2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，然后根據(jù)實(shí)部為0可得.【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，得.故選：B2．設(shè)，，，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)a，正切二倍角公式和放縮放化簡(jiǎn)b，余弦二倍角公式化簡(jiǎn)c，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較可得.【詳解】，，，當(dāng)，單調(diào)遞增，所以，所以.故選：C3．已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積定義先計(jì)算，然后由投影向量定義可得.【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以，所以在上的投影向量為.故選：D4．在中，平分，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】記，在中，，在中，，由平分，得到或，當(dāng)時(shí)，求得；當(dāng)時(shí)，得，再由，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果．【詳解】如圖，記，

在中，，則，在中，，則,∵平分，∴，∴，∴，∴∴，∴∴，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，∴，，∴；當(dāng)時(shí)，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∵，∴的最小值為.故選：C.5．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，E是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】由題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為過E且垂直的平面與正四棱錐的交線，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，設(shè)交于，連接，由正四棱錐的性質(zhì)可得，平面，因?yàn)槠矫?，?又，，平面，故平面.由題意，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為過E且垂直的平面與正四棱錐的交線，即如圖，則平面.由線面垂直的性質(zhì)可得平面平面，又由面面平行的性質(zhì)可得，，，又E是邊的中點(diǎn)，故分別為的中位線.由題意，故.即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.

故選：A6．已知底面半徑為的圓錐，其軸截面為正三角形，若它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圓錐的軸截面，求出圓錐的高，利用三角形相似求出圓柱的高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖作出圓錐的軸截面，依題意，，，所以，易知，則，所以，即圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑，高，所以圓柱的側(cè)面積.故選：C7．已知函數(shù)在上單調(diào)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．的周期為B．若，則C．將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】B【分析】對(duì)于A，根據(jù)題意確定周期范圍，再根據(jù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱中心求解即可；對(duì)于B，由A知，結(jié)合余弦函數(shù)的最值與周期性質(zhì)判斷即可；對(duì)于C，根據(jù)三角函數(shù)平移性質(zhì)判斷即可；對(duì)于D，根據(jù)余弦函數(shù)值直接求解即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，所以的最小正周期T滿足，即，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，得，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則為，則為半周期，即，故B正確；對(duì)于C，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得的圖象，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，令，當(dāng)時(shí)，，故僅有，故D錯(cuò)誤．故選：B.8．如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，結(jié)合勾股定理，余弦定理等求解即可.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖，

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即,在中，，，由勾股定理可得：,且.

同理可求：，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，所以在中?,由余弦定理得：.故選：B.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．的虛部為－2C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何表示以及共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】，，故A不正確；的虛部為－2，故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故C正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列命題是真命題的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，，，則只有一解C．若，則D．若為銳角三角形，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A、C：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運(yùn)算分析即可；對(duì)于B：根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)的結(jié)論分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由，由正弦定理可得，則，因?yàn)?，則，可得，即，所以為等腰三角形，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，，則，所以有兩解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，有正弦定理可得，則，即，因?yàn)椋瑒t，可得，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若為銳角三角形，則，可得，且，，則在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，則，可得，所以，故D正確．故選：ACD.11．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD，，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，過A，D，E三點(diǎn)的平面與平面PBC的交線為l，則（

）A．直線l與平面PAD有一個(gè)交點(diǎn)B．C．直線PA與l所成角的余弦值為D．平面截四棱錐所得的上下兩個(gè)幾何體的體積之比為【答案】BD【分析】根據(jù)所給圖像，作中點(diǎn)，連接，則為交線l，然后根據(jù)線面平行的基本定理可判斷A；結(jié)和線面垂直的判定及性質(zhì)可判斷B；結(jié)合異面直線所成角的定義可判斷C；結(jié)和棱錐的體積公式可判斷D.【詳解】如圖，取棱PC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，因?yàn)镋是棱PB的中點(diǎn)，則，即A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則l為直線EF，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，即平面PAD，故A錯(cuò)誤；由底面ABCD，平面ABCD，所以，由，可得為等腰直角三角形，而斜邊PC的中點(diǎn)為F，所以，再由底面ABCD是正方形，易得，又，且平面PDC，所以平面PDC，又平面PDC，所以，又，且平面ADFE，所以平面ADFE，又平面ADFE，所以，故B正確；由，則直線PA與l所成的角，即PA與AD所成的角，由，則，即PA與AD所成的角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；，，所以，所以，故D正確.故選：BD.

12．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．異面直線與所成角的正切值為B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為C．過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為【答案】BC【分析】根據(jù)可得即為異面直線與所成的角，即可判斷A，作出截面，找到的軌跡，即可求出的最小值，從而判斷B，作出截面，再利用空間向量確定點(diǎn)的位置，從而求出線段的長(zhǎng)度，即可得到截面周長(zhǎng)，從而判斷C，確定球心及半徑，即可求出外接球的表面積，從而判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，在中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的正切值為．故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，為平行四邊形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過作，此時(shí)取得最小值，在中，，，，在中，，，，在中，，，，如圖，在中，．故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，再連接、，則過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，平面平面，截面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖以為原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，即且，，解得，，，，，在中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為．故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，．故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系確定點(diǎn)的位置，從而求出線段最小值及截面周長(zhǎng).三、填空題13．已知，，，則.【答案】【分析】利用向量恒等式，即可得到答案；【詳解】，，，故答案為：14．在中，，D為BC邊上一點(diǎn)，且，則的最小值為.【答案】【分析】將用表示，再平方可求得，再由結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】由，得，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將用表示，再平方是解決本題的關(guān)鍵.15．在中，、分別為、的中點(diǎn)，交于點(diǎn).若，，，則.【答案】【分析】分析可知為的重心，利用、表示向量、，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)樵谥?，、分別為、的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則為的重心，所以，，，因?yàn)?，，，由平面向量?shù)量積的定義可得，所以，.故答案為：.16．某園區(qū)有一塊三角形空地（如圖），其中，現(xiàn)計(jì)劃在該空地上劃分三個(gè)區(qū)域種植不同的花卉，若要求，則的最小值為．

【答案】【分析】根據(jù)可知點(diǎn)的軌跡，再利用正弦定理以及圓周角和圓心角之間的關(guān)系，易知當(dāng)為與圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以在如圖所示的圓上，圓的半徑為，

由圓周角的性質(zhì)可得，連接，可得，所以當(dāng)為與圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，即，又，在中，，根據(jù)余弦定理可知，所以的最小值為．故答案為：四、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別是，且滿足．(1)求C；(2)若，的面積為，求邊長(zhǎng)c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理化簡(jiǎn)得到，再由余弦定理求得，即可求解；（2）由的面積為，列出方程求得，結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，由余弦定理得，又因?yàn)椋裕?）解：由的面積為，所以，可得，又由，所以．18．直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，.(1)求證：平面平面ABD；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證平面，得到①，再借助三角形相似證明②，最后證出平面平面；（2）等體積法求即可.【詳解】（1）為直三棱柱，，又，，平面平面，①設(shè)，則，，，，，，故②由①②，，，且，知平面ABD又平面，平面平面ABD（2）由，得，解得的面積由（1）知平面，三棱錐的體積三棱錐的體積19．在長(zhǎng)方體中，，，E、F、G分別為AB、BC、的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；(2)點(diǎn)P在矩形內(nèi)，若直線平面，求線段長(zhǎng)度的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）等體積由可得.（2）先證平面平面，則由直線平面可得點(diǎn)P在直線上，進(jìn)而可得線段長(zhǎng)度的最小值【詳解】（1）依題意有，所以三棱錐的體積；（2）如圖，

連結(jié)，∵分別為的中點(diǎn)，∴平面，平面，∴平面∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面，∵平面，∴點(diǎn)在直線上，在中，，，∴當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，最小值為＝.20．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求；(2)若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，.設(shè)，將的面積表示為的函數(shù)，并求的取值范圍.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）由余弦定理可得，再根據(jù)余弦定理即可求解；（2）由題可得為等邊三角形，，在與中，分別由正弦定理求出，，根據(jù)三角形面積公式可得，由三角恒等變換及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所?（2）由及可知為等邊三角形.又因?yàn)椋?，所?在中，，由正弦定理可得,，即.在中，,由正弦定理可得，，即.所以.因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，所?所以，所以，所以.所以的取值范圍為.21．如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，平面，垂足為平面，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).

(1)求二面角的余弦值；(2)在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得平面，說明作法及理由，并求四面體PDEF的體積.【答案】(1)；(2)答案見解析，.【分析】（1）根據(jù)條件確定就是二面角的平面角，構(gòu)造三角形求解；（2）根據(jù)給定的條件知平面，過點(diǎn)E作PB的平行線與PA交于F，則平面PAC，再求出三棱錐的底面積和高即可.【詳解】（1）

，并且是等邊三角形，三棱錐是正三棱錐，D是的中心，點(diǎn)G是AB邊的中點(diǎn)；由平面，平面，平面，可知，平面PDG，平面PDG，所以平面，進(jìn)而得，所以就是二面角的平面角，又是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，，是等腰直角三角形，同理都是等腰直角三角形；，，，即二面角的余弦值為；（2）平面，平面，平面，同理平面，又平面，，與點(diǎn)P，D，C共面，即E點(diǎn)在線段PG上，又，，，過E點(diǎn)在平面PAB內(nèi)作PB的平行線，與PA交于F，則平面，也是等腰直角三角形，，又平面PAB，平面PAB，，將作為底面，則ED是三棱錐的高，，即四面體的體積為.22．已知點(diǎn)是銳角的外心，分別為角的對(duì)邊，，(1)求角；(2)若，求面積的最大值；(3)若，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理求出的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的最大值；（3）由題意