高中數(shù)學(xué)人教版選修4-4：第一講坐標系·二、極坐標系

1、二 極坐標系第一講 坐標系問題探究問題探究 下圖是某校園的平面示意圖下圖是某校園的平面示意圖.假設(shè)某假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓處，請回答下列問題：同學(xué)在教學(xué)樓處，請回答下列問題： (1)他向東偏北他向東偏北60o方向走方向走120m后到達后到達什么位置？該位置惟一確定嗎？什么位置？該位置惟一確定嗎？ (2)如果有人打聽如果有人打聽體育館和辦公樓的位體育館和辦公樓的位置，他應(yīng)如何描述？置，他應(yīng)如何描述？AEBCD60o45o辦公樓辦公樓實驗樓實驗樓圖書館圖書館體育館體育館120m60m教學(xué)樓教學(xué)樓50m 在平面內(nèi)取一個定點在平面內(nèi)取一個定點O，叫做，叫做極點極點；自極點自極點O引一條射線引一條射線Ox，

2、叫做，叫做極軸極軸；再；再選定一個長度單位、一個角度單位（通選定一個長度單位、一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個方向），這樣就建立了一個極坐標系極坐標系.講授新課講授新課1. 極坐標系的概念極坐標系的概念),( M Ox講授新課講授新課1. 極坐標系的概念極坐標系的概念),( M Ox 設(shè)設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點是平面內(nèi)一點，極點O與點與點M的的距離距離|OM|叫做點叫做點M的的極徑極徑，記為，記為 ；以極以極軸軸Ox為始邊，射線為始邊，射線OM為終邊的角為終邊的角xOM叫做點叫做點M的的極角極角，記為，記為 .有序?qū)崝?shù)對

3、有序?qū)崝?shù)對( , )叫做點叫做點M的極坐標，記作的極坐標，記作M( , ). 設(shè)設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點是平面內(nèi)一點，極點O與點與點M的的距離距離|OM|叫做點叫做點M的的極徑極徑，記為，記為 ；以極以極軸軸Ox為始邊，射線為始邊，射線OM為終邊的角為終邊的角xOM叫做點叫做點M的的極角極角，記為，記為 .有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對( , )叫做點叫做點M的極坐標，記作的極坐標，記作M( , ).講授新課講授新課1. 極坐標系的概念極坐標系的概念),( M Ox 一般地，不作特殊一般地，不作特殊說明時，我們認為說明時，我們認為 0， 可取任意實數(shù)可取任意實數(shù).例例1. 如圖，在極坐標系中，寫出點如圖，

4、在極坐標系中，寫出點A，B，C的極坐標，并標出點的極坐標，并標出點)35 , 5 . 3()43 , 4( FE，所在的位置？所在的位置？，)6 , 2( D6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACB例例1. 如圖，在極坐標系中，寫出點如圖，在極坐標系中，寫出點A，B，C的極坐標，并標出點的極坐標，并標出點)35 , 5 . 3()43 , 4( FE，所在的位置？所在的位置？，)6 , 2( D6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACBD6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACB例例1. 如圖，在極坐標系中，寫出點如圖，在極坐

5、標系中，寫出點A，B，C的極坐標，并標出點的極坐標，并標出點)35 , 5 . 3()43 , 4( FE，所在的位置？所在的位置？，)6 , 2( D6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACBED6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACB例例1. 如圖，在極坐標系中，寫出點如圖，在極坐標系中，寫出點A，B，C的極坐標，并標出點的極坐標，并標出點)35 , 5 . 3()43 , 4( FE，所在的位置？所在的位置？，)6 , 2( D6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACBEDF6 3 2 32 65 67 34 23 35

6、 611 2ACB例例2. 在圖中，用點在圖中，用點A，B，C，D，E分別表示教學(xué)樓，體育館，圖書館，分別表示教學(xué)樓，體育館，圖書館，實驗樓，辦公樓的位置實驗樓，辦公樓的位置.建立適當(dāng)?shù)慕⑦m當(dāng)?shù)臉O坐標系，寫出各點的極坐標極坐標系，寫出各點的極坐標.AEBCD60o45o120m60m50mm360例例2. 在圖中，用點在圖中，用點A，B，C，D，E分別表示教學(xué)樓，體育館，圖書館，分別表示教學(xué)樓，體育館，圖書館，實驗樓，辦公樓的位置實驗樓，辦公樓的位置.建立適當(dāng)?shù)慕⑦m當(dāng)?shù)臉O坐標系，寫出各點的極坐標極坐標系，寫出各點的極坐標.A(O)EBCD60o45o120m60m50mxm360思考思考

7、在極坐標系中，在極坐標系中，)26 , 4( )46 , 4( ， )26 , 4( )6 , 4(， 表示的點有什么表示的點有什么關(guān)系？你能從中體會極坐標與直角坐標關(guān)系？你能從中體會極坐標與直角坐標在刻畫點的位置時的區(qū)別嗎？在刻畫點的位置時的區(qū)別嗎？小結(jié)小結(jié) 極坐標極坐標( , )與與( , 2k )(kZ)表示表示同一個點同一個點.特別地，極點特別地，極點O的坐標為的坐標為(0, )( R).和直角坐標不同，平面內(nèi)一個和直角坐標不同，平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示點的極坐標有無數(shù)種表示. 如果規(guī)定如果規(guī)定 0，0 2 ，那么除，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用惟一的極坐標極點外，平面內(nèi)的點可

8、用惟一的極坐標( , )表示；同時，極坐標表示的點表示；同時，極坐標表示的點( , )也是惟一確定的也是惟一確定的.問題探究問題探究 平面內(nèi)的一個點既可以用直角坐標平面內(nèi)的一個點既可以用直角坐標表示，也可以用極坐標表示表示，也可以用極坐標表示.那么，這那么，這兩種坐標之間有什么關(guān)系呢？兩種坐標之間有什么關(guān)系呢？ 把直角坐標系的原點作為極點，把直角坐標系的原點作為極點，x軸軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位取相同的長度單位. 設(shè)設(shè)M是平面內(nèi)任意一是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是點，它的直角坐標是(x,y)極坐標是極坐標是( , ). 從下圖可以

9、得出它們之間的關(guān)系：從下圖可以得出它們之間的關(guān)系：NxxyMO y2. 極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，把直角坐標系的原點作為極點，x軸軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位取相同的長度單位. 設(shè)設(shè)M是平面內(nèi)任意一是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是點，它的直角坐標是(x,y)極坐標是極坐標是( , ). 從下圖可以得出它們之間的關(guān)系：從下圖可以得出它們之間的關(guān)系：.sin,cos yxNxxyMO y2. 極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標的互化由又可得到下面的關(guān)系式：由又可得到下面的關(guān)系式：)0(ta

10、n,222 xxyyx 2. 極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標的互化NxxyMO y由又可得到下面的關(guān)系式：由又可得到下面的關(guān)系式：)0(tan,222 xxyyx 這就是極坐標與這就是極坐標與直角坐標的互化公式直角坐標的互化公式.2. 極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標的互化NxxyMO y.)32, 5(化化成成直直角角坐坐標標的的極極坐坐標標將將點點 M例例3.)13(化化成成極極坐坐標標，的的直直角角坐坐標標將將點點 M例例4.1. 寫出圖中寫出圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)，G各各點的極坐標（點的極坐標（ 0，0 2 ）.課堂練習(xí)課堂練習(xí)4 2 65 34 35 2AFCEB.GD2. 中央氣象臺在中央氣象臺在2004年年7月月15日日1030發(fā)布的一則臺風(fēng)消息：今年第發(fā)布的一則臺風(fēng)消息：今年第9號熱帶號熱帶風(fēng)暴風(fēng)暴“圓規(guī)圓規(guī)”的中心今天上午八點鐘已的中心今天上午八點鐘已經(jīng)移到了廣東省汕尾市東南方大約經(jīng)移到了廣東省汕尾市東南方大約440公里的南海東北部海面上，中心附近最公里的南海東北部海面上，中心附近最大風(fēng)力有大風(fēng)力有9級級. 請建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，用請建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担米鴺吮硎境鲈撆_風(fēng)中心的位置坐標表示出該臺風(fēng)中心的位置.課堂練習(xí)課堂練習(xí).)32, 1(),3, 3(. 3兩點間的距離兩點間的距離，求，求點點在極坐