基于可替代資源的稀缺資源利用問題研究

1、基于可替代資源的稀缺資源利用問題研究    摘 要 在線性規(guī)劃資源利用問題模型基礎(chǔ)上，研究了減少一種稀缺程度相對(duì)較高的資源限量，同時(shí)增加一定比例的另一種可替代該資源的稀缺程度相對(duì)較低的資源限量，而使企業(yè)原有最優(yōu)生產(chǎn)目標(biāo)值不減的問題.通過對(duì)不同情況的分類討論，得到相應(yīng)的資源改變量及其比例的取值決定和取值范圍，對(duì)稀缺資源的節(jié)省利用具有一定意義.    關(guān)鍵詞 線性規(guī)劃；靈敏度分析；可替代資源    中圖分類號(hào) TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A    

2、;Research on Utilization of Scarce Resources Based on Alternative Resources     FEI Wei    (Dongbei University of Finance and Economics, Mathematics and Quantitative Economics, Liaoning，Dalian 116025,China)     Abstract Based on the linear

3、programming model of the resources utilization, this paper studied how to reduce the scarce resource limits with the relatively high scarcity by increasing a certain proportion of another alternative resource limits with the relatively low scarcity, in order to make the original optimal production t

4、arget of an enterprise not reduced. And by the classification of different situations, the corresponding change of resources, the decisions of the proportion and the range of values can be obtained, which is of a certain sense for saving and using scarce resources.    Keywords li

5、near programming；sensitivity analysis；alternative resources    1 引 言隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，各種資源的消耗，尤其是稀缺資源的大量減少，已經(jīng)受到人們的關(guān)注，各國各地區(qū)逐漸將經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展作為發(fā)展的主題，尤其對(duì)稀缺資源的節(jié)省利用問題采取了各種方法1-3.其中可再生資源的開發(fā)利用，以及用其替代部分稀缺或不可再生資源就是一種較好的稀缺資源節(jié)省利用方式.而將其實(shí)施到具體的企業(yè)生產(chǎn)過程中，就涉及到企業(yè)的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃安排，如何能在保持原有最優(yōu)生產(chǎn)目標(biāo)值不減少的前提下，使某種稀缺程度相對(duì)較高的資源限量減少，同

6、時(shí)增加另一種稀缺程度相對(duì)較低的資源限量？這是在稀缺資源利用問題中，企業(yè)的生產(chǎn)實(shí)踐所面臨的實(shí)際問題.    本文通過一般資源利用問題的線性規(guī)劃模型，對(duì)上述問題進(jìn)行具體的分析研究，以期得到具有實(shí)際意義的結(jié)果，并能對(duì)企業(yè)生產(chǎn)安排起到適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)作用.    2 基于可替代資源的資源利用問題分析    2.1 一般資源利用問題模型4-7    對(duì)于一般的資源利用問題可表述為，企業(yè)利用m種資源生產(chǎn)n種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品生產(chǎn)多少可使得企業(yè)總收益最大？常用

7、如下線性規(guī)劃模型進(jìn)行描述：    （LP） max f=CTX    s.t.AXb，X0,（1）    其中C=(c1,cj,cn)TRn表示原問題目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量，一般表示各種產(chǎn)品的效益系數(shù)；b=(b1,bi,bm)TRm表示原問題約束右端項(xiàng)向量，一般表示各種產(chǎn)品生產(chǎn)所需的每種資源限量；A=(aij)m×n是各種產(chǎn)品生產(chǎn)時(shí)的單位消耗系數(shù)；X=(x1,x2,xn)T是決策變量，一般表示各種產(chǎn)品的產(chǎn)量.     該問題的對(duì)偶規(guī)

8、劃為（DLP）min z=YTb    s.t.ATYC,Y0,（2）    其中對(duì)偶變量Y=(y1,y2,ym)T的經(jīng)濟(jì)意義可認(rèn)為是對(duì)應(yīng)各種資源的影子價(jià)格，表示在這一經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)中各種資源在最優(yōu)決策下的邊際價(jià)值.由對(duì)偶理論可得：設(shè)B是原規(guī)劃（LP）的最優(yōu)基，CB是最優(yōu)基變量對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量，X*、Y*分別是原問題和對(duì)偶問題的最優(yōu)解，則    CTX*=Y*Tb=CBB-1b，其中Y*T=CBB-1.    經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 29卷第

9、1期費(fèi) 威：基于可替代資源的稀缺資源利用問題研究    其中最優(yōu)基系數(shù)矩陣B的逆矩陣B1=(in+j)m×m，最優(yōu)解向量為B1b=1,mT，j（j=1,n）表示對(duì)應(yīng)變量xj的檢驗(yàn)數(shù)，yj（j=1,m）表示當(dāng)原問題非退化情況下的第j種資源的影子價(jià)格8.    2.2 兩種資源替代問題的靈敏度分析    以兩種資源之間的相互替代為例，設(shè)第k種、第l種資源分別表示現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)下，稀缺程度相對(duì)較高和相對(duì)較低的兩種資源，且在生產(chǎn)過程中兩種資源可以相互進(jìn)行替代，則考慮能否增加一

10、定量的第l種資源數(shù)量，同時(shí)減少一定量的第k種資源，而使原有的目標(biāo)函數(shù)值不減？    若用bj（j=1,m）表示第j種資源的變化量.設(shè)bk（0）是第k種資源可減少的絕對(duì)量，bl（0）是第l種資源可增加的絕對(duì)量，且blbk=t表示兩種資源增減量的比例為t.    由資源限量的靈敏度分析可知，當(dāng)bkin+k+blin+l+i0，i=1,m時(shí)，該資源利用問題的最優(yōu)基不變，檢驗(yàn)數(shù)行不變，只有目標(biāo)函數(shù)值和最優(yōu)解發(fā)生變化.將上述blbk=t代入可得：    當(dāng)?shù)趉種資源限量減少bk時(shí)，第l

11、種資源限量增加bl，且blbk=t時(shí)，若    max iiin+k+tin+lin+k+tin+l0bkmin iiin+k+tin+lin+k+tin+l0,    則原問題的最優(yōu)表中最優(yōu)基不變，檢驗(yàn)行不變，    目標(biāo)函數(shù)值改變量為f=(tylyk)bk，最優(yōu)基解為XB=(1+(t1n+l1n+k)bk,i+(tin+lin+k)bk,m+(tmn+lmn+k)bk)T.    因此若要保持現(xiàn)有最優(yōu)生產(chǎn)結(jié)構(gòu)安排不變，而通過k,l兩

12、種資源之間的相互替代實(shí)現(xiàn)最優(yōu)目標(biāo)值不減，可分以下幾種情況進(jìn)行討論.    1)當(dāng)yl0時(shí)    若當(dāng)i=1,m時(shí)，至少存在某一行使in+k+tin+l0，且min iiin+k+tin+l|in+k+tin+l00，其中tykyl.則令bk=i0i0n+k+ti0n+l=min iiin+k+tin+l|in+k+tin+l0，    可使目標(biāo)函數(shù)值增值最大為f*=(tyl          &#

13、160;        yk)i0i0n+kti0n+l.證明 由靈敏度分析可知max iiin+k+tin+lin+k+tin+l0bkmin iiin+k+tin+lin+k+tin+l0，f=blylbkyk=(tylyk)bk，且由tykyl知tylyk0，為使f最大，則在tylyk一定時(shí)，應(yīng)使得bk0，且bk越大越好，則必有bk=i0i0n+k+ti0n+l，因而將其代入f可得f*=(tylyk)i0i0n+kti0n+l.利用上述結(jié)論，在具體問題分析時(shí)，如何確定比例t和改變量bk，可依據(jù)如下兩種方法：方法一，取決

14、于企業(yè)具體的目標(biāo)增值而定，如給定，可由t=yki0+i0n+kyli0+i0n+l（由=(tylyk)·i0i0n+kti0n+l整理即得），但注意此時(shí)比例t應(yīng)滿足tykyl.再根據(jù)bk=i0i0n+k+ti0n+l，可得bk.方法二，如果企業(yè)沒有設(shè)定具體的目標(biāo)增值，而是希望得到的目標(biāo)增值越大越好，則需要先確定比例t.由至少存在某一行使in+k+tin+l0條件可得，若使每一行in+k+tin+l0的t的取值范圍，將該范圍同tykyl比較看是否存在交集.若不存在交集，則該行只能是in+k+tin+l0；若存在，則t的某一取值既可滿足tykyl又可使in+k+tin+l0，此時(shí)若只有一

15、行is的t的取值存在交集，則有bk=isisn+k+tisn+l，且t可在該交集內(nèi)任意取值.若有不止一行t的取值存在交集，則應(yīng)取這幾個(gè)交集的交集，使t在此交集內(nèi)取值，并使bk=i0i0n+k+ti0n+l=min iiin+k+tin+l|in+k+tin+l0.由t=yki0+i0n+kfyli0+i0n+lf，令其取值為該交集內(nèi)的范圍，即可解得可達(dá)到的目標(biāo)函數(shù)增值f的可能范圍.下面以具體實(shí)例進(jìn)行說明：例 設(shè)某個(gè)資源利用問題的線性規(guī)劃模型為1max f=x1+2x2+13x3s.t.x1+3x2+3x360，3x2+x340，x1+x220，x1,x2,x30.可求得該問題的最優(yōu)表如表2所示

16、.由此可得原問題的最優(yōu)解為X*=(607，807，407）T，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值f*=1003.若第二種資源是稀缺程度相對(duì)較低的資源，而第三種資源是稀缺程度相對(duì)較高的資源，且兩種資源之間可以相互替代，問減少第三種資源限量為b3，增加第二種資源限量為b2=tb3，當(dāng)它們?nèi)≈刀嗌贂r(shí)，可以使原最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值不減，且不改變?cè)械淖顑?yōu)生產(chǎn)結(jié)構(gòu).根據(jù)上述方法二，由表2可得y2=13,y3=1，因此ty3y2=3.根據(jù)表2，若使每一行取i6+ti50，有3727t0t32；17+37t0t13；6737t0t2，可見它們與ty3y2=3的交集分別為t3；空集；t3.所以第一行和第三行可以在t3的條件下滿足16+

17、t150，26+t250.而第二行只能26+t250.因此取b3=min i=1,3ii6+ti5i6+ti50=4073727t,6076737tt3=20t+2.那么f*=(ty2y3)b3=(13t1)20t+2.由t=20+2f203f3，可得0f203.因此可以取t3范圍內(nèi)的t值， 相應(yīng)b3=20t+2，這樣可使目標(biāo)函數(shù)值在0f203范圍內(nèi)增加.如t=8，b3=2，則f*=103.由方法一，若企業(yè)的目標(biāo)增值=103，則由t=y33+36y23+35=8，b3=336+t35=2.即減少第三種資源的數(shù)量為2個(gè)單位，增加第二種資源的數(shù)量為16（2×8）個(gè)單位，總目標(biāo)函數(shù)值增值為

18、103.同時(shí)還可求得當(dāng)前的最優(yōu)解為X*=(1+(t1516)b3,2+(t2526)b3,3+(t3536)b3)T=(0,18,2)T.當(dāng)i=1,m時(shí)，若不存在in+k+tin+l0，且tykyl，顯然有bk無上界，f=(tylyk)bk.只需取bk0，則可使得f0.具體的確定方案可參照1.當(dāng)i=1,m時(shí)，若所有in+k+tin+l=0，且tykyl，則t=in+kin+l，但需滿足in+kin+lykyl.此時(shí)f=(in+kin+lylyk)bk.2)當(dāng)yl=0時(shí)若yk=0，且存在min iiin+k+tin+lin+k+tin+l00，則有f=0，bk可在滿足0bkmin bk,min

19、iiin+k+tin+l|in+k+tin+l0范圍內(nèi)任意取值，同時(shí)t可根據(jù)企業(yè)的生產(chǎn)目標(biāo)確定或bk的取值范圍確定.若yk0，則根據(jù)f=(tylyk)bk=ykbk0，顯然如果仍保持變化后的最優(yōu)基不發(fā)生變化，已不存在使目標(biāo)函數(shù)值不減的可能.因此，對(duì)于此種情況應(yīng)使bkmin iiin+k+t                   in+l|in+k+tin+l0，然后利用對(duì)偶單純形法重新求解，重新求解后的最優(yōu)表中各值均發(fā)生變化，yk減小，yl增加，再根據(jù)前述1）中各種情況進(jìn)行分析.3)當(dāng)yk=0時(shí)，在這種特殊情況下，有時(shí)可不必利用資源替代方法，即可使第k種資源限量減小，并同時(shí)目標(biāo)函數(shù)值不減，由文獻(xiàn)1中定理2可知根據(jù)最小比值原則，選擇xn+k所在列的某一in+k為主元進(jìn)行迭代，使xn+k進(jìn)基，如果迭代后得到基變量xn+k0，則說明第k種資源的可節(jié)省量即為xn+k.說明在實(shí)際中第k種資源可由新的最優(yōu)解所確定的生產(chǎn)方案得到節(jié)省利用，而無需利用另一種資源進(jìn)行替代.3 結(jié) 論利用兩種可替代資源，對(duì)企業(yè)原有最優(yōu)生產(chǎn)方案進(jìn)行調(diào)整分析，使得調(diào)整后稀缺程度相對(duì)較高的資源限量得到減少，同時(shí)稀缺程度相對(duì)較