論文四(聞鋒)

1、論文四：數(shù)列的題型與方法 東城：聞鋒一、 考點(diǎn)回顧1數(shù)列的概念，數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推關(guān)系式差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì).2判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常用三種方法：(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法：若，則為等差數(shù)列；若，則為等比數(shù)列。中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證都成立。3.在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：(1)當(dāng),d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng),d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組求和法、累加累積法、歸納猜

2、想證明法等。5.數(shù)列的綜合應(yīng)用：函數(shù)思想、方程思想、分類討論等思想在解決數(shù)列綜合問(wèn)題時(shí)常常用到。數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合、用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題等內(nèi)容。6注意事項(xiàng)：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義法，即通過(guò)證明或而得。在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。對(duì)于一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。注意一些特殊數(shù)列的求和方法。注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：=，=數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開(kāi)數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)迅速打通解題思路解綜合題的成敗在于審清

3、題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略通過(guò)解題后的反思，找準(zhǔn)自己的問(wèn)題，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，吸取失敗的教訓(xùn)，增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、 經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)全國(guó)各地名校精題1. （1）數(shù)列an和bn滿足 （n=1，2，3），（1）求證bn為等差數(shù)列的充要條件是an為等差數(shù)列。 （2）數(shù)列an和cn滿足，探究為等差數(shù)列的充分必要條件。提示：設(shè)數(shù)列bn為分析：本題第（1）問(wèn)的充要條件的解決可以分別設(shè)出等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)；對(duì)探究問(wèn)題我們通常采用的是先假設(shè)再論證。證

4、明：（1）必要性 若bn為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)b1，公差d則an為是公差為的等差數(shù)列充分性 若an為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1，公差d則當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1也適合bn+1bn=2d， bn是公差為2d的等差數(shù)列 （2）結(jié)論是：an為等差數(shù)列的充要條件是cn為等差數(shù)列且bn=bn+1其中 （n=1，2，3） 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，但解決起來(lái)有一定的難度，同時(shí)還需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)一步深入下去。全國(guó)各地名校精題2.已知數(shù)列的首項(xiàng)（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項(xiàng)，（）。 （1）證明：從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)a0時(shí)，求數(shù)列的最

5、小項(xiàng)。分析：第（1）問(wèn)用定義證明，進(jìn)一步第（2）問(wèn)也可以求出，第（3）問(wèn)由的不同而要分類討論。解：（1）(n2)由得，即從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。（2）當(dāng)n2時(shí)，是等比數(shù)列, (n2)是常數(shù)，3a+4=0，即 。（3）由（1）知當(dāng)時(shí)，所以，所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為8a-1；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a-1；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a+1；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為2a+1。 點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。考點(diǎn)二：求數(shù)列的通項(xiàng)與求和全國(guó)各地名校精題3.已知數(shù)列中各項(xiàng)為：

6、12、1122、111222、 （1）證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積. （2）求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn . 分析：先要通過(guò)觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步再求和。解：（1）個(gè)記：A = , 則A=為整數(shù)= A (A+1) ， 得證 (2) 點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，再將這個(gè)通項(xiàng)“分成” 兩個(gè)相鄰正數(shù)的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。全國(guó)各地名校精題4.(2010年深圳市) 已知數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：對(duì)任意的，分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中

7、不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。解：（），又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即. （） （）， 當(dāng)時(shí)，則， 對(duì)任意的， 點(diǎn)評(píng)：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項(xiàng)，第三問(wèn)不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點(diǎn)要重點(diǎn)講到?？键c(diǎn)三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系全國(guó)各地名校精題5.（2010年莆田四中）已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項(xiàng). 求函數(shù)的表達(dá)式； 求證：； 求證：分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問(wèn)的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問(wèn)是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解： 又為銳角都大于0, , 又點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清

8、晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問(wèn)不等式的證明更具有一般性。全國(guó)各地名校精題6.已知數(shù)列滿足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（）證明：分析：本例（1）通過(guò)把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問(wèn)關(guān)鍵在如何放縮。解：（1），故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。，（2），得，即得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設(shè)，則 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來(lái)解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探索，多角度的思考問(wèn)題。全國(guó)各地名校精題7. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（） （）若則當(dāng)n2時(shí),.分析：第

9、（1）問(wèn)是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問(wèn)可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問(wèn)進(jìn)行放縮。解：()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因?yàn)?所以,即0,從而() 因?yàn)?,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以 = .由 兩式可知: .

10、點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意?？键c(diǎn)四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系全國(guó)各地名校精題8.已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l， (1)寫(xiě)出、的值; (2)試比較與的大小，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當(dāng)n2時(shí),Sn(2n1)分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗?因?yàn)樗耘c同號(hào)，因?yàn)?，即?）當(dāng)時(shí)，所以，所以 點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。全國(guó)各地名校精題9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列An，Bn，Cn，其中，滿足向量與向量共線，且點(diǎn)（B

11、，n）在方向向量為（1，6）的線上 （1）試用a與n表示； （2）若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值，試求a的取值范圍。分析：第（1）問(wèn)實(shí)際上是求數(shù)列的通項(xiàng)；第（2）問(wèn)利用二次函數(shù)中求最小值的方式來(lái)解決。解：（1）又Bn在方向向量為（1，6）的直線上，（2）二次函數(shù)是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的拋物線又因?yàn)樵赼6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列an的最小項(xiàng)，對(duì)稱軸 點(diǎn)評(píng)：本題是向量、二次函數(shù)、不等式知識(shí)和交匯題，要解決好這類題是要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的。全國(guó)各地名校精題10.已知，若數(shù)列an成等差數(shù)列. （1）求an的通項(xiàng)an; （2）設(shè) 若bn的前n項(xiàng)和是Sn，且分析：觀察數(shù)列特征，利用等差數(shù)列基本

12、條件，得出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求解.解：解：設(shè)2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差為d，則2n+4=2+(n+21)dd=2, （2）， 點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的求和，不等式的放縮，有一定的綜合性。全國(guó)各地名校精題11.數(shù)列和數(shù)列（）由下列條件確定：（1），；（2）當(dāng)時(shí)，與滿足如下條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.解答下列問(wèn)題：（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若已知當(dāng)時(shí)，求.（）是滿足的最大整數(shù)時(shí)，用，表示滿足的條件.分析：利用條件及第（）小題的結(jié)論提示，找出的關(guān)系，是入手的關(guān)鍵之處.解：（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以不論哪種情況，都有，又顯然，故數(shù)列是

13、等比數(shù)列（）由（）知，故，所以所以，又當(dāng)時(shí)，故.（）當(dāng)時(shí)，由（2）知不成立，故，從而對(duì)于，有，于是，故，若，則，所以，這與是滿足的最大整數(shù)矛盾.因此是滿足的最小整數(shù).而，因而，是滿足的最小整數(shù). 點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，但試題分為三個(gè)小問(wèn)，降低了坡度，是的入手較為容易，而且步步深入，前一問(wèn)題的結(jié)論為后一問(wèn)題做鋪墊，考生在解題中要充分注意這種“便利條件”.全國(guó)各地名校精題12.已知數(shù)列中，（1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)； （3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮anSnSn1(n2)解：（1）（2）得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證

14、：只需證若，則顯然成立若，則所以因此：所以所以 點(diǎn)評(píng)：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.三、 方法總結(jié)與2011年高考預(yù)測(cè)（一）方法總結(jié)1. 求數(shù)列的通項(xiàng)通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過(guò)觀察求通項(xiàng)；一是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng)。2. 數(shù)列中的不等式問(wèn)題是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式；數(shù)學(xué)歸納法；有的還要用到條件不等式。3. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交融的題，這應(yīng)是命題的一個(gè)方向。（二）2011年高考預(yù)測(cè)1. 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見(jiàn)的題目，要切實(shí)注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在考試說(shuō)明中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)”。但實(shí)際上，從近兩年各地高考試題來(lái)看，是加大了對(duì)“遞推公式”的考查。2. 探索性問(wèn)題在數(shù)列中考查較多，試題沒(méi)有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問(wèn)題對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力有較高的要求.3. 等差、等