周第二次課,正定

1、正定矩陣正定矩陣的判定（3種辦法）12021/4/2 .,0 ,0 , )( 11122222112222211相等相等中正數(shù)的個(gè)數(shù)中正數(shù)的個(gè)數(shù)中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)與則則及及使使及及有兩個(gè)實(shí)的可逆變換有兩個(gè)實(shí)的可逆變換為為它的秩它的秩設(shè)有實(shí)二次型設(shè)有實(shí)二次型慣性定理慣性定理定理定理 rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 定義：二次型 的標(biāo)準(zhǔn)形 的系數(shù) 全為正（負(fù)）,就稱二次型是正（負(fù)）定的.且稱A為正（負(fù)）定矩陣。 f(x) xTAxf k1y21kny2nki(1 i n)f(x,y,z) x24y216z2為正定二次型例如推論對稱矩陣 為正(負(fù))定的充

2、分必要條件是： 的特征值全為正（負(fù)）AAf(x1,x2)-x12-3x22為負(fù)定二次型22021/4/2例 判別二次型 312322213214542,xxxxxxxxf- - 是否正定.解二次型的矩陣為,502040202 - - - A用特征值判別法.0 - - AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型為正定二次型.即知 是正定矩陣，A32021/4/2正定二次型的判別定理：二次型 正定 f(x) xTAx xTAx 0(x 0).證明使使設(shè)設(shè)可可逆逆變變換換Cyx .21iniiykCyfxf ( ) ., 10niki 設(shè)設(shè), 0 x任給任給, 0 xCy1-則則故 . 021

3、iniiykxf( ), 0 sk假設(shè)有假設(shè)有, )(時(shí)時(shí)單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量則則當(dāng)當(dāng)sey . 0 sskCef, 0 sCe顯然顯然.為正定相矛盾為正定相矛盾這與這與 f故 ., 10niki 定理：二次型 負(fù)定 xTAx ByyAxxTT.,為正定矩陣為正定矩陣故故是實(shí)對稱陣是實(shí)對稱陣且且CC52021/4/2, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa定理3 對稱矩陣 為正定的充分必要條件是：的各階主子式為正，即AA ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr - -對稱矩陣 為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為

4、正，即A這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理證明（略）62021/4/2例3 判別二次型xzxyzyxf44465222 - - - - 的正定性.解的矩陣為的矩陣為f, 0511 - - - aaaa, 080 0(x 0).82021/4/2規(guī)范形定義：二次型 的標(biāo)準(zhǔn)形 的系數(shù) 全為1,1,0,稱之為二次型的規(guī)范形。 f(x) xTAxf k1y21kny2nki(1 i n)做法：Step1,f yTk100kny,Step2, 令y=Cz, C可逆,s.t.CTk100knCsignk100signkn,e.g.-4169-1101,121413121413一般的，取Cdiag c1,cn,ci

5、ki-12,ifki 0,ci 0,ifki 0,92021/4/2三種等價(jià)關(guān)系（反身，對稱，傳遞）1,矩陣A與矩陣B等價(jià)：矩陣A能通過初等變換變成矩陣B。記為：AB.2,方陣A與方陣B相似：$P,|P | 0,s.t.P-1AP B.3,$C,|C| 0,s.t.CTAC B.方陣A與方陣B合同：102021/4/22種標(biāo)準(zhǔn)形1,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：2,矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：f k1y21kny2n若 的秩為r,則AmnAmn我們稱 為 的標(biāo)準(zhǔn)形。ErooomnAmnProp：A與B等價(jià)A與B有相同的標(biāo)準(zhǔn)形。Pf：不妨設(shè)AErooo,BEsooo.顯然AB,EroooEsooo,r s.Erooomn.112021/4/2注：注：文檔資料素材和資料部分文檔資料素材和資料部分來自