用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)地恒成立與存在性問題

1、word用與數(shù)研究函數(shù)的恒成立與存在問題1,函數(shù)f (x)3x八2.2假如函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，求 a的取值X2xlnx,其中a為常數(shù).a們假如a1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;圍.2.函數(shù)f(x)x3ax24(aR),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。1當(dāng)a2時(shí)，對(duì)于任意的m1,1,n1,1,求f(m)f(n)的最小值;2假如存在x0(0,)，使f(x0)>0,求a的取值X圍。10 / 92求f (x)的單調(diào)區(qū)間;3 .函數(shù)f(x)axInx(aR).1假如a2,求曲線yf(x)在點(diǎn)x1處的切線方程;3設(shè)g(x)x22x2,假如對(duì)任意x,(0,)，均存在x20,1,使

2、得f(xi)g(xz),某某數(shù)a的取值X圍.24 .2016屆某某二模函數(shù)fxx21nx.i求函數(shù)fx的最大值；an假如函數(shù)fx與gxx有一樣極值點(diǎn).x某某數(shù)a的值；對(duì)x1,x21,3（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），不等式f_x_gx1恒成立，某某數(shù)k的取值X圍.ek112-5.函數(shù)f(x)(a-)xInx(aR).1當(dāng)a1時(shí)，xo1,e使不等式f(%)m,某某數(shù)m的取值X圍；2假如在區(qū)間(1,),函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y2ax的下方，某某數(shù)a的取值X圍.用與數(shù)研究函數(shù)的恒成立與存在問題答案1 .解：假如a=1,如此f(x)=3x2x2+lnx,定義域?yàn)?0,+0°),1 4x2+3x+

3、14x+1x1f(x)=x4x+3=x=x(x>0).xxx當(dāng)xC(0,1)時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)f(x)=3x2x2+Inx單調(diào)遞增.當(dāng)xC(1,+8)時(shí)，f(x)<0,函數(shù)f(x)=3x2x2+Inx單調(diào)遞減，即f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,十°0).一，3.1(2)f/(x)=-4x+-.ax假如函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，3131即在1,2上，f(x)=3-4x+1>0或f(x)=3-4x+1<0,axax即34x+1>0或'4x+1W0在1,2上恒成立.axax一31.31即一方4x或一W

4、4xaxax.1令h(x)=4x1,因?yàn)楹瘮?shù)h(x)在1,2上單倜遞增，x所以3>h(2)或3wh(1),即3>15或3<3,aaa2a2 ，、斛得a<0或0vaw-或a>1.5故a的取值X圍是(一8,0)U(0,2u1,+8).52.解：1由題意知f(x)x32x24,f'(x)3x24x.令f'(x)0,得x0或33當(dāng)x在-1,1上變化時(shí)，f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x-1-1,000,11f'(x)-7-0+1f(x)-1J-4-3對(duì)于m1,1,f(m)的最小值為f(0)4,、一22f'(x)3x4x的對(duì)

5、稱軸為x一且拋物線開口向下3,對(duì)于n1,1,f'(n)的最小值為f'(1)7.f(m)f'(n)的最小值為-11.3.2f'(x) 3x(x -)3假如a 0,當(dāng)x 0寸，f'(x) 0“乂)在0,上單調(diào)遞減，又f(0)4,則當(dāng)x 0時(shí)，f(x)4.當(dāng)a 0時(shí),不存在% 0,使f(xo) 0.一.2a.2a.假如a 0,則當(dāng)0 x ，時(shí)，f'(x) 0,當(dāng)x ，時(shí)，f'(x)33，.一22a從而f(x)在0,2上單調(diào)遞增，在 臼，上單倜遞減,33當(dāng)x (0,)時(shí),f (x)max臂)3,38a 4a一 一 4 ,如此2790.4a3 4

6、°,即a3 27,解得a 3.綜上，a的取值X圍是(3,4 ).(或由x。0, f(x。)0,得a2 %,用兩種萬(wàn)法可解)x。-，1解：1由 f (x) 2 (x 0), f (1) 2 1 3, x故曲線y f (x)在x 1處切線的斜率為3而f(1) 2,所以切點(diǎn)為(1,2), y f (x)在點(diǎn)x 1處的切線方程為y 3x 12f (x) a 1 "ax-1(x 0) x x當(dāng)a 。時(shí)，由于x 0,故ax 1 0,所以f(x) 0, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,).11 _1 _當(dāng)a 0時(shí)，由f (x) 0,得x .在區(qū)間(0,)上，f (x) 0,在區(qū)間(一，)上

7、f (x) 0, aaa所以，函數(shù)了(燈的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1，1-),單調(diào)遞減區(qū)間為(-).其中 g(x)max 23由,問題等價(jià)于為f(x)maxg(x)max.由(2)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽,故不符合題意(或者舉出反例：存在f(e3)ae332,故不符合題意.)11當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(o,)上單調(diào)遞增，在(一，)上單調(diào)遞減,aa故f(x)的極大值即為最大值,f(11 ln( )1 ln( a),a一，、一1所以21ln(a),解得a3.3e4.22x1x12x-x0,xxfx0,fx0,/口/得0x1；由得x1.x0x0fx在0,1上為增函數(shù)，在1,上為

8、減函數(shù)函數(shù)fx的最大值為f11.分3、aan；gxx-,gx1.xx由1知，x1是函數(shù)fx的極值點(diǎn)，a又函數(shù)fx與gxx一有一樣極值點(diǎn)，x1是函數(shù)gx的極值點(diǎn),xg11a0,解得a1分4分經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)gx在x1時(shí)取到極小值，符合題意- f12 e2, f 11,f 39 21n 3 ,易知921n322e1c.>x1,3,fx1,f31-,1mine92ln3,fXi由耿f11，一1由知g x x 一x11gx1下，當(dāng)x-,1時(shí)，gx0;當(dāng)x1,3時(shí)，gx0.xe故gx在1,1上為減函數(shù)，在1,3上為增函數(shù)1.g-e1,g1e2,g310一，而23103X2,gX2ming12

9、,gX2max1030,1時(shí),對(duì)于X1,X1-,3e不等式fX11fX1gX2maXX1gX2maX1.XgX2f1g123,2,又k1,1.1010,即k1時(shí)，對(duì)于X1,X21-,3e綜上,X1gx2minX1gX2min1X1gx-f3g334寸一21n3,又；k1,3所某某數(shù)k的取值X圍為21n1033721n3,334321n3.113432ln3U1,125.【解】：（1）當(dāng)a=1時(shí), 由 xC 1 , e, 如此當(dāng)xC 1 ,11f(x)=2x2+lnx(x>0),f(x)=x+x，f'(x)>0得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,e4曾函數(shù),11ce時(shí)，f(x)C1+2e

10、2.1一故要使？X0C1,e使不等式f(x0)Wm成立，只需m>2即可.(2)在區(qū)間(1,+8)上，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax的下方等價(jià)于對(duì)？xC(1,+00),f(x)2ax,即(a1)x2+Inx-2ax<0恒成立.1c一設(shè)g(x)=(a2)x22ax+Inx(xC1,十),如此g'(x)=(2a1)x2a+1=(x1)(2a11)XX'當(dāng)xC(1,)時(shí)，x1>0,0<<1.x假如2a-1<0,即a<1,g'(x)<0,函數(shù)g(x)在區(qū)間1,)上為減函數(shù),11如此當(dāng)？xC(1,+00)時(shí)g(x)vg(1)=a22a=3a,1-11一，只帝一2aW0,即當(dāng)一2waw2時(shí)，g(x)=(a2)x2+lnx2axv0恒成立.假如0v2a1v1,即2<av1時(shí)，令g'(x)=(x1)(2a11)=0得x=J>1,x2a111函數(shù)g(x)在區(qū)間1,;為減函數(shù)，+°°為增函數(shù)，2a12a11一如此g(x)Cg2a_1,+°°,不合題忌.假如