第3章離散傅立葉變換

1、第3章 離散傅立葉變換3.1 離散傅里葉變換的定義 3.1.1 DFT的定義、DFT與Z變換（ZT）、傅里葉變換（FT）的關系及DFT的物理含義1、DFT的定義設是一個長度為M的有限長序列， 則定義的N點離散傅里葉變換為的離散傅里葉逆變換為，稱為旋轉(zhuǎn)因子，稱為DFT變換區(qū)間的長度，NM例 ，求的8點和16點DFT 設變換區(qū)間N=8， 則設變換區(qū)間N=16， 則2、DFT與Z變換（ZT）、傅里葉變換（FT）的關系設序列的長度為N， 其ZT和FT分別為：比較上面二式可得關系式物理含義：序列的的DFT的物理意義是對的頻譜在上的等間隔采樣，采樣間隔為，即對序列頻譜的離散化。結論：(1):DFT變換區(qū)間

2、長度不同，變換結果不同，一旦確定，與一一對應；（2）當足夠大時，的包絡包絡可逼近（3）表示頻率點處的幅度譜線。如果是一個模擬信號的采樣，采樣間隔為，則與相應的模擬頻率的關系為 對于模擬頻率而言，點DFT意味著頻率采樣間隔為稱為頻率分辨率，為表示時域采樣的區(qū)間長度或記錄長度，所以，要提高頻率分辨率，就必須使記錄時間足夠大。3.1.2 DFT的隱含周期性1、是以為周期的，就以為周期的。對于非周期序列，可以通過周期延拓得到，常取主值區(qū)間為研究對象：2、有限長序列的點離散傅里葉變換也可以定義為的周期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值區(qū)間。例：有限長序列及其周期延拓 3.1 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)時移

3、循環(huán)移位性質(zhì)頻域循環(huán)移位性質(zhì)卷積定理、線性性質(zhì)和分別為序列的延拓周期。2、循環(huán)移位性質(zhì)(1) 序列的循環(huán)移位定義：設為有限長序列，長度為N， 則的循環(huán)移位定義為(2)時域循環(huán)移位定理 設是長度為的有限長序列 令，則有（3）頻域循環(huán)移位定理： 3、 循環(huán)卷積定理時域循環(huán)卷積定理：（1）計算過程（2）線性卷積與循環(huán)卷積關系：線性卷積轉(zhuǎn)化為循環(huán)卷積計算問題：實際需要: LTI系統(tǒng)響應（a）循環(huán)卷積（b）線性卷積結論: 兩序列線性卷積的結果與將兩序列周期延拓為線性卷積長度后再進行循環(huán)卷積的結果相等。循環(huán)卷積的矩陣表示線性卷積的矩陣表示頻域卷積定理：4、對稱性用途：3.3 頻率域采樣 1、頻域采樣定理如

4、果序列的長度為，只有當頻域采樣點數(shù)時， 才有即可由頻域采樣恢復原序列，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。 2、頻域采樣的內(nèi)插函數(shù)：頻域采樣表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。 設序列的長度為M， 在頻域02之間等間隔采樣點，則有 內(nèi)插函數(shù)：表示的的內(nèi)插公式。表示的的內(nèi)插公式。當 3.4 DFT的應用1、用DFT計算線性卷積將兩個序列都補零延拓為并進行循環(huán)卷積時，線性卷積和循環(huán)卷積相等可以用FFT進行計算。2、長序列計算卷積直接計算的缺點(1) 信號要全部輸入后才能進行計算，延遲太多（2）內(nèi)存要求大（3）算法效率不高解決問題方法：采用分段卷積， 長序列的線性卷積可以用分段線性卷積進行運算。分段卷積可采用重疊相

5、加法和重疊保留法；設序列長度為，為無限長序列。將均勻分段，每段長度取M， 重疊相加法：依次將均勻分段，每段長度取M，與線性卷積結果后，結果的相鄰兩段的N-1個重疊點相加，即得到最終的線性卷積結果。例 已知序列，試分別利用重疊相加和保留法計算線性卷積。重疊相加法，取L=5， yk=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14重疊保留法 (1) 將長序列分段，每段長度為L； (2) 各段序列與 M點短序列循環(huán)卷積；(3) 從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結果。注意：保留前面的M-1個序列，首個序列補0，最終結果也是舍棄前M-1個，取最

6、后的L個；，3、用DFT對信號進行譜分析設連續(xù)信號的采樣持續(xù)時間點數(shù)為，采樣保持時間為，信號最高截止頻率為，信號采樣頻率為。則、N和F滿足如下關系式： 在用DFT分析信號頻譜特性時，在已知信號的最高頻率(即譜分析范圍時)，為了避免在DFT運算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率滿足下式 譜分辨率，信號的觀察時間和N可以按照下式進行選擇 因此，例：對實信號進行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率，試確定最小記錄時間，最大的采樣間隔，最少的采樣點數(shù)。如果不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少? 為使頻率分辨率提高一倍，F(xiàn)=5 Hz，要求用DFT進行譜分析的步驟：（1）對信號進行采樣，；（2）截取有限點進行DFT分析4. 用DFT進行譜分析的誤差問題DFT(實際中用FFT計算)可用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進行譜分析，誤差來源為 (1) 混疊現(xiàn)象：當采樣頻率過低時發(fā)生。 (2) 柵欄效應：過大，會遺漏某些頻率。 (3) 截斷效