第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、無(wú) 窮 級(jí) 數(shù)教學(xué)目的：1 .理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要 條件。2 .掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3 .掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。4 .掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。5 . 了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。6 . 了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7. 理解幕級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8. 了解幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分)， 會(huì)求一些幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求

2、出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。9. 了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。10 .掌握ex,sinx,cosx, ln(1+x)和(1十a(chǎn)產(chǎn)的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)。11 . 了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在-1 , 1上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在0, l上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)， 會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。教學(xué)重點(diǎn)：1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2 、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；3 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；4 、幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；_-JI J 產(chǎn).5 、ex ,s

3、in x,cos x , ln(1 + x)和(1 + a產(chǎn)的麥克勞林展開(kāi)式；6 、傅里葉級(jí)數(shù)。1'''. | ,教學(xué)難點(diǎn)：1、 比較判別法的極限形式；2、 萊布尼茨判別法；3、 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂；4、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)；5、 泰勒級(jí)數(shù)；6、 傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。§11? 1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?給定一個(gè)數(shù)列Ui ： U2 ： U3-Un :g則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式Ui ' U2 ' U3- Un'' '叫做常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)?簡(jiǎn)稱(chēng)常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)？記為三un ?即

4、AziO0、%=Ui U2 U3 Un：n 1其中第n項(xiàng)Un叫做級(jí)數(shù)的一股項(xiàng)?qQ=._ -級(jí)數(shù)的部分和?作級(jí)數(shù)工Un的前n項(xiàng)和 n 1稱(chēng)為級(jí)數(shù)£ Un的部分和？n 1廠一“：二：qQ級(jí)數(shù)斂散性定義?如果級(jí)數(shù)£ Un的部分和數(shù)列Sn有極限s ?即lim sn = s?nWnI g -,-q*1.,則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)£ua收斂？這時(shí)極限S叫做這級(jí)數(shù)的和？nV并寫(xiě)成O0S = " Un =U| ' U2 U3 '''''Un ：n 1 | ry <如果sn沒(méi)有極限?則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)三Un發(fā)散？ndoOoO余項(xiàng)？當(dāng)級(jí)

5、數(shù)£ Un收斂時(shí)？其部分和S n是級(jí)數(shù)Z Un的和S的近似值?它們之間的差值 nTn=1n , S ,Sn , Un 1 , Un 2 ,叫做級(jí)數(shù)三Un的余項(xiàng)？n 1例1討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）的斂散性？其中a?0? q叫做級(jí)數(shù)的公比？例1討論等比級(jí)數(shù) Jaqn(aW)的斂散性？nW)解如果q ?1?則部分和Sn ta aq aq2，aqn.二 a aq =a_aq-：1q1-q 1-qoO當(dāng)| q| ?1時(shí)？因?yàn)閘im?所以此時(shí)級(jí)數(shù) £ aqn收斂？具和為-a- ?n 吐 1-qn=o1-qqQ當(dāng)|q|>1時(shí)？因?yàn)閘imsn=g ?所以此時(shí)級(jí)數(shù)£aqn發(fā)散

6、？ n 'n =0qQ如果|q|則當(dāng)q?1時(shí)，？ Sn ?na?因此級(jí)數(shù)£aqn發(fā)散？ n=0qQ當(dāng)q?1時(shí)？級(jí)數(shù)£ aqn成為n =0 / :; 1f 廣a ：a ：a ：a ： 'I 1 . 'L 、時(shí)| q| ?1時(shí)，？因?yàn)镾n隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零？qQ所以Sn的極限不存在？從而這時(shí)級(jí)數(shù)£aqn也發(fā)散？n=0qQqQ綜上所述？如果| q| ?1?則級(jí)數(shù)Z aqn收斂？具和為-a- ?如果| q| ?1 ?則級(jí)數(shù)Z aqn發(fā)散？ n田1-qn田_-JI 匕/ 丁”，qQ僅當(dāng)| q| ?1時(shí)？幾何級(jí)數(shù)£ aqna?0)

7、收斂？具和為臺(tái)? n 斗1- q例2證明級(jí)數(shù)1：2 3二：二n：:是發(fā)散的：證此級(jí)數(shù)的部分和為sn=1 2 3n-nn” ：顯然？ lim Sn=8?因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的？ n 二例3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性：精心整理解由于un -n(n 1) n n 1 1因此)=1 :從而lim & = lim (1-n 廠:n_.：:所以這級(jí)數(shù)收斂？它的和是1?例3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)1的收斂性?n；n(n 1)解因?yàn)?(1段+岐-g)+耳)=1 :從而lim & = lim (1n )：:nc-;-所以這級(jí)數(shù)收斂？它的和是1?提示:Unn(n 1) n n 1、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)Z

8、un收斂于和S?則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù) k所得的級(jí)數(shù)Z kUn也收斂?且其和為ks :性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)Z un收斂于和S ?則級(jí)數(shù)Z kUn也收斂？且其和為ks?8oo性質(zhì)1如果£ un =s ?則£ kun =ks ?n 1n =1qQqQ?n?則這是因?yàn)?？設(shè):fun與£kUn的部分和分別為Snn=1n =1lim；=n=lim(ku1 ku2kUn)=klim(U1 U2Un) = klimsn=ks：n )： n n n 二qQ這表明級(jí)數(shù)Z kUn收斂?且和為ks ?n T性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)£un、三%分別收斂于和s、?則級(jí)數(shù)9(un±vn)

9、也收斂？且其和為s? n =1n=1n=1COooOO性質(zhì) 2 如果 £ un =s、£ vn =仃？則 £ (un±vn) =s±仃？n=1n =1n 1OQqQqq這是因?yàn)?？如?#163;un、Zvn、£ (un±vn)的部分和分別為Sn、？n、？n?則n 1 n 1 ndTim (與二;二 n) =s二二： n )性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)?不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性?比如？級(jí)數(shù)1 1 +二+ 1一 +是收斂的？1 2 2 3 34 n(n 1)級(jí)數(shù)10000+1+,+1一+也是收斂的？1 2 23 34 n(n

10、 1)級(jí)數(shù)。+，+1+也是收斂的？34 4 5 n(n 1)qQ性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)£ Un收斂？則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂？且其和不變？n=1應(yīng)注意的問(wèn)題?如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂？則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂?例如?級(jí)數(shù)1 力)+1 ?1) + ? ?叫攵斂于零？但級(jí)數(shù)1?1?1?1? ?。卻是發(fā)散的？推論？如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散？則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散？ 級(jí)數(shù)收斂的必要條件？ _-iI k/ .產(chǎn)，Q性質(zhì)5如果£un收斂？則它的一般項(xiàng)Un趨于零？即limun = 0?ndn >0oO性質(zhì)5如果Z un收斂？則lim un =0 ? ndn.

11、76;證 設(shè)級(jí)數(shù)Eun的部分和為sn?且lim sn = s?則nTn一二lim un = lim (務(wù)sn)=lim *一 lim sn=s s=0 :n；0 n n ：n，二n一應(yīng)注意的問(wèn)題？級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件？例4證明調(diào)和級(jí)數(shù)11 =1+1+1+ . 1- + 是發(fā)散的?n”2 3 n例4證明調(diào)和級(jí)數(shù) 三是發(fā)散的？n -1n證 假若級(jí)數(shù)占1收斂且其和為S? Sn是它的部分和？ n =1n顯然有 lim 4=s 及 lim s2n =s ?于是 lim (s2n -sn) = 0 ?n j 二二n )二二n >但另一方面：1111111、S2n -Sn2n n

12、 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2故lim (S2n-Sn)#0?矛盾？這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)工工必定發(fā)散?n，二n = n§11? 2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)？各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)？定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列Sn有界？n 1qQqQCQ定理2(比較審斂法)設(shè)£un和£vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)？且助加(口?1? 2? ? ? ? ) ?若級(jí)數(shù)£vn收 n 1 n 1n=1qQqQqQ斂？則級(jí)數(shù)Z Un收斂？反之？若級(jí)數(shù)Z Un發(fā)散？則級(jí)數(shù)£ Vn發(fā)散？% I : J .*11ndn1nd定理

13、2(比較審斂法)cOQO設(shè)£ un和Z Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)？且UnRn( k ?0? ?n?N) ? n 1n 1qQqQqQOQ若£Vn收斂？則£un收斂？若£ Un發(fā)散？則£ 片發(fā)散？nWn=1nTnT設(shè)？Un和Wn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)？且Un?kVn(k?0? ?n，時(shí)？若級(jí)數(shù)Wn收斂，？則級(jí)數(shù)？Un收斂，？反之？若級(jí)數(shù)?Un發(fā)散？則級(jí)數(shù)？Vn發(fā)散.？qQqQ證 設(shè)級(jí)數(shù)f Vn收斂于和？則級(jí)數(shù)f Un的部分和nWn4Sn ：U1 / ： ： ： ： ：Un 丫1 : V2 ： ： ： ： ：Vn ： ： ( n ：1,2,:：)：即部分和數(shù)列Sn有

14、界？由定理1知級(jí)數(shù)三Un收斂？n反之？設(shè)級(jí)數(shù)£ Un發(fā)散？則級(jí)數(shù)Vn Vn必發(fā)散?因?yàn)槿艏?jí)數(shù)n=1Vn Vn收斂?由上已證明的結(jié)論?將有級(jí)數(shù)Un Un也收斂?與假設(shè)矛盾?n=1n=1證僅就Un?Vn (n?1 ? 2 ? ? ? ?)情形證明?設(shè)級(jí)數(shù)Wn收斂？具和為?則級(jí)數(shù)？Un的部分和SnU ： U2： ： ： ： ： Un M：V2： ： ： ： ：Vn： ( n ：1,2,:)：即部分和數(shù)列Sn有界？因此級(jí)數(shù)？Un收斂？反之？設(shè)級(jí)數(shù) 心 發(fā)散？則級(jí)數(shù)？Vn必發(fā)散？因?yàn)槿艏?jí)數(shù)Wn收斂，？由上已證明的結(jié)論?級(jí)數(shù)？Un也收斂？與假設(shè)矛盾？推論設(shè)£ Un和£ Vn都

15、是正項(xiàng)級(jí)數(shù)?如果級(jí)數(shù)V： Vn收斂?且存在自然數(shù) N使當(dāng)n?N時(shí)有n =1n=1UnTkVn(kR)成立？則級(jí)數(shù)£ un收斂？如果級(jí)數(shù)£Vn發(fā)散？且當(dāng)n?N時(shí)有Un?kVn(k?0)成立？則級(jí)數(shù)n=1£ Un發(fā)散？n 1i , 例1討論p嗷數(shù)的收斂性?其中常數(shù)p?0?解設(shè)p，?1 ?這時(shí)1->1 np例1討論p呦數(shù)1 4r(p>0)的收斂性?nN np?而調(diào)和級(jí)數(shù)£ 1發(fā)散？由比較審斂法知？當(dāng)p?1時(shí)級(jí)數(shù)£發(fā)散？ n Wnn =1 n設(shè)p?1?此時(shí)有1npn_in1pdx-nnpnpf(n：2, 3,對(duì)于級(jí)數(shù)£ 焉-2?其

16、部分和n9(n-1嚴(yán) np-1Sn =1工-1;=1np< (n 1嚴(yán)(n 1)p因?yàn)?lim sn = lim 1 1-( =1 :n ： n n ： (n 1)p-1所以級(jí)數(shù)£ 一工收斂?從而根據(jù)比較審斂法的推論i可知？級(jí)數(shù)三當(dāng)p?i時(shí)收斂?n占(n1)pnpJn=i np綜上所述? p啾數(shù)£ 4當(dāng)p ?1時(shí)收斂?當(dāng)p ?1時(shí)發(fā)散？nd np解 當(dāng)p?1時(shí)？1之1 ?而調(diào)和級(jí)數(shù)去工發(fā)散?由比較審斂法知?np nn；n當(dāng)p?1時(shí)級(jí)數(shù)三發(fā)散？ns np當(dāng)p?1時(shí)？1 = n 1 dxE n 1 dx= 1 11,np nnp n,xp p -1 (n-1)p_1np，

17、(n：2, 3,:):而級(jí)數(shù)£ 二_$是收斂的？根據(jù)比較審斂法的推論可知n1(n-1)pnp-1qQ級(jí)數(shù)£，當(dāng)p?1時(shí)收斂？n, np提示?OQ級(jí)數(shù);1n 2(n-1)p1j的部分和為np 一sn.方力卡-3"- 昌飛7小=1年小 因?yàn)?lim sn = lim 1 二 =1'?n n (n 1產(chǎn)一p,啜數(shù)的收斂性？ p ,呦數(shù)14當(dāng)p?1時(shí)收斂?當(dāng)p?1時(shí)發(fā)散？nT np所以級(jí)數(shù)一 一Jn，(n-1)p-1卡收斂？qQ例2證明級(jí)數(shù)£ / 1 是發(fā)散的?nw 、n(n 1)證因?yàn)?-1l ：&l 1l ; Vn21 _ 1=?* n(n

18、1) . (n 1)2 n 1而級(jí)數(shù)1 1=+1+,.+是發(fā)散的?nn 1 2 3 n 1根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的：定理3(比較審斂法的極限形式)設(shè)2un和夏vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)?如果lim業(yè)萬(wàn)(0胃制)？n 1n=1n >:：vnqQqQ則級(jí)數(shù)£Un和級(jí)數(shù)£Vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散？n 1n定理3(比較審斂法的極限形式)設(shè)三Un和：F Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)？n 1nW/ 丁 產(chǎn):產(chǎn) 廠(1) 如果lim un=l (0 ?lk?) ?且級(jí)數(shù)£ Vn收斂？則級(jí)數(shù)Z Un收斂？n，二vnnWn=1 如果limun=l >0或limun = z ?且級(jí)數(shù)

19、克vn發(fā)散？則級(jí)數(shù)Sun發(fā)散？n，二Vnn >：:VnnVn=1定理3(比較審斂法的極限形式)；. ：1設(shè)?Un和？Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)？(1) 如果 lim(Un/ Vn)?l(0 ?l 您)？且?Vn收斂?則？Un 收斂？(2) 如果 lim(Un/ Vn)?l(0 ?l ?) ?且?Vn發(fā)散?貝1j ?Un 發(fā)散？證明 由極限的定義可知？對(duì)名-2l ?存在自然數(shù) N當(dāng)n'N時(shí)？有不等式即加 <Un<3lVn?再根據(jù)比較審斂法的推論1?即得所要證的結(jié)論？Q0例3判別級(jí)數(shù)£ sin1的收斂性？n 1 n.1sin二解因?yàn)閘im n =1"而級(jí)數(shù)上一發(fā)

20、散”n 1nnn精心整理根據(jù)比較審斂法的極限形式？級(jí)數(shù)£ sin1發(fā)散？ni nqQ例4判別級(jí)數(shù)f ln(1+4）的收斂性？ n1ln(1 -2)解因?yàn)閘im匚=1n )：:1n2?而級(jí)數(shù)f 4收斂？n zi nn=1根據(jù)比較審斂法的極限形式？級(jí)數(shù)工ln（1+2）收斂？ nJ n定理4（比值審斂法？達(dá)朗貝爾判別法）qQ若正項(xiàng)級(jí)數(shù)£Un的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于?n 1limn Un則當(dāng)？?1時(shí)級(jí)數(shù)收斂？當(dāng)？1（或lim u±=g ）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散？當(dāng)？1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散？ J' un定理4（比值審斂法？達(dá)朗貝爾判別法）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)玄un滿(mǎn)足lim u&

21、#177; = P?則當(dāng)？?1時(shí)級(jí)數(shù)收斂?ndf : Un當(dāng)？?1（或lim殳上=8）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散？當(dāng)？1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散？f UnoO定理4（比值審斂法?達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)工Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)?如果n 1lim 與=：f： Un則當(dāng)?shù)饡r(shí)級(jí)數(shù)收斂？當(dāng)？叫或nf時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散？當(dāng)？1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散？例5證明級(jí)數(shù)什丁考總十一+ * *1 2 3 (n -1)是收斂的：精心整理解因?yàn)?lim 汕=iim123 '(n-"lim#?n. un n ： 1 2 3 n n ：n根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂：例6判別級(jí)數(shù)。+粵+/+里+ .的收斂性？10 10210310nUn

22、 1. (n 1)! 10n. n 1 一、用牛 內(nèi)力 lim= lim -n-#= lim二如？n ：: Unn ：: 10 n ! n ：: 10根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散：qQ例7判別級(jí)數(shù)£1的收斂性？n ：(2n-1)2n解 limUn1 = lim (2n-1) 2n =1：n二 un n )：(2n 1) (2n 2)因?yàn)?1 ：二2(2n -1) 2n n2這時(shí)？?1?比值審斂法失效？必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性？?而級(jí)數(shù)z 4收斂？因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂 nW n2解因?yàn)樾?c 凸?而級(jí)數(shù):£ 4收斂？因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂(2n

23、-1) 2n n2 -n n2提示？ nl瑞二罌22(22；2尸?比值審斂法失效？因?yàn)橐?:二(2n -1) 2n n?而級(jí)數(shù)qQZ 4收斂？因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂nd n2精心整理定理5(根值審斂法？柯西判別法)qQ設(shè)£un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)?如果它的一般項(xiàng)Un的n次根的極限等于?n 1則當(dāng)？?1時(shí)級(jí)數(shù)收斂？當(dāng)？?1(或lim如n f)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散？當(dāng)？?1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散？ n 二'qQ若正項(xiàng)級(jí)數(shù)”Unn =1定理5(根值審斂法？柯西判別法)滿(mǎn)足lim n% = P ?則當(dāng)？?1時(shí)級(jí)數(shù)收斂?當(dāng)？叫或lim n/un=y)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散?當(dāng)?1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

24、n 7二定理5(根值審斂法？柯西判別法)qQ設(shè)£ Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)？如果n =1則當(dāng)？?1時(shí)級(jí)數(shù)收斂？當(dāng)？1(或lim £而；=收)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散？當(dāng)？?1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散？ n_,例8證明級(jí)數(shù)1 +1.1. 1 ,22 33nn是收斂的并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差？解 因?yàn)?lim n/U7= lim=lim 1=0 ?n)二' n ：: i. n n ：: n所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂：以這級(jí)數(shù)的部分和Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差為 k廣-廣I， 二1.1.11:,(n 1)n 1 (n 1)n 2 (n 1)n 3二 1、n(n

25、1)n例6判定級(jí)數(shù)£2+(n1)n 的收斂性？nV 2n解因?yàn)?#39;I 1、/lim n u lim 1 n，2 (-1)n -1 :ni nn-；.：22所以？根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂？定理6(極限審斂法)qQ設(shè)t un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)？n =1qQ(1) 如果 lim nun =l 0(或 lim nun =+°°) ?則級(jí)數(shù) £ un 發(fā)散？n 二n ：eqQ(2) 如果p?1?而lim npun=l (0Wl 依)？則級(jí)數(shù)£un收斂？n 'inTqQ例7判定級(jí)數(shù)Z ln(12)的收斂性？nW n解因?yàn)閘n(1+12)2(nT叼

26、？故n nlim n2un = lim n2ln(1 -12) = lim n2 & =1 : n )：:n )：n n )二 n根據(jù)極限審斂法？知所給級(jí)數(shù)收斂？qQ例8判定級(jí)數(shù)n <zn+1(1 -cos-)的收斂性？n 1n3 lim n2un n_.解因?yàn)?lim n2、n 1(1-cos) = lim n2 n 1 1()2 =工二2nn n ： in 2 n 2根據(jù)極限審斂法？知所給級(jí)數(shù)收斂？二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)？交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù)？它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的?交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為 £ (-1)n/Un ?其中Un >0 ?n 1例如？克(-1)n

27、工是交錯(cuò)級(jí)數(shù)？但(1)n/1-c0Sn71不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)?n =1nn 1n定理6 (萊布尼茨定理)qQ如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)£(-1)n,un滿(mǎn)足條件？n 1(1)Un Ln 1 ( n ：1 ： 2 ： 3 ：)： lim un=0 :n1二則級(jí)數(shù)收斂？且其和s%1?其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值| rn| ?Un?1?定理6 (萊布尼茨定理)-I I :盧、工I:1 % I .1 產(chǎn)0O如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)£(-1)n,un滿(mǎn)足？ (1) un之Un由？ (2) limUn =0 ?則級(jí)數(shù)收斂?且其和s?U1?其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值| rn| ?Un?簡(jiǎn)要證明？設(shè)前n項(xiàng)部分和為Sn?由 S2n ?( U

28、1 ?U2) ?( U3 %4) ? ? ? ? ?( U2n 1 ?U2n) ?及S 2n :U1 ：( U2 :U3) ：( U4 ：U5) ； ； ； ； ( U2n 2 :U2n 1) 12n看出數(shù)列S2n單調(diào)增加且有界(S2n%1) ?所以收斂?設(shè) S2nan?) ?則也有 S2n?S2n，2n?S(n?) ?所以 Sn ?S( h?) ?從而級(jí)數(shù)是收斂的？且 Sn?U1? 因?yàn)閨 rn| Rn?Un? ? ?也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)?所以|n| ?Un?例9證明級(jí)數(shù)9(1)n/工收斂？并估計(jì)和及余項(xiàng)?n n證這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)?因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿(mǎn)足111(1)Un =-、Uni(n：1,2, ：

29、 ： ) ： (2) lim Un = lim 1=0 ：n n 1n ： n ： n由萊布尼茨定理？級(jí)數(shù)是收斂的？且其和s?U1?1?余項(xiàng)|rn區(qū)Un4=n11 ?三、絕對(duì)收斂與條件收斂：絕對(duì)收斂與條件收斂：若級(jí)數(shù)占iuni收斂？則稱(chēng)級(jí)數(shù)£ un絕對(duì)收斂？若級(jí)數(shù)£ unn 1n =1nqQqQ收斂?而級(jí)數(shù)工|Un|發(fā)散？則稱(chēng)級(jí)Z Un條件收斂?n =1n 1"IqQqQ例10級(jí)數(shù)£(_1)nJ2是絕對(duì)收斂的?而級(jí)數(shù)£ (-1)n是條件收斂的?n， nnWn定理7如果級(jí)數(shù)£ un絕對(duì)收斂?則級(jí)數(shù)£ un必定收斂?n 1n =

30、1值得注意的問(wèn)題?qQqQ如果級(jí)數(shù)£|un|發(fā)散？我們不能斷定級(jí)數(shù)£4也發(fā)散？ndn 1但是？如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)£ |un|發(fā)散?nToO則我們可以斷定級(jí)數(shù)£un必定發(fā)散？nTqQ這是因?yàn)?止匕時(shí)| un|不趨向于零？從而5也不趨向于零？因此級(jí)數(shù)£un也是發(fā)散的？n=1qQ例11判別級(jí)數(shù)£叫應(yīng)的收斂性?n =1 n解因?yàn)閨嗎aF？而級(jí)數(shù)£ 4是收斂的？n2n2nw n2所以級(jí)數(shù)£|sn"|也收斂?從而級(jí)數(shù)£典”絕對(duì)收斂?nnnJ n例12判別級(jí)數(shù)(1)n /(1+1嚴(yán)的收斂性?n=

31、i2n' n，解？由 |unl=4r(1+1)n2 ?有 lim n/iUnLim (1+)n=2e>1?nl 2nn n nl 2n n 2可知lim un#0?因此級(jí)數(shù)£(-1)n4-(1+1)n2發(fā)散？n，二n=12n ' n'§ 11 ? 3 幕級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)？給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)列Un(x) ?由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式U1(x) ：U2(X)：U3(X)Un(x)：稱(chēng)為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)？記為克un(x)?n=1收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)：對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)xo?若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)克Un(xo)收斂？則稱(chēng)n 1點(diǎn)

32、xo是級(jí)數(shù)三小(x)的收斂點(diǎn)？若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 玄Un(xo)發(fā)散？則稱(chēng)n 1n =1點(diǎn)xo是級(jí)數(shù)£ Un (x)的發(fā)散點(diǎn)？n 1收斂域與發(fā)散域？函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Z Un(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的收斂域?所 n 1有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的發(fā)散域？和函數(shù)?Q0在收斂域上?函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£ un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?n =1qQqQs(x)稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£un(x)的和函數(shù)？并寫(xiě)成s(x) =Z un(x) ?n 1n =1qQ!2un(x)是Z-Un(x)的簡(jiǎn)便記法？以下不再重述？ n 1在收斂域上？函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)12 Un(x)的和是x的函數(shù)s(x) ?s(x)稱(chēng)為函數(shù)

33、項(xiàng)級(jí)數(shù)三Un(x)的和函數(shù)?并寫(xiě)成s(x) ?Eun(x) ?這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域：部分和：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 克un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x) ?n =1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)13 Un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作Sn(x) ?即Sn(x) ; u l(x) :U2(x) :U3(x) , , , , Un(x):在收斂域上有 lim sn(x)=s(x)或 Sn(x)，?s(x)( n?) ?n1二二余項(xiàng)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)玄Un(x)的和函數(shù)S(x)與部分和Sn(x)的差 n 1rn (x) ?s(x) %n(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Z Un(x)的余項(xiàng)？ nW函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(x)的余項(xiàng)記為rn(x)?它

34、是和函數(shù)s(x)與部分和Sn(x)的差r n( x) ?s(x) ?Sn(x) ?在收斂域上有l(wèi)im rn(x)=0：n )：: n二、幕級(jí)數(shù)及其收斂性幕級(jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的一類(lèi)級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都幕函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?這種形式的級(jí)數(shù)稱(chēng)為幕級(jí)數(shù)？它的形式是n-rff-a0 aix ,&x ,anx一 一其中常數(shù)ao? ai ? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做幕級(jí)數(shù)的系數(shù)?幕級(jí)數(shù)的例子：/23n1: x：x ：xx ：1 x 1 x2：； ： 1 xn2! n!注？幕級(jí)數(shù)的一般形式是2nao：ai(x：xo) :a2(x：x0) ： ： ： ： a(x：xo);：經(jīng)變

35、換 t TxTxo就得 ao?ait ?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ?幕級(jí)數(shù)可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù)?當(dāng)| x| ?1時(shí)它是收斂的？當(dāng)| x| ?1時(shí)，？它是發(fā)散的？因此它的收斂域?yàn)?？1? 1) ?在收斂域內(nèi)有11 -x=1 x x2 x3 -xn:定理1 (阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)£ anxn當(dāng)x?x0 ( xo?0)時(shí)收斂？則適合不等式n =0| x| ?| xo|的一切x使這幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂？反之?如果級(jí)數(shù)an anxn當(dāng)n0x?x0時(shí)發(fā)散?則適合不等式|x|彳xo|的一切x使這幕級(jí)數(shù)發(fā)散?定理1 (阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)三anxn當(dāng)x/0 ( x0p)時(shí)收

36、斂？則適合不等式| x| ?| xo|的一切x使這幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂？反之？如果級(jí)數(shù)12 anxn當(dāng)x%0時(shí)發(fā)散?則適合不等式|x|彳xo|的一切x使這幕級(jí)數(shù)發(fā)散？提示?三anxn是£ anxn的簡(jiǎn)記形式?n 0)證 先設(shè)x。是幕級(jí)數(shù)支axn的收斂點(diǎn)？即級(jí)數(shù)支anxn收斂？根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件？有 n =0nd。lim anxn =0 ?于是存在一個(gè)常數(shù) M使 n_.| a nx0nlM n ：0, 1,2,：)：這樣級(jí)數(shù) /anxn的的一股項(xiàng)的絕對(duì)值 n zzDn.:'lanx+laX xn|=|anxni|X|"M |x|n ：x°x0x0/ : Ss

37、廠因?yàn)楫?dāng)|x| Tjx0|時(shí)？等比級(jí)數(shù)M M占1n收斂？所以級(jí)數(shù) 萬(wàn)anxn|收斂？也就是級(jí)數(shù) 支anxn絕對(duì)收斂 n -0x0n -0n H0?簡(jiǎn)要證明設(shè)!2anxn在點(diǎn)x0收斂？則有anx0n?0(n?) ?于是數(shù)列anx0n有界，？即存在一個(gè)常數(shù)M?使| anx0n | MnQ 1,2,? ? ?) ?7 ci 因?yàn)閨anxn|=|anxn 'xn| = |anx(n|x0而當(dāng)|x|<|x0|時(shí)？等比級(jí)數(shù)M M產(chǎn)1n收斂?所以級(jí)數(shù)三| anxn|收斂？也就是級(jí)數(shù)三anxn絕對(duì)收斂? n =0x0定理的第二部分可用反證法證明？倘若幕級(jí)數(shù)當(dāng)xTx0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)xi適合|xi|

38、>| x0|使級(jí)數(shù) 收斂？則根據(jù)本定理的第一部分?級(jí)數(shù)當(dāng)乂取0時(shí)應(yīng)收斂？這與所設(shè)矛盾？定理得證?推論如果級(jí)數(shù)?anxn不是僅在點(diǎn)x汨一點(diǎn)收斂？也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂？則必有一個(gè)完n =0全確定的正數(shù)R存在？使得 當(dāng)| x| ?R時(shí)，？幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂？ 當(dāng)|x| ?R時(shí)？幕級(jí)數(shù)發(fā)散?當(dāng)x OR與x 2?R時(shí)？幕級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?收斂半徑與收斂區(qū)間?正數(shù)R通常叫做幕級(jí)數(shù)Z anxn的收斂半徑？開(kāi)區(qū)間（？R R）叫做事級(jí)數(shù)n=0an斗xn的收斂區(qū)間？再由幕級(jí)數(shù)在X?nR處的收斂性就可以決定它的收斂域？幕級(jí)數(shù)a anXn的收斂n =0nd0域是（？R R）（或浜 R）、（？R R、職 R

39、 之一？00規(guī)定?若幕級(jí)數(shù)an anxn只在xP收斂？則規(guī)定收斂半徑R?0 ?若幕級(jí)數(shù)a anxn對(duì)一切x都收n =0斂?則規(guī)定收斂半徑R?這時(shí)收斂域?yàn)椋?, ?） ?定理2n=0如果恨誓其中an、an?是幕級(jí)數(shù)自nxn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)？則這幕級(jí)數(shù)的收斂半徑R=(+001-P0P - +cc定理2如果幕級(jí)數(shù) 克anxn系數(shù)滿(mǎn)足lim 1ati=P?則這幕級(jí)數(shù)的收斂半徑n吐ann =0R=4十co1P0=0：=0 :P = -Re定理2Q0|=p?則幕級(jí)數(shù)Z anxn的收斂半徑R為.?n=0當(dāng)? ?0時(shí)R =4？當(dāng)?0時(shí)R?當(dāng)？您時(shí) R0?簡(jiǎn)要證明：lim |n，n 1 2*1二 nim瑟 |x

40、|=：1x|：n例1求幕級(jí)數(shù)£（1尸工的收斂半徑與收斂域?n=1n1解 因?yàn)?p= iim|a史|= lim 與1=1?nan n1 1n所以收斂半徑為R =4=1 ：當(dāng)x?1時(shí)？幕級(jí)數(shù)成為£（1）52是收斂的？ nd n當(dāng)x ?1時(shí)？幕級(jí)數(shù)成為£（）?是發(fā)散的?因此？收斂域?yàn)椋ǎ?, 1 ?n 1 n例2求幕級(jí)數(shù)克xn ndon!的收斂域：例2求幕級(jí)數(shù)£lxn的收斂域？ndon!二 f1解 因?yàn)?P= lim 1a3=lim 9T11 = lim 上=0 ?n 二 ann，二 1 n 二（n 1）!n!所以收斂半徑為R?從而收斂域?yàn)椋ǎ?，？?）？例3

41、求幕級(jí)數(shù)克n!xn的收斂半徑？n -0解因?yàn)樾?quot;?。?!=所以收斂半徑為RT0?即級(jí)數(shù)僅在x?0處收斂？例4求幕級(jí)數(shù):f (2嗎x2n n/(n!)2的收斂半徑?解級(jí)數(shù)缺少奇次幕的項(xiàng)?定理2不能應(yīng)用？可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑？幕級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為Un（x戶(hù)黑x2n：因?yàn)?nmiiwxi2：當(dāng)4|x|2月即岡2時(shí)級(jí)數(shù)收斂?當(dāng)4|x|2?1即|x|2時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散?所以收斂半徑為R=T?2(n 削! x2(n 1)Un i(x)(n 1)!2(2n 2)(2n 1)Un(X)一 (2n)! 2n 一 (n 1)22 X例5求幕級(jí)數(shù)£蟲(chóng)工的收斂域?n=i 2nn n因?yàn)閍n 1解

42、令t ?x?1 ?上述級(jí)數(shù)變?yōu)?#163;？ n/2nn2n n 1、=f2n 1 (n 1) 2所以收斂半徑R：2：當(dāng)t笈時(shí)？級(jí)數(shù)成為1 1 ?此級(jí)數(shù)發(fā)散？當(dāng)t可2時(shí)？級(jí)數(shù)成為£（一1） ?此級(jí)數(shù)收斂?因此級(jí)nnnnn數(shù)的收斂域?yàn)?2曾，2?因?yàn)椋?7/。2?即？17x?3?所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,3） ? n2nn三、幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算OQqQ設(shè)幕級(jí)數(shù)£anXn及Tbnxn分別在區(qū)間（？R 2及（？卬，R）內(nèi)收斂？則在（蟲(chóng)，2與（？田，R） n =0n =0中較小的區(qū)間內(nèi)有加法：“，anxn，.二 bnxn = （不 bn）xn :n -0n -0n -0減法：'

43、anxn - ' bnxn =' （斗-bn）xn : n =0n =0n =0設(shè)幕級(jí)數(shù)三anxn及三bnxn分別在區(qū)間（？R 2及（？卬，Rf內(nèi)收斂？則在（OR 2與（？R，R）中較 小的區(qū)間內(nèi)有加法？ -anx- bnxn ?E （an?bn）xn ?減法？ ZZanxn ?E bnxn ?E （an?bn）xn ?乘法？（£anxn） （£bnxn）匕0卜%01%七0）乂?（20132%心1?22E）乂2? ? ? ?n =0n=0：（a0bn：a1bn2加0）乂入：:qQ性質(zhì)1幕級(jí)數(shù)f anxn的和函數(shù)S（x）在其收斂域I上連續(xù)？如果幕級(jí)數(shù)在x?R

44、（或x，?職）也收斂？則和函數(shù)s（x）在（？R R（或?R R）連續(xù)？性質(zhì)2幕級(jí)數(shù)£anxn的和函數(shù)s（x）在其收斂域I上可積？并且有逐項(xiàng)積分公式n =0；s（x）dx =；（二 anxn）dx = " ；anxndx = ' -a xn 1 （x ：I ）:00 n 為n=00n5 1逐項(xiàng)積分后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑：性質(zhì)3幕級(jí)數(shù)£anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(？R? R)內(nèi)可導(dǎo)？并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式n=0n=1s(x)=anXn),：=工(anXn),：=nanXn(| x| ：R :n =0逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同

45、的收斂半徑：性質(zhì)1幕級(jí)數(shù)三anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)？性質(zhì)2幕級(jí)數(shù)!2anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積？并且有逐項(xiàng)積分公式:s(x)dx = ；anXn)dx-" janxndxC -ax" (x：I ):n=0n=0n=0n 1逐項(xiàng)積分后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑：性質(zhì)3幕級(jí)數(shù)三anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(？R? R)內(nèi)可導(dǎo)?并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式s(x)=anXn),：= Y (anXn) = " nanXn-1 (| x| H :n J3n =0逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑：例6求幕級(jí)數(shù)克，xn

46、的和函數(shù)？ndDn 1解 求得幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1? 1) ?、1； C £ t/ - $x' I 、r 一一 、，、，- rr291 c一設(shè)和函數(shù)為 s(x) ?即 s(x) =Zxn ? x? ?1? 1) ?顯然 s(0) ?1?nn 1在xs(x)=£-xn'1的兩邊求導(dǎo)得nn 1xs(x) = J 1 xn1)：xn= 1 ;n =0 n 1n=01-X對(duì)上式從0到x積分？得xs(x) = (1 dx = -ln(1-x) ?1 -x-ln(1 - x)x10："x卜：1、x = 0于是？當(dāng) X ?0 時(shí)？ <s(x) = -ln(

47、1-x)?從而 s(x) = ； X因?yàn)?xs(x) = - 1 xn1=：1 xn 1 dxn=on 10 n=on 1=(工 xndx =，dx =ln(1x) ? n -01 -X所以?當(dāng)X犯時(shí),？有s(x) = ln(1x) ?x從而 s(x)= Tln(1 - x)10：|x卜：1、x = 0例6求幕級(jí)數(shù)£一七Xn的和函數(shù)?n=0n 1解 求得幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1? 1) ?設(shè)幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x) ?即s(x) = £-工xn? x?1? 1) ?n與n 1ndx 二顯然S(0) ?1 ?因?yàn)閐x - - ln(1 -x) (-1 :二 x ：二 1)：1 -

48、 x所以？當(dāng) 0<|x|<1 時(shí)？有 s(x)=-ln(1-x) ? x從而 s(x)-lxln(1-x)10：二岡：二1 ：x = 0由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性？(二 1)n、S(-1)= lim S(x) = ln2 : x l.綜合起來(lái)得 s(x); .xln(1 一x) x 一1'0)0'1)：提示？應(yīng)用公式(F'(x)dx = F(x) F(0) ?即 F(x)=F(0) +：F'(x)dx ?1 =1 x x2 x3xn：1 -x例7:求級(jí)數(shù)三上1n的和?nJ n 1解考慮幕級(jí)數(shù)H，xn ?此級(jí)數(shù)在?1, 1)上收斂？設(shè)其和n*n 100

49、函數(shù)為 s(x) ?則 s(-1) =£ -n =0在例 6 中已得到 xs(x) 21n(1 ?x) ?于是?s( ?1) 71n2 ? s(-1)=ln- ?即:£上方=/ ?2 nn 12§ 11? 4 函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)要解決的問(wèn)題？給定函數(shù)f(x) ?要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)”展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)”?就是說(shuō)？是否能找到這樣一個(gè)幕級(jí)數(shù)？它在某區(qū)間內(nèi)收斂？且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)?如果能找到這 樣的幕級(jí)數(shù)？我們就說(shuō)?函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)？或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(x)能展開(kāi)成幕 級(jí)數(shù)？而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù) f (x) ?泰勒多

50、項(xiàng)式？如果f(x)在點(diǎn)x。的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)？則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于.fn(x-x0)n Rn(x)：n!(n/其中fU"(?介于x與X0之間)?泰勒級(jí)數(shù)？如果f (x)在點(diǎn)X0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f Xx) ? f ?(x) ? ? ? ? ?f (n)(x) ? ? ? ? ?則當(dāng)n?時(shí)? f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式成為幕級(jí)數(shù)這一幕級(jí)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)f( x)的泰勒級(jí)數(shù)？顯然？當(dāng)x »0時(shí)？ f ( x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f ( xo) ?需回答的問(wèn)題?除了 x)0外？ f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂?它是否一定收斂于f(x)? 定理 設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x

51、。的某一鄰域U(x。)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)?則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)R(x)當(dāng)n?0時(shí)的極限為零？即lim R(x) =0 (x U (x0)： n1證明先證必要性？設(shè)f (x)在U(x0)內(nèi)能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)?即f (x0)2f (n)(x0) . n _f (x) = f(x0)+f (xO)(xxO)+ °-(x-x0)2+ +j-0-(x-x0)+r2!n!又設(shè)Sn?(x)是f (x)的泰勒級(jí)數(shù)的前nk項(xiàng)的和？則在U(x0)內(nèi)Sn?(x) ?f (x)( n?) ?而 f (x)的 n 階泰勒公式可寫(xiě)成 f (x) ?Sn?(x)

52、 “(x) ?于是 Rn(x) 2f (x) ?Sn?(x) ?0(n?) ?再證充分性？設(shè)R(x) ?0(n?)對(duì)一切x?U(x0)成立？| . 二。11r"，uf '：因?yàn)?f (x)的 n 階泰勒公式可寫(xiě)成 f (x)%n?(x) ?Rn(x) ?于是 Sn?(x) ?f (x) ?Rn(x)?f (x) ?即f (x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂？并且收斂于f (x) ?麥克勞林級(jí)數(shù)?在泰勒級(jí)數(shù)中取x0?0?得f(0) + f(0)x+粵X2+中xn+-？此級(jí)數(shù)稱(chēng)為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)？展開(kāi)式的唯一性？如果f(x)能展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)?那么這種展式是唯一的？它一定與f

53、(x)的1-. I 1麥克勞林級(jí)數(shù)一致？這是因?yàn)?？如果f (x)在點(diǎn)x0 ?0的某鄰域(？R F)內(nèi)能展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)？即2nf (x)為0?aix%2x ? ? ? ? ?anx ? ? ? ? ?那么根據(jù)幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)？有2_ n_1_f ：(x) ：ai 2a2x 3a以. nanx ：.n 2f 二(x) ：2!a2：3：2a3x，一 ，n：(n：1)anx '：n 3f 二：(x) ：3!a3, 一 ，n：(n：1)( n：2)anx ,999 999999 999 999 (f (n)(x) ：n!an：(n：1)n(n：1) : : :2 an ix ：f (n)(0)n!于是得a 0 ：f (0) : ai ：f ：(0) : a2 =皿an = 2!n應(yīng)注意的問(wèn)題？如果f (x)能展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)？那么這個(gè)幕級(jí)數(shù)就是f (x)的麥克勞林級(jí)數(shù)？但 是？反過(guò)來(lái)如果f (x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0?0的某鄰域內(nèi)收斂？它卻不一定收斂于f (x) ?因止匕？如 果f(x)在點(diǎn)x。*處具有各階導(dǎo)數(shù)？則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái)?但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂？以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察9二、函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)展開(kāi)步驟：第一步 求出 f ( x)的各階導(dǎo)數(shù)? f ?(x) ? f ?(x) ? ? ? ? ? f