單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上學(xué)號(hào)： 學(xué)年論文（本科）學(xué) 院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 年 級(jí) 2011級(jí) 姓 名 姚瑞娟 論文題目 單個(gè)正態(tài)總體的檢驗(yàn)假設(shè) 指導(dǎo)教師 韓英波 職稱 副教授 成 績 2014年3月10日專心-專注-專業(yè)目 錄單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)學(xué)生姓名：姚瑞娟 學(xué)號(hào)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)指導(dǎo)老師：韓英波 職稱：副教授摘 要：本文介紹了假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟,如何建立假設(shè)檢驗(yàn),判斷假設(shè)是否正確.此外,從已知和未知詳細(xì)的講述了單個(gè)正態(tài)總體的檢驗(yàn),還有單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn),及與它們相關(guān)的應(yīng)用舉例.關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；假設(shè)檢驗(yàn)；均值；方差；拒絕域；接受域；

2、原假設(shè)；Hypothesis test of one normal populationAbstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper, and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition, it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown. There is a single of normal p

3、opulation variance test and the related application. Keywords： normal distribution；price value；hypothesis test；variance； rejected region； receptive regions；the original hypothesis前言 假設(shè)檢驗(yàn)是由K.Pearson于20世紀(jì)初提出的,之后由費(fèi)希爾進(jìn)行了細(xì)化,并最終由奈曼和E.Pearson提出了較完整的假設(shè)檢驗(yàn)理論.統(tǒng)計(jì)推斷的一個(gè)重要內(nèi)容就是假設(shè)檢驗(yàn).然而,正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要的一種概率分布,正態(tài)分布概念是由德國

4、的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moiré于1733年受次提出的,但由于德國數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究,故正態(tài)分布又叫高斯分布,高斯這項(xiàng)工作對(duì)后世的影響極大他使正態(tài)分布同時(shí)有了”高斯分布”的名稱,后世之所以多將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于他.也是出于這一工作,高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家,重要的貢獻(xiàn)不勝枚舉.但現(xiàn)今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票,其上還印有正態(tài)分布的密度曲線.這傳達(dá)了一種想法,在高斯的一切科 這要到20世紀(jì)正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展起來.一個(gè)隨機(jī)變量,如果是由微小的獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加結(jié)果,那么這個(gè)變量一般都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布,因此很多隨機(jī)變量都可以用正態(tài)分布描述或近似描述,

5、譬如,測量誤差,廠品質(zhì)量,人的身高,年齡雨量等都可以正態(tài)分布描述.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟1.1 建立假設(shè)設(shè)有來自某一個(gè)參數(shù)分布族的樣本,其中為參數(shù)空間設(shè),則命題稱為一個(gè)假設(shè)或原假設(shè)或零假設(shè),若有另一個(gè),則命題稱為的對(duì)立假設(shè)或備擇假設(shè)，于是,我們感興趣的一對(duì)假設(shè)就是 vs (1)其中”vs”是versus的縮寫,是”對(duì)”的意思.對(duì)于假設(shè)(1),如果只含有一個(gè)點(diǎn),則我們稱之為簡單原假設(shè),否則就稱為復(fù)雜或復(fù)合原假設(shè).同樣對(duì)于各種備擇假設(shè)也有簡單與復(fù)雜之別,當(dāng)為簡單假設(shè)時(shí),其形式可寫成,此時(shí)的備擇假設(shè)通常有三種可能: , 在假設(shè)檢驗(yàn)中通常不輕易否定的假設(shè)為原假設(shè).1.2 建立假設(shè)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,給出拒

6、絕域形式對(duì)于(1)的假設(shè)檢驗(yàn)就是描述這樣一個(gè)法則:當(dāng)有了具體的樣本后,按該法則就可以判斷是接受還是拒絕,即檢驗(yàn)等價(jià)于把樣本空間劃分為兩個(gè)互不相交的部分和,當(dāng)樣本屬于時(shí),拒絕:否則接受.于是,我們稱為該檢驗(yàn)的拒絕域,而為接受域.由樣本對(duì)原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)總是通過一個(gè)統(tǒng)計(jì)量完成的,該統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.比如,樣本均值是一個(gè)很好地檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,因?yàn)橐獧z驗(yàn)的假設(shè)是正態(tài)總體均值,在方差已知場合,樣本均值是總體均值的充分統(tǒng)計(jì)量.樣本均值愈大,意味著總體均值也大, .樣本均值愈小,意味著總體均值也小,所以拒絕域形如.是合理的，其中臨界值待定. 當(dāng)拒絕域確定了,檢驗(yàn)的判斷準(zhǔn)則跟著也就確定了:如果,則拒絕:如果,則接

7、受。2 單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)設(shè)施來自的樣本,考慮如下三種關(guān)于的檢驗(yàn)問題 vs , vs , vs .其中是已知常熟,由于正態(tài)總體含兩個(gè)參數(shù),總體方差已知與否對(duì)檢驗(yàn)有影響,通常分為已知和未知兩種情況討論.已知時(shí)的的檢驗(yàn),對(duì)于單側(cè)檢驗(yàn)問題,由于的點(diǎn)估計(jì)是,且,故選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.是恰當(dāng)?shù)?直覺告訴我哦們,當(dāng)樣本均值不超過設(shè)定均值時(shí),應(yīng)傾向于接受原假設(shè):當(dāng)樣本均值超過時(shí),應(yīng)傾向于拒絕原假設(shè).可是,在隨機(jī)性存在的場合,如果比大一點(diǎn)就拒絕原假設(shè)似乎不當(dāng),應(yīng)當(dāng)比大到一定程度時(shí)拒絕原假設(shè)才是恰當(dāng)?shù)?這就存在一個(gè)臨界值,拒絕域?yàn)?常減記為,若要求檢驗(yàn)的顯著性水平為,則滿足.由于時(shí),故,最后的拒絕域?yàn)?該檢驗(yàn)用

8、的統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量,故一般稱為檢驗(yàn),該檢驗(yàn)的勢函數(shù)是的函數(shù),它可用正態(tài)分步寫出,具體如下,對(duì). .由此可見,勢函數(shù)是的增函數(shù),由增函數(shù)性質(zhì)可知,當(dāng)就可保證在時(shí)有所以上述求出的檢驗(yàn)是顯著性水平為的檢驗(yàn).2.1 已知時(shí)的檢驗(yàn)例1從甲地發(fā)送一個(gè)信號(hào)到乙地,設(shè)乙地接受到的信號(hào)值是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其中為甲地發(fā)送的實(shí)值信號(hào),現(xiàn)甲地重復(fù)發(fā)送同一信號(hào)5次,乙地接收到的信號(hào)值為 8.05 8.15 8.2 8.1 8.25設(shè)接受方有理由猜測甲地發(fā)送的信號(hào)值為8,問能否接受這種猜測.解 這是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的問題,總體,待檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為 vs .這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問題,檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?取顯著性水

9、平,則查表知,現(xiàn)該例中觀測值可計(jì)算得出.值未落入拒絕域內(nèi),故不能拒絕原假設(shè),即接受原假設(shè),可認(rèn)為猜測成立. 我們也可以采用值完成此檢驗(yàn),此處,.由于值大于事先給定的水平0.05,故不能拒絕原假設(shè),結(jié)論是相同的.進(jìn)一步我們從值還可以看到,只要事先給定的顯著性水平不高于0.0935,則都不能拒絕原假設(shè):而若事先給定的顯著性水平高于0.093,如事先給定的顯著性水平為0.10,則檢驗(yàn)就會(huì)做出拒絕原假設(shè)的結(jié)論. 說明,在實(shí)際中也經(jīng)常會(huì)遇到如下兩個(gè)檢驗(yàn)問題: vs , vs .它仍可用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量施行檢驗(yàn),檢驗(yàn)問題的拒絕域與檢驗(yàn)問題的拒絕域相同.即.這是因?yàn)闄z驗(yàn)問題與的備擇假設(shè)相同,而的原假設(shè)是的原假設(shè)的

10、子集,由于此時(shí)檢驗(yàn)的勢函數(shù)是的單調(diào)增函數(shù),因此,檢驗(yàn)問題的顯著性水平的檢驗(yàn)與檢驗(yàn)問題的顯著性水平的檢驗(yàn)是相同的,從而拒絕域也相同.它們的檢驗(yàn)的也相同,類似的,檢驗(yàn)問題與檢驗(yàn)問題的拒絕域以及值也是相同的,這個(gè)現(xiàn)象在以后的其它檢驗(yàn)中也會(huì)出現(xiàn),結(jié)論是相似的.例2 根據(jù)長期經(jīng)驗(yàn)和資料的分析,某磚廠生產(chǎn)的磚的”抗斷強(qiáng)度”服從正態(tài)分布,方差.從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6塊,測得抗斷強(qiáng)度如下(單位:kg·cm-2).32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03檢驗(yàn)這批磚的平均抗斷強(qiáng)度32.50kg·cm-2是否成立(取,并假設(shè)磚的抗斷強(qiáng)度的方差不會(huì)有什么變化)?解 提

11、出假設(shè).再選取統(tǒng)計(jì)量,若為真,則.對(duì)給定的顯著性水平,求使,這里計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值.判斷,由于,所以在顯著性水平下否定,即不能認(rèn)為這批產(chǎn)品的平均抗斷強(qiáng)度是32.50 kg·cm-2.2.2 未知時(shí)的檢驗(yàn) 對(duì)于問題,由于未知, 給出的含未知參數(shù)而無法計(jì)算,需要對(duì)它修改,一個(gè)自然地想法就是將其中未知的替換成樣本標(biāo)準(zhǔn)差,這就形成檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.由定理5.4.1可知,在時(shí),從而檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)?檢驗(yàn)的值是類似的,對(duì)給定的樣本觀測值,可以計(jì)算出相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值,記為,這里的,是由樣本觀測值得到的,記是服從自由度為的分布的隨機(jī)變量,則.例3 某廠生產(chǎn)的某種鋁材的長度服從正態(tài)分布,其均值設(shè)定為2

12、40cm,現(xiàn)從該廠抽取5件樣品,測得其長度為(單位:cm)239.7 239.6 239 240 239.2,判斷該廠此類鋁材的長度是否滿足規(guī)定要求.解 這是一個(gè)關(guān)于正態(tài)均值的觀測假設(shè)檢驗(yàn)問題,原假設(shè),備擇假設(shè)是是,由于未知,故采用檢驗(yàn),其拒絕域?yàn)?若取,則查表.現(xiàn)由樣本計(jì)算得到,故.,故拒絕原假設(shè),認(rèn)為該廠生產(chǎn)的鋁材長度不滿足設(shè)定要求.下面用值再做一次檢驗(yàn),此外,記是服從自由度為4的分布的隨機(jī)變量, ,利用計(jì)算機(jī)軟件可計(jì)算出具體值為0.0491,由于小于事先給定的顯著性水平0.05,故拒絕原假設(shè)結(jié)論是相同的.例4用某儀器間接測量溫度,重復(fù)5次,所得的數(shù)據(jù)是1250°,1265

13、76;,1245°,1260°,1275°,而用別的精確辦法測得溫度為1277°(可看作溫度的真值),試問此儀器間接測量有無系統(tǒng)偏差?這里假設(shè)測量值服從分布.解 問題是要檢驗(yàn) .由于未知（即儀器的精度不知道）我們選取統(tǒng)計(jì)量.當(dāng)真時(shí),的觀察值為.對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平,由, vs ,.查分布表得雙側(cè)分位點(diǎn) .因?yàn)?故應(yīng)拒絕認(rèn)為該儀器間接測量有系統(tǒng)偏差3 單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn) 設(shè),是來自的樣本,對(duì)方差亦可考慮如下的檢驗(yàn)問題: vs . vs . vs .其中是已知常數(shù),此處通常假定未知,她們采用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是相同的,均為,在時(shí), ,于是若取顯著性水平為,則對(duì)應(yīng)三個(gè)檢驗(yàn)問題的顯著性水平為的檢驗(yàn)的拒絕域依次為,.例 5 某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池,其壽命長期以來服從方差的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它的生產(chǎn)情況來看,壽命的波動(dòng)性有所改變,現(xiàn)隨機(jī)抽取26只電池,測得其壽命的樣本方差.問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往有顯著的變化(取)解 本題要求在下檢驗(yàn)假設(shè).,.拒絕域?yàn)?或.由觀察值得,所以拒絕認(rèn)為這批電池壽命的波動(dòng)性較以往有顯著的變化.參考文獻(xiàn)1格涅堅(jiān)科.概率論教程.丁壽田M .譯.北京:高等出版