論文多項式環(huán)的性質(zhì)

1、摘要本文主要以多項式環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)為基礎(chǔ),討論了多項式環(huán)的一些重要的性質(zhì).通過推廣,得出了冪級數(shù)環(huán)的一些性質(zhì).關(guān)鍵字：環(huán)上一元多項式環(huán)；環(huán)上多元多項式環(huán)；冪級數(shù)環(huán)ABSTRACTThis article mainly discusses some important nature of the polynomial ring that is based on the operational properties of it.By means of generated, we can obtain the nature of infinite polynomial with coefficient

2、s in a ring.Key words：Polynomial with coefficients in a ring with one variable；The polynomial with coefficients in a ring with variables；Infinite polynomial with coefficients in a ring 目 錄第一章引言1第二章一元多項式環(huán)32.1一元多項式環(huán)的定義32.2一元多項式環(huán)的運(yùn)算6第三章環(huán)上多項式的性質(zhì)93.1環(huán)上的一元多項式的性質(zhì)93.2環(huán)上多元多項式的性質(zhì)123.3環(huán)上冪級數(shù)環(huán)的性質(zhì)13第四章總結(jié)17參考文獻(xiàn)19致

3、謝21第一章引言多項式是代數(shù)學(xué)中所研究的基本對象之一,它不但與高次方程的討論有關(guān),而且在進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)以及其他數(shù)學(xué)分支時也都會碰到.但我們一般對多項式的討論,總是在一個預(yù)先定的數(shù)域作為前提.數(shù)學(xué)漸漸進(jìn)步,我們發(fā)現(xiàn)可以對若干不是數(shù)的事物,用類似數(shù)的普通計算方法來加以計算,我們后來碰到的環(huán)就是其中一種.由此我們便可以把數(shù)域上的多項式推廣到任意環(huán)上的多項式,從而得到一類特殊的多項式環(huán)上多項式.對環(huán)上多項式定義加法和乘法兩種運(yùn)算,由環(huán)定義,我們可以得到一類特殊的環(huán)環(huán)上多項式.在抽象代數(shù)中,多項式環(huán)推廣了初等數(shù)學(xué)中的多項式.一個環(huán)上的多項式環(huán)是由系數(shù)在中的多項式構(gòu)成的環(huán),其中的代數(shù)運(yùn)算由多項式的乘法與加

4、法定義.在數(shù)域上,多項式在加法適合交換律、結(jié)合律,對乘法適合交換律、結(jié)合律和消去律,同時乘法對加法適合交換律.在環(huán)上,多項式對以上定理基本上成立,但乘法交換律和消去率在環(huán)上不成立.如果環(huán)是一個有單位的交換環(huán),那么交換律在環(huán)上是成立的,可消去律是不成立的.冪級數(shù)是多項式的延伸,是把多項式從有限項擴(kuò)展到了無限項.環(huán)上多項式與數(shù)域上多項式存在許多相同和不同之處,同樣,環(huán)上冪級數(shù)與數(shù)域上冪級數(shù)存在許多相同之處.在本文中,重點(diǎn)討論了環(huán)上多項式的一些特殊的性質(zhì).第二章 一元多項式環(huán)2.1一元多項式環(huán)的定義定義2.1.1 設(shè)是一個數(shù)域,是一個不定元.下面的形式表達(dá)式（其中屬于,且僅有有限個不為0）稱為數(shù)域上

5、的一個不定元的一元多項式.數(shù)域上一個不定元的多項式的全體記作.下面定義內(nèi)加法、乘法如下：加法 設(shè)則定義為和的和.乘法 設(shè)令定義為和的乘積.容易驗(yàn)證,上面定義的加法、乘法滿足如下運(yùn)算法則：(1) 加法有交換律：；(2) 加法有結(jié)合律：；(3)稱為零多項式,滿足；(4),都有逆元,使得；(5)乘法有交換律：；(6)乘法有結(jié)合律：；(7)稱為（乘法的）幺元,使得有；(8)加法與乘法有分配律：；(9)乘法有消去律： 如果且,那么.定義2.1.2連同上面定義的加法與乘法,稱為數(shù)域上的一元多項式環(huán).下面我們把數(shù)域上的多項式擴(kuò)廣到任意環(huán)上的多項式.設(shè)是一個含有單位元的可變換環(huán).又設(shè)是的子環(huán)且,現(xiàn)考察中含及任

6、取一元素的最小子環(huán)：顯然每個.定義2.1.3 如上形式的每個元素都叫做上關(guān)于的一個多項式,而每個都叫做該多項式的系數(shù).下面我們希望能將做成一個環(huán).事實(shí)上(是的一個子環(huán)), 定義規(guī)則如下:(當(dāng)), 必定假設(shè) .其中 又 可知 確定是一個環(huán). (是含和的最小的子環(huán))定義2.1.4 如果上方得到的環(huán)叫做上的的多項式環(huán).顯然是的一個子環(huán),但中每個多項式的表達(dá)形式未必唯一.譬如,設(shè),而. 那么 中的零元. 的表達(dá)式不唯一.換句話說:上述定義的多項式環(huán)中會出一種現(xiàn)象:,但系數(shù)不全為零.這顯然與高等代數(shù)中多項式的零多項式的定義相矛盾.于是,我們有必要對做如下的討論.定義2.1.5 設(shè)和如前所示,稱為的一個未

7、定元(超越元),若在中找不到不全為零的元素 使( 即 ) .否則稱為上的代數(shù)元.習(xí)慣上,記上的未定元為.有上述的理論做“底子”,現(xiàn)可以定義多項式的其他運(yùn)算問題.2.2一元多項式環(huán)的運(yùn)算設(shè)是有單位元的交換環(huán),是一個不定元,形如的元叫做環(huán)的一個多項式,其中,是非負(fù)整數(shù).為了表示這種和是有限元的,也可用下式表示：,其中規(guī)定,將環(huán)上的所有一元多項式構(gòu)成的集合表示為,并定義如下加法和乘法：對于這樣的定義加法與乘法運(yùn)算具有如下一些性質(zhì)：（1）加法適合交換律,即對,必有.證明：設(shè),則,；由于環(huán)對于加法來說是一個加群,所以,故.（2）加法適合結(jié)合律,即對,必有.證明：設(shè),則,由于環(huán)對于加法來說是一個加群,所以

8、,故.（3）乘法適合交換律,即對,必有.證明：設(shè),等式左邊中次冪項系數(shù)為：,等式右邊中次冪項系數(shù)為：.因?yàn)榄h(huán)適合交換律,所以,故.（4）乘法適合結(jié)合律,即對,必有.證明：設(shè),等式左邊中次冪項系數(shù)為：,因此左邊次冪項系數(shù)為：；等式右邊中次冪項系數(shù)為：因此右邊次冪項系數(shù)為：,與左邊的次冪項系數(shù)一樣,所以左邊等于右邊,這就證明了乘法滿足結(jié)合律.（5）乘法對加法適合結(jié)合律,即對,必有.證明：設(shè),由乘法和加法的定義,等式左邊中次冪項的系數(shù)為,同樣,等式右邊中次冪項的系數(shù)為,所以.但是環(huán)上的多項式和數(shù)域上的多項式也存在許多不同之處,例如：環(huán)上的多項式對乘法不適合消去率.集合中的元素,對于上面定義的加法和乘

9、法運(yùn)算,顯然是一個環(huán),我們稱它為環(huán)上的一元多項式環(huán),記作.第三章 環(huán)上多項式的性質(zhì)一般環(huán)上的多項式是不可逆的.本章將探討一類非整環(huán)上的可逆多項式存在問題,也討論了有限項多項式環(huán)上以及無限項的冪級數(shù)環(huán)上的性質(zhì).3.1環(huán)上的一元多項式的性質(zhì)首先,我們稱中次數(shù)為零的可逆元（即的可逆元）為平凡可逆元,次數(shù)不為零的可逆元為非平凡可逆元. 我們先敘述一個后面將多次用到的事實(shí).定理3.1.1 設(shè)是一個有單位元1的交換環(huán).是的一個冪零元,那么是中一個可逆元,并且由此推出,環(huán)的冪零元與可逆元之和是的可逆元.證明：若引理顯然成立.假定必有某正整數(shù),使.由初等數(shù)學(xué)知,有如下兩種情形: 1)若為偶數(shù),那么有 2)若為

10、奇數(shù),那么有無論哪種情形,右邊的因子都不等于零.又由于是交換的,故為可逆元. 下面證明第二個斷言.由于是交換的,故易知中可逆元與冪零元之積是冪零元,可逆元與可逆元之積是可逆元.令是中一個可逆元,于是是一個冪零元.按前證,是可逆元.所以是可逆元,即證明了可逆元與冪零元之和為可逆元.定理證畢.定理 設(shè)是中的一個多項式.那么,在中可逆的充分必要條件是為中的可逆元,為冪零元.證明：如果是中的可逆多項式.設(shè)它的逆為不妨假定于是有因?yàn)槭遣欢ㄔ?由定義得我們對使用歸納法證明b.當(dāng)為0時,因?yàn)?假定對的一切自然數(shù)都有.考察乘積中的次項的系數(shù),我們有等式兩端乘以,因?yàn)槭强山粨Q環(huán),由歸納假設(shè),可得.,從而由上面等

11、式的最后一項得.所以對于一切自然數(shù),都有成立,特別的,當(dāng)時,就得.已有,知為可逆元.同時也是可逆元.即有存在,于是由上面最后的等式知,從而與為冪零元.令,這是一個可逆元與冪零元的和式,故知為可逆元.但,與上面證明為冪零元的過程完全一樣,在為可逆元的條件下可以證得為冪零元,如此逐步證明下去,我們就得到都是冪零元. 反之,假定在中,為可逆元,為冪零元,那么,因?yàn)槎际莾缌阍?由引理,顯然易得多項式是可逆的,即充分性得證.這個定理指出了,一類有冪零元零因子的非整環(huán)上的多項式環(huán),可能有非平凡的可逆多項式.定理同時給出了一個在這種環(huán)上的可逆多項式的判別法則. 下面我們給出一個例子. 考慮剩余類環(huán),這里為整

12、數(shù),是互不相等的素數(shù),為整數(shù). 若,則為可逆元.為冪零元的充要條件是可寫易知中冪零元的個數(shù)是. 如果,那么中僅有個冪零元,沒有其他非零的冪零元,為整環(huán).我們考慮為非整環(huán)的情形. 若對某中有非零的冪零元,由前面我們證明的定理知.中有非平凡的可逆元(多項式),這些可逆多項式形如其中,即是中的可逆元,是中的冪零元. 特別值得一提的是,當(dāng)時,中次數(shù)不高于一個定數(shù)的一切可逆元關(guān)于此環(huán)的乘法作成一個有限群.讀者可自行驗(yàn)證之.回到開頭提出的問題.若是一個整環(huán),那么,上不定元的多項式環(huán)中的可逆多項式就是中的可逆元素即中的“零次”多項式.因此時中僅有唯一的冪零元0.于是我們直接得出與通常整環(huán)上相一致的結(jié)果.定理

13、3.1.3多項式是冪零的當(dāng)且僅當(dāng)它的所有系數(shù)都是冪零的.證明：（1）先證“充分性”.我們易證,如果是冪零元,則也是冪零元.是冪零元,顯然是冪零元,則有是冪零元.令,則也是冪零元,那么必為冪零元.依此類推可知是中的冪零元.（2）再證“必要性”.是中的冪零元,那么也是中的冪零元,因?yàn)槭莾缌阍?則也是冪零元.所以可以推出是的冪零元. 下面我們給出一個可逆多項式的判別法則.首先約定,后面提到的多項式的系數(shù)環(huán),乃指有單位元的可交換環(huán),不論其有無零因子.定理是的零因子當(dāng)且僅當(dāng)有中的非零元,使得.證明：（1）先證“充分性”,顯然成立.我們來證明必要性.（2）“必要性”.考察最低次得多項式,使得.由于,由定理

14、3.1.2可知,可以推出；否則將是次數(shù)小于的零化的多項式,這就矛盾.由及可得.于是得到.否則將是次數(shù)小于的零化的多項式,這也矛盾.依此類推可得：由于,故中必有一元素不為零,令,由前邊的證明可知：.所以令,就有.推論環(huán)是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)是整環(huán).3.2環(huán)上多元多項式的性質(zhì)同環(huán)上一元多項式一樣,環(huán)上的多元多項式也具有一些類似的性質(zhì).設(shè)是可變換的幺環(huán),而是的子環(huán)且.現(xiàn)任取中個元素,我們可以依次做如下工作:首先作上的的多項式環(huán),再作上的的多項式環(huán) ,最后作上的的多項式環(huán)其中,其中, 系數(shù)只有有限個.定義3.2.1 上述描述的每個稱為上的的多元多項式,而每個叫做的系數(shù).習(xí)慣上,上的的多項式環(huán)寫成.對于多元多項

15、式環(huán)中加法和乘法的運(yùn)算為:()()() 其中,定理是中的冪零元,那么的常數(shù)項必為冪零元.證明：為的常數(shù)項,那么且.因?yàn)闉橹械膬缌阍?則存在,使得,即.由展開可知,的展開式中只有為常數(shù)項,于是,為含有不定元得所有項.若,則必有,所以必為冪零元.3.3環(huán)上冪級數(shù)環(huán)的性質(zhì)在以上章節(jié)中,我們討論了有限項的多項式,下面我們來討論項數(shù)無限的冪級數(shù)環(huán)的性質(zhì).定義設(shè)是有單位元的交換環(huán),是一個未定元,系數(shù)取自環(huán)的冪級數(shù)有如下表達(dá)式：其中是環(huán)中的元素,是非負(fù)整數(shù),上式也可表示為,并規(guī)定.在環(huán)中所有的冪級數(shù)構(gòu)成的集合,并定義如下加法和乘法：定義所有系數(shù)在環(huán)上的冪級數(shù)全體構(gòu)成的集合稱為上的冪級數(shù)環(huán).同環(huán)上多項式一樣,

16、環(huán)上冪級數(shù)也具有一些類似的性質(zhì),設(shè)是有單位元的交換環(huán),而是系數(shù)屬于的一個未定元冪級數(shù)環(huán).令,定理若是中的可逆元,則是的可逆元.證明：把變成的形式,則.因?yàn)槭侵械目赡嬖?我們用待定系數(shù)法來求一個使得.設(shè)待定,則方程組：可逐次求出.所以存在.故當(dāng),為中的可逆元時,是的可逆元.定理如果是的冪零元,那么對于一切,都是冪零元.證明：因?yàn)槭堑膬缌阍?則存在,使得,則,所以是冪零元.于是可以得出也是冪零元.又因?yàn)?因此也必為冪零元,故可以得出是冪零元.依此類推可得都是冪零元.第四章 總結(jié)本文從一般的數(shù)域上的多項式出發(fā),經(jīng)過推廣,得出在環(huán)上的多項式,并通過對環(huán)上的多項式定義加法和乘法,得出了環(huán)上的多項式環(huán).我

17、們也進(jìn)一步討論了多項式的運(yùn)算性質(zhì).而在有單位的交換環(huán)上,環(huán)上多項式環(huán)具有許多與其它環(huán)不同的性質(zhì),本文著重討論了具有單位元的交換環(huán)上的環(huán)上多項式的一些特性.本文首先討論的是有限項的多項式環(huán),并將其推廣至無限項的多項式環(huán)上冪級數(shù)環(huán).同有限項的多項式一樣,環(huán)上冪級數(shù)也具有一些類似的性質(zhì).我們根據(jù)環(huán)的冪零元與可逆元之和是的可逆元,得到了的可逆元和冪零元存在的條件.數(shù)域上的多項式環(huán)和環(huán)上的多項式環(huán)存在著許多不同的性質(zhì),同樣,有限項多項式和無限項多項式也存在著很多聯(lián)系和區(qū)別,這些聯(lián)系和區(qū)別都有待于我們進(jìn)一步思考.參 考 文 獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）M.高等教育出版社,1988.2張禾瑞. 近世代數(shù)基礎(chǔ)M . 北京: 高等教育出版社, 1978.3周伯勛. 同調(diào)代數(shù)M. 科學(xué)出版社,1997.4 李正師. 多項式代數(shù)M. 山東人民出版社,1981.5范崇金. 近世代數(shù)基礎(chǔ)M. 哈爾濱工程大學(xué)出版社,2008.6辛林. 近世代數(shù) M . 北京:當(dāng)代中國出版社, 2000.7高緒玨. 近世代數(shù)M. 沈陽:遼寧人民出版社, 1985.8吳品三. 近