試題分析詳解和評(píng)注

1、2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試題及答案一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 .【分析】 本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導(dǎo)數(shù)為1可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)?！驹斀狻?由，得x=1, 可見(jiàn)切點(diǎn)為，于是所求的切線方程為 ， 即 .【評(píng)注】 本題也可先設(shè)切點(diǎn)為，曲線y=lnx過(guò)此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 .（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= .【分析】 先求出的表達(dá)式，再積分即可?！驹斀狻?令，則，于是有 ， 即 積分得 . 利用初始條件f(1)=0,

2、 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)= .（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分?！驹斀狻?正向圓周在第一象限中的部分，可表示為 于是 =（4）歐拉方程的通解為 .【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可?！驹斀狻?令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 （5）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)【詳解】 已知等式兩邊同時(shí)右乘A，得， 而，于是

3、有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式為 （6）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .【分析】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算即可?！驹斀狻?由題設(shè)，知，于是 = =二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）把時(shí)的無(wú)窮小量，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序即可.【詳解】 ，可排除(C),(D)選項(xiàng)，又 =，可見(jiàn)是比低階的無(wú)窮小量，故應(yīng)選

4、(B).（8）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對(duì)任意的有f(x)>f(0) . (D) 對(duì)任意的有f(x)>f(0) . C 【分析】 函數(shù)f(x)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項(xiàng)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性進(jìn)行分析即可?！驹斀狻?由導(dǎo)數(shù)的定義，知 ，根據(jù)保號(hào)性，知存在，當(dāng)時(shí)，有 即當(dāng)時(shí)，f(x)<f(0); 而當(dāng)時(shí)，有f(x)>f(0). 故應(yīng)選(C).（9）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (A) 若=0，則級(jí)數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得

5、，則級(jí)數(shù)發(fā)散.(C) 若級(jí)數(shù)收斂，則. (D) 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 【分析】 對(duì)于斂散性的判定問(wèn)題，若不便直接推證，往往可用反例通過(guò)排除法找到正確選項(xiàng).【詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級(jí)數(shù)收斂，但，排除(C), 故應(yīng)選(B).（10）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導(dǎo)，再代入t=2求即可。關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，得 =于是，從而有 ，故應(yīng)選(B).（11）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B

6、,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對(duì)A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個(gè)相應(yīng)的初等矩陣，而Q即為此兩個(gè)初等矩陣的乘積?！驹斀狻坑深}設(shè)，有 ， ，于是， 可見(jiàn)，應(yīng)選(D).（12）設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). (B) A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). (C) A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). (D) A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). A 【分析】A,B的行列向量組是否線性

7、相關(guān)，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進(jìn)行分析討論.【詳解1】 設(shè)A為矩陣，B 為矩陣，則由AB=O知， . 又A,B為非零矩陣，必有r(A)>0,r(B)>0. 可見(jiàn)r(A)<n, r(B)<n, 即A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).【詳解2】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，而B為非零矩陣，即Ax=0存在非零解，可見(jiàn)A的列向量組線性相關(guān)。同理，由AB=O知，于是有的列向量組，從而B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).（13）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對(duì)給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A) . (B

8、) . (C) . (D) . C 【分析】 此類問(wèn)題的求解，可通過(guò)的定義進(jìn)行分析，也可通過(guò)畫出草圖，直觀地得到結(jié)論?！驹斀狻?由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對(duì)稱性知，于是即有 ，可見(jiàn)根據(jù)定義有，故應(yīng)選(C).（14）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為 令，則(A) Cov( (B) . (C) . (D) . A 【分析】 本題用方差和協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可，注意利用獨(dú)立性有：【詳解】 Cov( =（15）（本題滿分12分）設(shè), 證明.【分析】 根據(jù)要證不等式的形式，可考慮用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用單調(diào)性證明.【證法1】 對(duì)函數(shù)在a,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 設(shè)，則， 當(dāng)t

9、>e時(shí)， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設(shè)，則 ， ,所以當(dāng)x>e時(shí)， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加.因此當(dāng)時(shí)，即 ，故 .（16）（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h. 經(jīng)測(cè)試，減速傘打開(kāi)后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為 問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).【分析】 本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可?！驹斀?】

10、 由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時(shí)的水平速度. 從飛機(jī)接觸跑道開(kāi)始記時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當(dāng)時(shí)， 所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 或由，知，故最長(zhǎng)距離為當(dāng)時(shí)，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當(dāng)時(shí)，所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.（17）（本題滿分12分）計(jì)算曲面積分 其中是曲面的上側(cè).【分析】 先添加一曲面使之與原

11、曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加的曲面上應(yīng)用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 （18）（本題滿分11分）設(shè)有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.【分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調(diào)性證明惟一性。而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可用比較法判定。【證】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程存在正實(shí)數(shù)根當(dāng)x>0時(shí)，可見(jiàn)在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實(shí)數(shù)根由與知 ，故當(dāng)時(shí)，.而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂. （19）（本題滿分12分）設(shè)z=z(x,y)是由確

12、定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.【分析】 可能極值點(diǎn)是兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點(diǎn)即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值.【詳解】 因?yàn)?，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(diǎn)(9,3)是z(x,y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(diǎn)(-9, -3)是z(x,y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(-9, -3)= -3.（20）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問(wèn)a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】 本題是方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對(duì)

13、系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進(jìn)而判斷是否有非零解；或直接計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行列式的值必為零，由此對(duì)參數(shù)a的可能取值進(jìn)行討論即可。【詳解1】 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當(dāng)a=0時(shí)， r(A)=1<n，故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)矩陣B作初等行變換，有 可知時(shí)，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【詳解2】 方程組的系數(shù)行列式為 .當(dāng)，即a=0或時(shí)，方程組有非零解.當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方

14、程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).（21）（本題滿分9分） 設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值，并討論A是否可相似對(duì)角化.【分析】 先求出A的特征值，再根據(jù)其二重根是否有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，確定A是否可相似對(duì)角化即可.【詳解】 A的特征多項(xiàng)式為 =當(dāng)是特征方程的二重根，則有 解得a= -2.當(dāng)a= -2時(shí)，A的特征值為2,2,6, 矩陣2E-A=的秩為1，故對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而A可相似對(duì)角化。若不是特征方程的二

15、重根，則為完全平方，從而18+3a=16，解得 當(dāng)時(shí)，A的特征值為2，4，4，矩陣4E-A=秩為2，故對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)，從而A不可相似對(duì)角化。(22)（本題滿分9分）設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且，令 求：（I）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關(guān)系數(shù)【分析】 先確定(X,Y)的可能取值，再求在每一個(gè)可能取值點(diǎn)上的概率，而這可利用隨機(jī)事件的運(yùn)算性質(zhì)得到，即得二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進(jìn)而可計(jì)算出相關(guān)系數(shù)。【詳解】 （I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 (II) X, Y的概率