我的高考橢圓知識點總結(jié)

1、22t -y2- 1 (a b 0),其中 c2a2 b2a b2.當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的標準方程:2 匕2 a2t 1 (a b 0),其中 c2 a2 b2 ； b2橢圓知識點一、橢圓的定義平面內(nèi)一個動點 P到兩個定點FF2的距離之和等于常數(shù)(PF" |PF2 I 2a 產(chǎn)正2),這個動點P的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距注意：若(PFi | PF2 |怛#2 ),則動點P的軌跡為線段F1F2;若(PFiPF2 |怛#2),則動點P的軌跡無圖形橢圓的標準方程1.當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的標準方程:注：1.只有當(dāng)橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建

2、立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程;2.在橢圓的兩種標準方程中，都有 (ab 0)和 c2a2 b2 ；3.橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的焦點坐標為(c,0), ( c,0)；當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的焦點坐標為 (0, c) , (0, c)、橢圓的簡單幾何性質(zhì)22，一 xy,橢圓：-1 (a b 0)的簡單幾何性質(zhì)ab22x y(1)對稱性：對于橢圓標準方程不看 1 (a b 0)說明：把x換成 x、或把y換成 y、或把x、a b22 xyy同時換成 x、 y、原方程都不變，所以橢圓 2 匕 1是以x軸、y軸為對稱軸的軸a b對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形

3、，這個對稱中心稱為橢圓的中心。(2)范 圍：橢圓上所有的點都位于直線 x a和yb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足(3)頂 點： 橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。22 橢圓二 12 1 （a b 0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為a bAi（ a,0）, A2（a,0）, Bi（0, b） , B2（0, b）線段A1A2, B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，AA22a, B1B22b 0a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。2c c（4）離心率： 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表小，記作e 。2a a因為（a c 0）,所以e的取值范圍是（0

4、e 1）。e越接近1,則c就越接近a ,從而.22b va c越小，因此橢圓越扁；反之,e越接近于0, c就越接近0,從而b越接近于a ,這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a b時，c 0,這時兩個焦點重合，圖形注：橢圓變?yōu)閳A，方程為x2 y2 a。2與 1的圖像中線段的幾何特征（如右圖） b2 |PFJ |PF2| 2a；PF1 I 眸_PM1 I |pm2 I（橢圓的第二定義）PM1PM 22a2c BFj BF2| a；OF1 OF2 c ；ABA2BJa2 b2 ；(3) AF1A2F2a c；AF2IA2F1a c； a c PF( a c；四、橢圓2224 1與%'1(a b

5、0)的區(qū)別和聯(lián)系b2a2 b2標準方程22)a b 0)22；2 x21(a b 0)圖形Jyf b9.$1 .'，/ d Jh.L| ,.*1此"4A1111性質(zhì)i11焦點F1( c,0), F2(c,0)F1(0, c), F2(0,c)焦距| F1F2 | 2cF1F22c范圍1 xa,ybxb ,|ya對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點(a,0), (0, b)(0, a) , ( b,0)軸長長軸長=2a,短軸長=2b離心率ce c(0 e 1) a準線方程2 axc2 a yc焦半徑PF1a ex0,PF2 a ex0IPF1a ey0, PF2 a ey0222

6、2注：關(guān)于橢圓與yy 1與4與 1 (a b 0)的說明： 2222a b a b相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有(a b 0)和e c(0 e 1) , a2 b2 c2；a不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相同。規(guī)律方法：1、如何確定橢圓的標準方程?任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。兩個定形條件，確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2、橢圓標準方程中的三個量a,b,c的幾何意義橢圓標準方程中，a,b,c三

7、個量的大小與坐標系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：(a b 0),(a c 0),且(a2 b2 c2)?？山柚覉D理解記憶：顯然：a,b, c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3、如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4、方程Ax2 By2 C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件方程Ax2 By2C可化為Ax2By2、,221,即土 -By-CCAB1,所以只有A、

8、B、C同號，且A B C時，方程表示橢圓。當(dāng) CACC一時，橢圓的焦點在 x軸上；當(dāng) 一BAC時，橢圓的焦點在 y軸上。B5、求橢圓標準方程的常用方法 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù) a,b,c的值。其主要步驟是 先定型，再定量6. 定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點，則2 x c相同。與橢圓a2yy 1 (a b 0)共焦點的橢圓方程可設(shè)為 b22x-2a m21(m.2、 b ),此類問題常用待定系數(shù)法求解。7.判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的依

9、據(jù) 若把曲線方程中的x換成 x,方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對稱;若把曲線方程中的若把曲線方程中的y換成 y ,方程不變，則曲線關(guān)于 x軸對稱;x、y同時換成y,方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8.如何求解與焦點三角形 PF1F2 （P為橢圓上的點）有關(guān)的計算問題？思路分析：與焦點三角形PF1F2有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式 SPF1F2-|PF1 PF2 sin F1PF2相結(jié)合的方法進行計算解題。將有關(guān)線段PFi、PF2、FF2，有關(guān)角F1PF2 ( F1PF2F1BF2)結(jié)合起來，建立PFiPF2、 PF1 PF2之間的關(guān)系.焦點三角形面積公

10、式：SPF1F2b2 tan N2（P為橢圓上任一一點）9.如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系?長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率ce - (0 e 1),因為 c a b , a c 0, a用a、b表示為eJ (b)2(0 e 1)。顯然：當(dāng)b越小時，e（0 e 1）越大，橢圓形狀越扁； a當(dāng)b越大，e（0 e 1）越小，橢圓形狀越趨近于圓。 a）橢圓及其性質(zhì)1、橢圓的定義Fi, F2的距離的和等于常數(shù)(大于| Fi F2| )的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(1)平面內(nèi)與兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。 一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(

11、0,1)內(nèi)常數(shù)e,那么這個點的軌跡叫做橢圓.其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)e就是離心率.2、橢圓的標準方程:22xy22aby x .1 a b 0- 2 -21 aa2b2x a cos3、橢圓的參數(shù)方程(為參數(shù))y bsin4、離心率：橢圓焦距與長軸長之比.e c e a25、橢圓的準線方程：左準線 11 ： X c.1 (b)2. 0 e 1. a2右準線l2 : x c(二)、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式:焦點在x軸上的橢圓的焦半徑公式:焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式:MF1 =a ex0M F2 =a ex0MF1a ey0MF2a ey0其中F1,F2分別是橢圓的左右焦點)

12、.其中F1, F2分別是橢圓的下上焦點).(三)、直線與橢圓問題(韋達定理的運用)1、弦長公式：若直線l:y kx b與圓錐曲線相交與 A、B兩點，A (x1，yj B(x2, y?)則：弦長 AB (x1x2)2(y1y2)2V(x1x2)2(kx1kx2)2v11k2|x1x21 k2 dxi x2)2 4x1x2例1.已知橢圓4x2 y2 1及直線y=x+m。(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù) m的取值范圍； (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。2、已知弦AB的中點，研究AB的斜率和方程 AB是橢圓3+b2= 1(a>b>0)的一條弦，中點M坐標為(刈，yO),則A

13、B的斜率為一孕a2yC運用點差法求AB的斜率，設(shè)A(xi, yi), B(x2, y2).緊+ J，A、B都在橢圓上，2 2X2 y257+b2 jr 曰X12X22 yi2 y22兩式相減得：x+ yTT-= 0, a bXi X2a2xi + X2yi y2yi + y2即：J=Xi X2b2 Xi + X2a2 yi + y2b%a2yo故：kAB = 一b2X0a2yo'b2=0 '2 X 例2、過橢圓一i62y- i內(nèi)一點M(2,i)引一條弦，使弦被 M點平分，求這條弦所在直線的方程。 4(四)、四種題型與三種方法22四種題型221、已知橢圓C: 1內(nèi)有一點A (2,

14、 1), F是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點.2516求：| PA |+5 | PF |的最小值。32,一x2、已知橢圓25求：| PA | +2y 1內(nèi)有一點A (2, 1) , F為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點.16I PF|的最大值與最小值。2 .一 x3、已知橢圓252y 1外一點A (5, 6) , l為橢圓的左準線,16P為橢圓上動點，點 P至iJ l的距離為d,3求：|PA|+ 一 d的最小值。54、定長為d(d求：AB的中點2b2 . . x2)的線段AB的兩個端點分別在橢圓aa:M到橢圓右準線l的最短距離。2I 1(a b 0)上移動. b2：0_三種方法221、橢圓-y

15、7a2b21的切線與兩坐標軸分別交于 A,B兩點， 求：三角形OAB的最小面積。22，一 x y2、已知橢圓 1和直線l:x-y+9=0 ,在l上取一點M ,經(jīng)過點M且以橢圓的焦123點Fi,F2為焦點作橢圓，求 M在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程_ 223、過橢圓2x y 2的焦點的直線交橢圓 A,B兩點，求AOB面積的最大值2課后同步練習(xí)22離心率是,準線方程是1.橢圓 -y1的焦點坐標是25 1692.已知Fi、2XF2是橢圓16Fi的直線與橢圓交于 M、N兩點，則MNF2的周長為3.橢圓A. 8B. 16C. 25D. 324.5.6.7.8.25A. 51上一點P到一個焦點

16、的距離為5,則P到另一個焦點的距離為(已知橢圓方程為A. 6如果方程A. (0,B. 62X20B. 3C. 4D. 102X+ oo)ky2設(shè)F1,F2為定點，A.橢圓2已知方程 X_+-m 122y111,那么它的焦距是2表示焦點在B. (0,2)I F1F2 |=6,動點B.直線匕=1,m已知橢圓的兩個焦點坐標是9.過點A (-1,-2)且與橢圓10 .過點 p( J3, -2), 2211 .若橢圓k 8912.已知 ABC的頂點13.14.15.16.C. 3 . 31D. . 31y軸上的橢圓，那么實數(shù)C. (1,+ 8)M 滿足 IMF1I | MF2C.圓k的取值范圍是D. (

17、0,1)6,則動點M的軌跡是(D.線段表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為、一 53F1(-2,0),F2 (2, 0),并且經(jīng)過點P(-,),則橢圓標準萬程是222y 1的兩個焦點相同的橢圓標準方程是9Q (-2%''3, 1)兩點的橢圓標準方程是1的離心率是二，則k的值等于2B、C在橢圓X3"+y2=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則 AABC的周長是 . 22x y2F1、F2分別為橢圓 亞+=1的左、右焦點，點 P在橢圓上，POF2是面積為J3的正三角形，則 b2的值是22x y設(shè)M是橢圓 T 1上一點，F(xiàn)1、F2為焦點，F(xiàn)1MF2 一,則S mrf225 1661 2在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為<2 ,焦點到相應(yīng)準線的距離為 1,則該橢圓的離心率為(A) 2(B)1(C)2設(shè) A Xi, y1,Cx2, y2 是右焦點為F22的橢圓二幺259個不同的點，則“AF , BF,CF成等差數(shù)列”是為X28”的(A)(C)充要條件充分不必要條件(B)必要不充分條件(D)既非充分