近自由電子近似95281-文檔資料

1、1一、何謂近自由電子近似（一、何謂近自由電子近似（ Nearly Free Electron ） 在周期場(chǎng)中，若電子的勢(shì)能隨位置的變化（起伏）比較在周期場(chǎng)中，若電子的勢(shì)能隨位置的變化（起伏）比較小，而電子的平均動(dòng)能要比其勢(shì)能的絕對(duì)值大得多時(shí)，電子小，而電子的平均動(dòng)能要比其勢(shì)能的絕對(duì)值大得多時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)就幾乎是自由的。因此，的運(yùn)動(dòng)就幾乎是自由的。因此，我們可以把自由電子看成是我們可以把自由電子看成是它的零級(jí)近似，而將周期場(chǎng)的影響看成小的微擾來求解。它的零級(jí)近似，而將周期場(chǎng)的影響看成小的微擾來求解。 （也稱為弱周期場(chǎng)近似）弱周期場(chǎng)近似）。這個(gè)模型雖然簡(jiǎn)單，但卻給出周但卻給出周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子本征態(tài)

2、的一些最基本特點(diǎn)。期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子本征態(tài)的一些最基本特點(diǎn)。何謂近自由電子近似何謂近自由電子近似定性描述定性描述微擾計(jì)算微擾計(jì)算見黃昆書見黃昆書 4.2節(jié)節(jié) p1576.2 一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似2晶體中的電子感受到的一維晶格周期勢(shì)場(chǎng)晶體中的電子感受到的一維晶格周期勢(shì)場(chǎng)見于Omar 書p197見于Kittel 書 p1183二二. 近自由電子（近自由電子（NFE）模型的定性描述）模型的定性描述 在NFE 模型中，是以勢(shì)場(chǎng)嚴(yán)格為零的 Schrdinger方程的解（即電子完全是自由的）為出發(fā)點(diǎn)的，但必須同時(shí)滿足晶體平移對(duì)稱性的要求，我們稱之為空格子模型

3、空格子模型。 在一維情況下，空格子模型中的態(tài)函數(shù)和能量表達(dá)式為：22(0)(0)1,2ik rkkkeEmL 上式中的 0 表示是未受微擾的解。自由電子的能量和波矢關(guān)系是拋物線，但考慮到平移對(duì)稱性的要求，它被 Brillouin 區(qū)邊界截成多段，可以平移倒易基矢 的整數(shù)倍，以便讓任意兩個(gè)等效點(diǎn)的能量相同。2hGa4空格模型的能量波矢關(guān)系：空格模型的能量波矢關(guān)系：自由電子的 k 取值范圍是沒有限制的，能量取值范圍也是無限制的。晶體中的波矢 k只能在第一Brillouin區(qū)內(nèi)取值。能量可以通過一個(gè) k 值對(duì)應(yīng)多個(gè)能量值來包容。5 當(dāng)考慮微弱的周期勢(shì)場(chǎng)影響時(shí)，空格子能譜的明顯變化微弱的周期勢(shì)場(chǎng)影響時(shí)

4、，空格子能譜的明顯變化只發(fā)生在只發(fā)生在 Brillouin區(qū)區(qū)心和邊界處區(qū)區(qū)心和邊界處，原先相互連接的，現(xiàn)在分開了，出現(xiàn)了一個(gè)能隙，也就是說，在這些點(diǎn)上，能譜的形狀受到弱晶體勢(shì)場(chǎng)的修正。（實(shí)際上，晶體勢(shì)的作用是使晶體勢(shì)的作用是使空格子模型中能帶結(jié)構(gòu)中的尖角變得平滑了空格子模型中能帶結(jié)構(gòu)中的尖角變得平滑了。） 在區(qū)域的其它部分，能譜的形狀受到的影響很小，基本保持了空格子模型的拋物線形式。見下圖。 所以說近自由電子近似下晶體電子的能級(jí)區(qū)分成為電子近自由電子近似下晶體電子的能級(jí)區(qū)分成為電子可以占據(jù)的能帶以及不能占據(jù)的禁帶?？梢哉紦?jù)的能帶以及不能占據(jù)的禁帶。6弱周期勢(shì)場(chǎng)對(duì)能帶的影響：弱周期勢(shì)場(chǎng)對(duì)能帶的

5、影響：以上參照 Omar一書整理7空格模型的能量波矢關(guān)系：空格模型的能量波矢關(guān)系：空格模型的能量波矢空格模型的能量波矢關(guān)系：關(guān)系：“在晶格常數(shù)為在晶格常數(shù)為a的一的一維晶格中，當(dāng)周期勢(shì)維晶格中，當(dāng)周期勢(shì)振幅為振幅為0時(shí)能量與波矢時(shí)能量與波矢關(guān)系圖。此時(shí)能量是關(guān)系圖。此時(shí)能量是波矢的連續(xù)函數(shù)。在波矢的連續(xù)函數(shù)。在第一布里淵區(qū)（簡(jiǎn)約第一布里淵區(qū)（簡(jiǎn)約區(qū)）圖像中，能量是區(qū)）圖像中，能量是波矢的多值函數(shù)波矢的多值函數(shù)”8弱周期勢(shì)場(chǎng)對(duì)弱周期勢(shì)場(chǎng)對(duì)能帶的影響：能帶的影響：能隙“在晶格常數(shù)為在晶格常數(shù)為a的一維晶格中，的一維晶格中，當(dāng)周期勢(shì)振幅有當(dāng)周期勢(shì)振幅有限時(shí)，簡(jiǎn)約區(qū)與限時(shí)，簡(jiǎn)約區(qū)與擴(kuò)展區(qū)的能量與擴(kuò)展區(qū)

6、的能量與波矢關(guān)系圖。僅波矢關(guān)系圖。僅可以在陰影區(qū)可可以在陰影區(qū)可以建立性質(zhì)良好以建立性質(zhì)良好的非定域波函數(shù)。的非定域波函數(shù)。這些陰影區(qū)是導(dǎo)這些陰影區(qū)是導(dǎo)帶，分隔導(dǎo)帶的帶，分隔導(dǎo)帶的是能量禁帶是能量禁帶”9Ashcroft 一書 p160 關(guān)于一維帶隙的說明自由電子能量波矢關(guān)系自由電子能量波矢關(guān)系Brillouin邊界處的簡(jiǎn)并邊界處的簡(jiǎn)并弱周期勢(shì)的影響弱周期勢(shì)的影響B(tài)rillouin邊界處的分裂邊界處的分裂擴(kuò)展區(qū)形式擴(kuò)展區(qū)形式簡(jiǎn)約區(qū)形式簡(jiǎn)約區(qū)形式周期形式周期形式10周期性勢(shì)場(chǎng)： U xU xaa為晶格常數(shù)作Fourier展開： 002expnnnxU xUUia其中 001LUU x dxL 勢(shì)

7、能平均值 視為常數(shù) 012expLnnxUU xidxLaLNa根據(jù)近自由電子模型，Un為微小量。電子勢(shì)能為實(shí)數(shù)，U(x)=U*(x)，得 Un*=U-n 。三、微擾計(jì)算：三、微擾計(jì)算：考慮長(zhǎng)度 的一維晶體 2222dU xxExm dxU111. 非簡(jiǎn)并微擾非簡(jiǎn)并微擾 kkHE k這里，單電子哈密頓量為： 222d2dHU xm x 220020d2exp2dnnnxUUiHHm xa 22002d2dHUm x 零級(jí)近似02expnnnxHUia 代表周期勢(shì)場(chǎng)的起伏作為微擾項(xiàng)處理12分別對(duì)電子能量 E(k) 和波函數(shù) (k) 展開 (0)(1)(2)kkkE kEEE(0)(1)(2)kk

8、kk將以上各展開式代入Schrdinger方程中，得(0)(0)(0)0kkkHE(1)(0)(0)(1)(1)(0)0kkkkkkHHEE(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)0kkkkkkkkHHEEE零級(jí)近似零級(jí)近似方程：(0)(0)(0)0kkkHE能量本征值能量本征值：2222(0)022kkkEUmm00U 令13相應(yīng)的波函數(shù)：(0)1ikxkeL正交歸一性：(0)(0)0Lkkk kdxk k一級(jí)微擾方程：(1)(0)(0)(1)(1)(0)0kkkkkkHHEE令(1)(1)(0)ka代入上式(1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(1)(0)kkkkaEHEaE兩

9、邊同左乘 并積分得(0)k(1)(0)(0)(1)(1)kkk kkkkk kaEHEaE14當(dāng) k = k 時(shí)，(1)(0)(0)0LkkkkkEHHdxk H k(1)0012exp0LikxikxknnnxEeUie dxLa當(dāng) k k 時(shí)，(1)(0)(0)k kkkkHaEE由于一級(jí)微擾能量一級(jí)微擾能量 Ek(1)0，所以還需用二級(jí)微擾方程來求出二級(jí)微擾能量，方法同上。 令(2)(2)(0)ka代入二級(jí)微擾方程中可求得15補(bǔ)充：補(bǔ)充：按照量子力學(xué)一般微擾理論的結(jié)果，本征值的一、二 級(jí)修正項(xiàng)為： (1)2200kkkkkEkU kkU kEEE 1000kkkkkkU kEE波函數(shù)的一

10、級(jí)修正為： 0UU xU以上見黃昆書 p158, 有類似的微擾推導(dǎo)162(2)(0)(0)k kkkkkkHEEE二級(jí)微擾能量：這里(0)(0)0Lk kkkHHdxk H k0012expLik xikxnnnxeUie dxLa0012expLnnnUi kkx dxLaUn 當(dāng) kk+2n/a0 當(dāng) k k+2n/a17于是，求得電子的能量為222(0)(2)(0)(0)2k kkkkkkkkHkEEEmEE22220222222nnmUkmnkka電子波函數(shù)為(0)(1)(0)(0)(0)(0)k kkkkkkkkkkHEE222202exp 2/112/ikxnnmUinx aeLk

11、kn a2 nkka 18 ikxkke ux其中 222202exp 2/112/nknmUinx auxLkkn a 容易證明 uk(x) uk(x+a)，是以 a 為周期的周期函數(shù)?？梢?，將勢(shì)能隨位置變化的部分當(dāng)作微擾而求出的近似波函將勢(shì)能隨位置變化的部分當(dāng)作微擾而求出的近似波函數(shù)的確滿足數(shù)的確滿足Bloch定理定理。這種波函數(shù)由兩部分組成：1ikxLe第一部分是波數(shù)為k的行進(jìn)平面波 第二部分是該平面波受周期場(chǎng)的影響而產(chǎn)生的散射波。因子2222212/nmULkkn a是波數(shù)為kk+2n/a的散射波的振幅。19 在一般情況下，由各原子產(chǎn)生的散射波的位相各不相同，在一般情況下，由各原子產(chǎn)生

12、的散射波的位相各不相同，因而彼此相互抵消，周期場(chǎng)對(duì)行進(jìn)平面波的影響不大，散射因而彼此相互抵消，周期場(chǎng)對(duì)行進(jìn)平面波的影響不大，散射波中各成分的振幅均較小，可以用微擾法處理。波中各成分的振幅均較小，可以用微擾法處理。 但是，如果由相鄰原子所產(chǎn)生的散射波（即反射波）成分有相同的位相，如行進(jìn)平面波的波長(zhǎng) 2/k正好滿足條件 2an 時(shí)，相鄰兩原子的反射波就會(huì)有相同的位相，它們將相互加強(qiáng)，從而使行進(jìn)的平面波受到很大干涉。這時(shí)，周期場(chǎng)的影響就不能當(dāng)作微擾了當(dāng)(0)(0)(0)2/kkkn aEEE時(shí)，2222222knkmma即散射波中，這種成分的振幅變得無限大，一級(jí)修正項(xiàng)20太大，微擾不適用了。由上式可

13、求得nka 2na或這實(shí)際上是 Bragg 反射條件 2asinn 在正入射情況（ sin1 ）的結(jié)果。2. 簡(jiǎn)并微擾簡(jiǎn)并微擾(0)(0)(0)2/kkkn aEEE當(dāng)時(shí)，非簡(jiǎn)并微擾已不適用。2222222knkmma2222nkknkGa21這正是布里淵區(qū)邊界方程。也就是說，在布里淵區(qū)邊界上nka 2nnkkaa 這時(shí)，這兩個(gè)態(tài)的能量相等，為簡(jiǎn)并態(tài)。必須用簡(jiǎn)并微必須用簡(jiǎn)并微擾來處理擾來處理?？梢哉J(rèn)為(0)1ikxkeL(0)1ik xkeL和互為行進(jìn)波和反射波，因此零級(jí)近似的波函數(shù)是這兩個(gè)波的線性組合。實(shí)際上，在 k和 k接近布里淵區(qū)邊界時(shí)，即11nkanka 1 22時(shí)，散射波已經(jīng)相當(dāng)強(qiáng)了

14、，因此，零級(jí)近似的波函數(shù)也必須寫成(0)(0)(0)11ikxik xkkABAeBeLL代入Schrdinger方程(0)(0)0HHE(0)(0)(0)(0)0kkkkHHABE AB 利用(0)(0)(0)0kkkHE和(0)(0)(0)0kkkHE得(0)(0)(0)(0)0kkkkA EEHB EEH23(0)(0)00kkkk kkEEAHBHAEEB由于k knHk H kU2=+kkna當(dāng)時(shí)kknHk H kk H kU(0)(0)00knnkEEA U BU AEEB上式分別左乘k(0)*或k(0)* ，并積分得24解得22(0)(0)(0)(0)142kkkknEEEEEU

15、這里22222(0)122kknEmma 22222(0)122kknEmma 方程組有非零解的條件，即久期方程為(0)(0)0knnkEEUUEE25(1) (0)(0)kknEEU 這表示k和k離布里淵區(qū)邊界還較遠(yuǎn)，因而 k 態(tài)和 k 態(tài)的能量還有較大的差別，這時(shí)將上式作Taylor展開得：2(0)(0)(0)nkkkUEEEE2(0)(0)(0)nkkkUEEEE（設(shè) 0） 對(duì)應(yīng)于Ek(0) Ek(0)的情況，上式的結(jié)果與前面所討論的非簡(jiǎn)并微擾計(jì)算的結(jié)果相似，只不過當(dāng)行進(jìn)波為 k 態(tài)時(shí)，在所產(chǎn)生的散射波中只保留了 k 態(tài)的影響；而當(dāng)行進(jìn)波為 k 態(tài)時(shí)，只保留了 k 態(tài)的影響。即只考慮 k

16、 和 k 在微擾中的相互影響，而將影響小的其他散射波忽略不計(jì)了。影響的結(jié)果是使原來能量較影響的結(jié)果是使原來能量較高的高的 k 態(tài)能量升高，而能量較低的態(tài)能量升高，而能量較低的 k 態(tài)的能量降低，態(tài)的能量降低，26即微擾的結(jié)果使即微擾的結(jié)果使 k 態(tài)和態(tài)和 k 態(tài)的能量差進(jìn)一步加大態(tài)的能量差進(jìn)一步加大。(2)(0)(0)kknEEU這表示 k 和 k很接近布里淵區(qū)邊界的情況，將E展開得2(0)(0)(0)(0)1224kkkknnEEEEEUU由2222(0)112knnETma2222(0)112knnETma 和27其中 為在布里淵區(qū)邊界處自由電子的動(dòng)能。 222nnTmanka 得221n

17、nnnnTUETUT 221nnnnnTUETUT 以上的結(jié)果表明，兩個(gè)相互影響的態(tài) k 和 k，微擾后的能量分別為 E和 E，當(dāng) 0時(shí)， k態(tài)的能量比 k 態(tài)高，微擾后使 k 態(tài)的能量升高，而 k 態(tài)的能量降低。當(dāng) 0時(shí)， 分別以拋物線的方式趨于TnUn。E28對(duì)于 0， k 態(tài)的能量比 k 態(tài)高，微擾的結(jié)果使k態(tài)的能量升高，而 k態(tài)的能量降低。從以上的分析說明，由于周期場(chǎng)的微擾，由于周期場(chǎng)的微擾，E(k)函數(shù)將在布里函數(shù)將在布里淵區(qū)邊界淵區(qū)邊界 k= n /a 處出現(xiàn)不連續(xù)，能量的突變?yōu)樘幊霈F(xiàn)不連續(xù)，能量的突變?yōu)?gnEEEU這個(gè)能量突變稱為能隙，即禁帶寬度，這是周期場(chǎng)作用的結(jié)果。而在離布

18、里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)處，電子的能量近似等于自由處，電子的能量近似等于自由電子的能量，且是電子的能量，且是 k 的連續(xù)函的連續(xù)函數(shù)數(shù)，這時(shí)周期場(chǎng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響很小，電子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)與自由電子基本相同。Ek(0)Ek(0)EETnTn29見黃昆書 p166量子力學(xué)中，在微擾作用下，兩個(gè)相互影響的能級(jí)，總是量子力學(xué)中，在微擾作用下，兩個(gè)相互影響的能級(jí)，總是原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了能級(jí)間能級(jí)間“排斥作用排斥作用”。30近自由電子模型的主要結(jié)果： 見Kittel 8版p1173132一、方程與微擾計(jì)算一、方程與微擾計(jì)算 222UEm

19、 rrr方程：周期場(chǎng)： UUrrRR為格矢Fourier展開： 00ninnUUU eG rr 0()1VUUdVr勢(shì)能函數(shù)的平均值 ()1ninVUUedVG rr微小量6.3 三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似33 22220022ninnHUUU emm G rr0HH22220022HUmm 零級(jí)近似：00U 令微擾項(xiàng)：0ninnHU e G r可由自由電子求出零級(jí)近似的歸一化波函數(shù)和能量本征值 22(0)2kEmk (0)1ieVk rkr34與一維情況類似，一級(jí)微擾能量為 (1)EHkkk()010niiinVneU eedVG rk rk r

20、一級(jí)修正的波函數(shù)和二級(jí)微擾能量分別為 (1)(0)(0)(0)HEEkkkkkkrrkk2222021ninnnmUeVkk GrkG 22(2)2(0)(0)22202nnnHmUEEEkkkkkkkkkG35其中()01niinVnHeU edVkk rG rkk0nU當(dāng) kkGn當(dāng) k kGn 當(dāng)當(dāng) k 離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)時(shí)，由于周期場(chǎng)的影響而離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)時(shí)，由于周期場(chǎng)的影響而產(chǎn)生的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微擾。產(chǎn)生的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微擾。但是，在布里淵區(qū)邊界面上或其附近時(shí)，即當(dāng)?shù)?，在布里淵區(qū)邊界面上或其附近時(shí)，即當(dāng)k2 (k+Gn)2時(shí)，這時(shí)

21、相應(yīng)的散射波成分的振幅變得很大，不能當(dāng)作時(shí)，這時(shí)相應(yīng)的散射波成分的振幅變得很大，不能當(dāng)作小的微擾來處理，而要用簡(jiǎn)并微擾來處理。小的微擾來處理，而要用簡(jiǎn)并微擾來處理。 零級(jí)近似的波函數(shù)由相互作用強(qiáng)的幾個(gè)態(tài)的線性組合來組成，由此可解得在布里淵區(qū)邊界面上簡(jiǎn)并分裂后的能量為 (0)nEEUk36 需要指出的是，在三維情況下，在布里淵區(qū)邊界面上的一般位置，電子的能量是二重簡(jiǎn)并的，即有兩個(gè)態(tài)的相互作用強(qiáng)，其零級(jí)近似的波函數(shù)就由這兩個(gè)態(tài)的線性組合組成；而在布里淵區(qū)邊界的棱邊上或頂點(diǎn)上，則可能出現(xiàn)能量多重簡(jiǎn)并的情況。對(duì)于 g 重簡(jiǎn)并，即有 g 個(gè)態(tài)的相互作用強(qiáng)，因而，其零級(jí)近似的波函數(shù)就需由這 g 個(gè)相互作用

22、強(qiáng)的態(tài)的線性組合組成，由此解出簡(jiǎn)并分裂后的 g 個(gè)能量值。kk1k2k3kk3k2k1k4k5k6k7kxky37二、布里淵區(qū)與能帶二、布里淵區(qū)與能帶 引入周期性邊界條件后，在k空間中，波矢k的取值不連續(xù)，k的取值密度為 38VkV為晶體體積而簡(jiǎn)約區(qū)的體積倒格子原胞體積 b簡(jiǎn)約區(qū)中 k 的取值總數(shù)(k) bN晶體原胞數(shù) 每一個(gè) k 確定一個(gè)電子能級(jí)，根據(jù) Pauli 原理，每一個(gè)能級(jí)可以填充自旋相反的兩個(gè)電子。因此，簡(jiǎn)約區(qū)中共可填充 2N 個(gè)電子。 由于每一個(gè)布里淵區(qū)的體積都等于倒格子原胞體積b，所以，每一個(gè)布里淵區(qū)都可以填充 2N 個(gè)電子。381. En(k)函數(shù)的三種圖象函數(shù)的三種圖象 在

23、 k 空間中，電子能量 En(k) 函數(shù)有三種不同的表示方式，稱為三種布里淵區(qū)圖象。這三種表示方法是等價(jià)的，可根據(jù)所考慮問題的方便選擇不同的表示方法。 若波矢量 k 在整個(gè) k 空間中取值，這時(shí)每一個(gè)布里淵區(qū)中有一個(gè)能帶，第第 n 個(gè)能帶在第個(gè)能帶在第 n 個(gè)布里淵區(qū)中，這種個(gè)布里淵區(qū)中，這種表示法稱為擴(kuò)展的布里淵區(qū)圖象。表示法稱為擴(kuò)展的布里淵區(qū)圖象。39若將波矢量 k 限制在簡(jiǎn)約區(qū)中，由于 k 和k+Gl所對(duì)應(yīng)的平移算符本征值相同，也就是說，k 和 k+Gl標(biāo)志的原胞間電子波函數(shù)的位相變化相同。在這個(gè)意義上，可以認(rèn)為 k 和k+Gl是等價(jià)的。因此，可以將 k 限制在簡(jiǎn)約區(qū)中。但是由于電子的能

24、量分為若干個(gè)能帶，如將所有能帶都表示在簡(jiǎn)約區(qū)中，那么，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)約波矢 k，就有若干個(gè)分立的能量值與之對(duì)應(yīng)。我們用 n來區(qū)分不同的能帶 En(k)。對(duì)于給定的能帶 n， En(k)是 k的連續(xù)函數(shù)。40En(k)的這種表示法稱為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖象簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖象。實(shí)際上，由于我們認(rèn)為 k和 k+Gl 等價(jià)，因而， En(k)的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖象中的第 n 個(gè)能帶，實(shí)際上是由擴(kuò)展布里淵區(qū)圖象中從第 n個(gè)布里淵區(qū)中平移一個(gè)倒格矢 Gl 而得來的。 由于認(rèn)為 k 和 k+Gl 等價(jià)，因而可以認(rèn)為 En(k)是 k空 間中以倒格矢Gl為周期的周期函數(shù)，即En(k) En(k Gl)。而簡(jiǎn)約布里淵區(qū)是倒易空

25、間的原胞，以此原胞為重復(fù)單元進(jìn)行平移操作可以得到整個(gè) k 空間，這些單元都是等價(jià)的。因此，對(duì)于同對(duì)于同一能帶一能帶有： En(k) En(k Gl)41一維能帶結(jié)構(gòu)的一維能帶結(jié)構(gòu)的3種不同表示（種不同表示（a）能帶的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)）能帶的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)表示；（表示；（b）能帶的周期性表示；（）能帶的周期性表示；（c）能帶的擴(kuò)展布里）能帶的擴(kuò)展布里淵區(qū)表示淵區(qū)表示42En(k) 的這種表示法稱為周期布里淵區(qū)圖象。擴(kuò)展布里淵區(qū)圖象：不同的能帶在擴(kuò)展布里淵區(qū)圖象：不同的能帶在k空間中不同的布里空間中不同的布里 淵區(qū)中給出；淵區(qū)中給出；簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖象：所有能帶都在簡(jiǎn)約區(qū)中給出；簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖象：所有能帶

26、都在簡(jiǎn)約區(qū)中給出；周期布里淵區(qū)圖象：在每一個(gè)布里淵區(qū)中給出所有能帶。周期布里淵區(qū)圖象：在每一個(gè)布里淵區(qū)中給出所有能帶。2. 能帶重疊的條件能帶重疊的條件 我們已證明，在布里淵區(qū)內(nèi)部，電子能量是連續(xù)的（嚴(yán)格應(yīng)為準(zhǔn)連續(xù)），而在布里淵區(qū)邊界上，電子能量不連續(xù)，會(huì)發(fā)生能量的突變。在一維情況下，布里淵區(qū)邊界上能量的突變?yōu)椋篍EE2Un這就是禁帶的寬度（能隙）。43 但在三維情況下，在布里淵區(qū)邊界上電子能量的突變但在三維情況下，在布里淵區(qū)邊界上電子能量的突變并不意味著能帶間一定有禁帶的存在，而且還可能發(fā)生能并不意味著能帶間一定有禁帶的存在，而且還可能發(fā)生能帶與能帶的交疊帶與能帶的交疊。這是由于在三維情況下，在布里淵區(qū)邊界上沿不同的 k 方向上，電子能量的不連續(xù)可能出現(xiàn)的不同的能量范圍。因此，在某些 k 方向上不允許有某些能量值，而在其他 k 方向上仍有可能允許有這種能量，所以，在布里淵區(qū)邊界面上能量的不連續(xù)并不一定意味著有禁帶。這是三維情況與一維情況的一個(gè)重要區(qū)別。能帶交迭的示意圖44小結(jié)：小結(jié)：近自由電子近似的主要結(jié)果：近自由電子近似的主要結(jié)果： 存在能帶和禁帶：存在能帶和禁帶： 在零