一階線性微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 一階線性微分方程 第四節(jié) 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPCyd)(e稱為齊次方程齊次方程 ;目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxPCyd)(e對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數變易法常數變易法:,e)()()(xxPxu

2、xyd則xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數變易法常數變易法求特解.,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解

3、為Cxxy232) 1(32) 1(令目錄 上頁 下頁 返回 結束 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例例2. 有一電路如圖所示, ,sintEEm電動勢為電阻 R 和電. )(tiLERQ解解: 列方程 .已知經過電阻 R 的電壓降為R i 經過 L的電壓降為tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始條件: 00ti由回路電壓定律:其中電源求電流感 L 都是常量,目錄 上頁 下頁 返回 結束 解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始條件: 00ti得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintL

4、RmCtLtRLREe)cossin(222ttLRdedC利用一階線性方程解的公式可得LERQ目錄 上頁 下頁 返回 結束 tLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanRL因此所求電流函數為解的意義: LERQ目錄 上頁 下頁 返回 結束 0d2d3yyxyyxx例例3. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同號,d2d, 0,xxxyx此時不妨設yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式通解公式 , 得exyy2de1(yyy2d故方程可變形為y

5、y1y1 lndCy 所求通解為 )0(eCCyyxyCyln這是以x為因變量 y 為自變量的一階線性方程Cylnd)0(C目錄 上頁 下頁 返回 結束 *二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的標準形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令

6、,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數變易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd,1 nyu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如, 解方程yxxy1ddyxyxdd, yxu, xuy1ddddxu

7、xy法法1. 取 y 作自變量: 線性方程 法法2. 作變換 則 代入原方程得 ,11dduxuuuxu1dd可分離變量方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2

8、 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 作業(yè)第五節(jié) 習題課1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題1. 求一連續(xù)可導函數)(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxfcos)()(0)0(f線性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解.解解: 1) 先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用00 xy得21C故有) 10(e22xyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 再解定解問題1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齊次線性方程的通解為) 1(e2xCyx利用銜接條件得) 1(e22C因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原問題的解為y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10(e22xyx( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士數學家, 位數學家. 標和極坐標下