解析幾何中最值問題的解題策略

1、解析幾何中最值問題的解題策略圓錐曲線中最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法。其中，代數(shù)法是建立求解目標(biāo)關(guān)于某個(gè)或某兩個(gè)變量的函數(shù)，通過運(yùn)用基本不等式或構(gòu)造函數(shù)等來求解函數(shù)的最值。下面我們來介紹運(yùn)用基本不等式的方法來解決圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)。例題1.已知，橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)，直線的斜率為，是坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程。解：（1）（2）由題意直線的斜率存在，設(shè)聯(lián)立消得，原點(diǎn)到直線的距離所以當(dāng)即時(shí)，取等號，此時(shí)先來解析這道題，應(yīng)用了兩個(gè)公式：一.弦長公式二.基本不等式我們運(yùn)用這兩個(gè)知識來證明該題型具有的一般性結(jié)論例題2.已知，設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直

2、線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程。解：由題意直線的斜率存在，設(shè)聯(lián)立消得，原點(diǎn)到直線的距離所以 當(dāng)，取等號。由此我們得出一個(gè)一般性結(jié)論：若直線的斜率當(dāng)時(shí)，有最大值若直線的截距且滿足，當(dāng)時(shí)，有最大值若，當(dāng)時(shí)，取不到最大值，此時(shí)不能用基本不等式求最值。我們得探索其他求最值的方法，用構(gòu)造函數(shù)法或放縮法可以證明，當(dāng)時(shí)，有最大值，下面我們再看一道例題。例題3已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn), 求面積的最大值（1）設(shè)圓的半徑為, 圓心的坐標(biāo)為， 由于動(dòng)圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，

3、結(jié)合圖像可知，動(dòng)圓與圓只能內(nèi)切.且則.所以圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓, 且, 則.所以曲線的方程為. （2）設(shè)，直線的方程為，由 可得，則. 所以 因?yàn)?，所以的面積等于的面積. 點(diǎn)到直線的距離. 所以的面積.令，則 ，. 設(shè)，則.因?yàn)? 所以所以在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí), 取得最小值, 其值為.所以的面積的最大值為. 說明: 的面積.例題4已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線的焦點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn)在該橢圓上。（1）求橢圓E的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，當(dāng)ABC的面積最大時(shí)，求直線的方程。例題5設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2,0），B（0,1）是它的

4、兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx（k>0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E,F兩點(diǎn)。（1），求k的值；（2）求四邊形AEBF面積的最大值；例題6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1（1，0），P為橢圓G的上頂點(diǎn)，且PF1O=45°（）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知直線l1：y=kx+m1與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，直線l2：y=kx+m2（m1m2）與橢圓G交于C，D兩點(diǎn)，且|AB|=|CD|，如圖所示（）證明：m1+m2=0；（）求四邊形ABCD的面積S的最大值12（）根據(jù)F1（1，0），PF1O=45°，可得b=c=1，從而a2=b2+c2=2，故可得橢

5、圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）（）直線l1：y=kx+m1與橢圓G聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求AB，CD的長，利用|AB|=|CD|，可得結(jié)論；（）求出兩平行線AB，CD間的距離為d，則 ，表示出四邊形ABCD的面積S，利用基本不等式，即可求得四邊形ABCD的面積S取得最大值【解析】： （）解：設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)镕1（1，0），PF1O=45°，所以b=c=1所以，a2=b2+c2=2（2分）所以，橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（3分）（）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）（）證明：由消去y得：則，（5分）所以 =同理 （7分）因?yàn)閨AB|=|CD|，所以 因?yàn)?m1m2，所以m1+m2=0（9分）（）解：由題意得四邊形AB