        / </summa

92、ry> 15        / <param name="a">常數(shù)列</param> 16        / <param name="e">期望列</param> 17        / <param name="v">方差列&l

93、t;/param> 18        / <param name="N">產(chǎn)生模擬點(diǎn)的個(gè)數(shù)</param> 19        / <returns>模擬點(diǎn)序列</returns> 20        public static IList<double> Simulate(IList<double> a,IList<double> e,IList<double> v,int N) 21         22          &#