信號(hào)與系統(tǒng)的

1、第1章 信號(hào)與系統(tǒng)的概述1.1 學(xué)習(xí)要求1、掌握信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念；2、掌握典型的基本信號(hào)、信號(hào)的分類；3、熟練掌握奇異函數(shù)的定義及其性質(zhì)；4、熟練掌握信號(hào)的基本運(yùn)算與信號(hào)分解；5、理解線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述、特性及分析方法1.2 學(xué)習(xí)重點(diǎn)信號(hào)的概念；信號(hào)的運(yùn)算；線性時(shí)不變系統(tǒng)的概念和性質(zhì)；沖激信號(hào)的物理意義以及性質(zhì)。1.3知識(shí)結(jié)構(gòu)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)系統(tǒng)信號(hào)的概念與表示形式信號(hào)的分類典型信號(hào)信號(hào)的運(yùn)算與分解系統(tǒng)的概念與描述系統(tǒng)模型系統(tǒng)分類系統(tǒng)的分析方法激勵(lì)產(chǎn)生1.4內(nèi)容摘要1.4.1信息信號(hào)和系統(tǒng)信息是指存在于客觀世界的一種事物形象，一般泛指消息、情報(bào)、指令、數(shù)據(jù)和信號(hào)等有關(guān)周圍環(huán)境的知識(shí)。消息是

2、指用來(lái)表達(dá)信息的某種客觀對(duì)象，如電報(bào)中的電文、電話中的聲音、電視中的圖像和雷達(dá)探測(cè)的目標(biāo)距離等等都是消息。信號(hào)，是指消息的表現(xiàn)形式，是帶有信息的某種物理量，如電信號(hào)、光信號(hào)和聲信號(hào)等等。信號(hào)代表著消息，消息中又含有信息，因此信號(hào)可以看作是信息的載體。系統(tǒng)是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。系統(tǒng)是由各個(gè)不同單元按照一定的方式組成并完成某種任務(wù)的整體的總稱。1.4.2信號(hào)的分類與描述1、確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定性信號(hào)是對(duì)于指定的某一時(shí)刻，可確定相應(yīng)的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)（有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)除外）。隨機(jī)信號(hào)不能以明確的數(shù)學(xué)表示式表示，只能知道該信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。2、連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)

3、間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)最明顯的特點(diǎn)是自變量在其定義域上除有限個(gè)間斷點(diǎn)外，其余是連續(xù)可變的，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。幅值和時(shí)間都是連續(xù)的信號(hào)，又稱為模擬信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)是指時(shí)間（其定義域?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)集）是離散的，只在某些不連續(xù)的時(shí)刻給出函數(shù)值，在其它時(shí)間沒(méi)有定義的信號(hào)（或稱序列），簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。時(shí)間與幅值都具有離散性的信號(hào)成為數(shù)字信號(hào)。3、實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)用物理方法可實(shí)現(xiàn)的信號(hào)都是時(shí)間的實(shí)函數(shù)，即在各時(shí)刻的函數(shù)值均為實(shí)數(shù)，統(tǒng)稱為實(shí)信號(hào)。復(fù)信號(hào)由實(shí)部和虛部組成，雖然在實(shí)際中不能產(chǎn)生復(fù)信號(hào)，但是為了便于理論分析，有時(shí)采用復(fù)信號(hào)來(lái)代表某些物理量。4、周期信號(hào)與非周期信號(hào)一個(gè)連續(xù)信號(hào)，若對(duì)所有均有，則稱為連續(xù)周期信號(hào)，

4、滿足上式的最小值稱為的周期。當(dāng)時(shí)，變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)。5、能量信號(hào)與功率信號(hào)能量為有限值的信號(hào)稱為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。功率為有限值的信號(hào)稱為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。有些信號(hào)既不屬于能量信號(hào)，也不屬于功率信號(hào)。6、普通信號(hào)與奇異信號(hào)本身包含不連續(xù)點(diǎn),或者其導(dǎo)數(shù)與積分不存在不連續(xù)點(diǎn)的信號(hào)稱為奇異信號(hào)。7、一維信號(hào)與多維信號(hào)一維信號(hào)是由一個(gè)自變量描述的信號(hào)，多維信號(hào)是由多個(gè)自變量描述的信號(hào)。1.4.3 常用典型信號(hào)及其基本特性1、正弦型信號(hào)，式中，A、和分別為正弦信號(hào)的振幅、角頻率和初相位。正弦型信號(hào)是周期信號(hào)，其周期T、頻率f和角頻率之間的關(guān)系為。2、指數(shù)信號(hào)，根據(jù)式中和在復(fù)數(shù)域內(nèi)的不同取

5、值，有以下三種情況：若和均為實(shí)常數(shù)，則為實(shí)指數(shù)信號(hào)；若，則為虛指數(shù)信號(hào)；當(dāng)和均為復(fù)數(shù)時(shí)，為復(fù)指數(shù)信號(hào)3、矩形脈沖與三角脈沖矩形脈沖：三角脈沖： 4、抽樣信號(hào)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)振蕩衰減至0。當(dāng)，。該函數(shù)的另一表示式是辛格函數(shù)，其表示式為。5、種形脈沖信號(hào)（高斯信號(hào)），參數(shù)是當(dāng)由最大值下降為時(shí)所占據(jù)的時(shí)間寬度。1.4.4 奇異信號(hào)及其基本特性1、單位斜變信號(hào) 2、單位階躍信號(hào) 或 3、單位沖激信號(hào)， 具有如下性質(zhì)：（1）抽樣特性： （2）偶函數(shù)性質(zhì)： （3）尺度特性： （4）沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的關(guān)系：， 或 4、沖激偶函數(shù)沖激函數(shù)的微分為具有正、負(fù)極性的一對(duì)沖激（其強(qiáng)度無(wú)窮大），稱作沖激偶函數(shù)，并且以

6、表示。1.4.5信號(hào)的基本運(yùn)算及波形變換1、相加： 2、相乘： 3、時(shí)移：，其中為常數(shù)。若，則的波形沿時(shí)間軸向右移動(dòng)，反之向左移動(dòng)。4、反褶：，將的波形繞縱坐標(biāo)軸翻轉(zhuǎn)。5、尺度變換：，時(shí)表示沿時(shí)間軸壓縮成原來(lái)的倍；時(shí)表示沿時(shí)間軸擴(kuò)展為原來(lái)的倍。 6、微分： 7、積分：8、對(duì)稱：如果信號(hào)滿足若信號(hào)與其反折后的信號(hào)相同，即，則稱此信號(hào)是偶對(duì)稱；如果滿足若信號(hào)與其褶后的信號(hào)只在符號(hào)上不同，即則稱它是奇對(duì)稱。1.4.6信號(hào)的分解1、 直流分量和交流分量設(shè)原信號(hào)為，分解為直流分量與交流分量，則原信號(hào)可表示為 。 2、偶分量和奇分量偶分量的定義為，式中，。， 3、脈沖分量一個(gè)信號(hào)可以近似地分解成沖激脈沖分

7、量之和的形式：。4、實(shí)部分量和虛部分量，式中 ，。1.4.7 系統(tǒng)模型、特性及分類1、系統(tǒng)模型（1）輸入-輸出描述法：著眼于系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系，并不關(guān)心系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況。通常，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)通常是用微分方程來(lái)描述的，而離散時(shí)間系統(tǒng)是用差分方程描述的。（2）狀態(tài)變量描述法：描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的一組獨(dú)立變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。如果系統(tǒng)具有個(gè)狀態(tài)變量，則可將它們看成是矢量的各個(gè)分量，稱為狀態(tài)矢量，并記為 狀態(tài)變量描述法不僅可以給出系統(tǒng)的響應(yīng)，還可提供系統(tǒng)內(nèi)部各變量的情況，便于多輸入-多輸出系統(tǒng)的分析。（3）框圖表示系統(tǒng)模型 名稱框圖符號(hào)輸入輸出關(guān)系加法器數(shù)乘器乘法器延時(shí)器積分器移位器2、系

8、統(tǒng)的分類（1）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入和輸出是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，且其內(nèi)部也未轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)，稱改系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。若系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)都是離散時(shí)間信號(hào)，且其內(nèi)部也未轉(zhuǎn)換為連續(xù)散時(shí)間信號(hào)，稱改系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)。兩者混合組成的系統(tǒng)稱為混合系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，而離散時(shí)間系統(tǒng)則用差分方程來(lái)描述。（2）即時(shí)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)如果系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)僅決定于該時(shí)刻的激勵(lì)，而與它過(guò)去的歷史無(wú)關(guān)，則稱之為即時(shí)系統(tǒng)(或無(wú)記憶系統(tǒng))。全部由無(wú)記憶元件(如電阻)組成的系統(tǒng)是即時(shí)系統(tǒng)。如果系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過(guò)去的歷史有關(guān)，則稱之為記憶系統(tǒng)(或動(dòng)態(tài)系統(tǒng))

9、。含有動(dòng)態(tài)元件(如電容、電感)的系統(tǒng)是記憶系統(tǒng)。（3）集總參數(shù)與分布參數(shù)系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng)僅由集總參數(shù)元件(如、等)所組成。 含有分布參數(shù)元件的系統(tǒng)是分布參數(shù)系統(tǒng)（如傳輸線、波導(dǎo)等）。（4）可逆和不可逆系統(tǒng)如果一個(gè)系統(tǒng)對(duì)任何不同的輸入都能產(chǎn)生不同的輸出，即輸入與輸出是一一對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱為可逆系統(tǒng)。如果一個(gè)系統(tǒng)對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的輸入輸出能產(chǎn)生相同的輸出，則系統(tǒng)是不可逆的，稱為不可逆系統(tǒng)。1.4.8線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1、線性性質(zhì)具有疊加性與均勻性（也稱齊次性）的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。即，如果 ，則。線性系統(tǒng)還具有如下性質(zhì)：（1）微分特性 （2）積分特性。（3）頻率保持性信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)后不會(huì)產(chǎn)生新的

10、頻率分量。2、時(shí)不變性若，則有。3、因果性一個(gè)系統(tǒng)，如果激勵(lì)在時(shí)為零，相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)在時(shí)也恒為零，就稱該系統(tǒng)具有因果性，并且稱這樣的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；否則，為非因果系統(tǒng)。4、穩(wěn)定性如果一個(gè)系統(tǒng)對(duì)于每一個(gè)有界的輸入，其輸出都是有界的，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若其輸出是無(wú)界的，則該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1.4.9線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法概述時(shí)間域方法是直接分析時(shí)間變量的函數(shù)，研究系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性變換域方法是將信號(hào)與系統(tǒng)模型的時(shí)間變量函數(shù)變換成相應(yīng)變換域的某種變量函數(shù)。綜上所述，系統(tǒng)分析的過(guò)程是從實(shí)際物理問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，經(jīng)數(shù)學(xué)解析后再回到物理實(shí)際的過(guò)程。1.5典型例題例1 下列各表示式正確的是（ ）。(

11、a) (b) (c) (d) 答案：（b）分析：可以采用驗(yàn)證法。，得，所以答案b符合例2 。答案：分析：當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)， 。所以，。例3 計(jì)算解：例4 計(jì)算解：例5 積分等于（ ） （a） (b) (c) (d) 答案：（b）分析：考查單位沖激函數(shù)與普通函數(shù)形成及其積分等性質(zhì)。例6 是（ ）運(yùn)算的結(jié)果。 (a) 右移5 (b)左移5 (c) 右移 (d)左移答案：（c）分析：考查對(duì)信號(hào)波形變換的理解。因?yàn)?，所以是?jīng)過(guò)右移得到。例7 畫(huà)出圖1.5.1（a）所示信號(hào)的偶分量與奇分量。解：的波形如圖1.5.1（b）所示。根據(jù)和即可畫(huà)出和的波形，如圖1.5.1（c），（d）所示。 （a） （b） （

12、c） （d）圖1.5.1例8 判斷下列系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性及因果性，并說(shuō)明理由。（1）； (2) 。解：（1）該系統(tǒng)為線性、時(shí)變、非因果系統(tǒng)。因?yàn)?，所以該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。因?yàn)椋栽撓到y(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)，時(shí)刻的輸出與時(shí)刻的輸入有關(guān)，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。（2）該系統(tǒng)為非線性、時(shí)變、因果系統(tǒng)。因?yàn)椋栽撓到y(tǒng)為非線性系統(tǒng)。因?yàn)?，所以該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。改系統(tǒng)為即時(shí)系統(tǒng)，所以為因果系統(tǒng)。1.6習(xí)題全解1.1已知信號(hào)波形如題圖1.1所示，寫(xiě)出信號(hào)表達(dá)式。 (a) (b)題圖1.1解：（a）（b）1.2已知信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，畫(huà)出信號(hào)波形。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1）信號(hào)區(qū)

13、間在1，2之間，振蕩頻率為，周期為1，幅值按趨勢(shì)衰減，波形如題圖1.2-1所示；（2）信號(hào)區(qū)間在-1，1之間，在-1，0區(qū)間呈上升趨勢(shì)，在0，1區(qū)間呈下降趨勢(shì)，波形如題圖1.2-2所示；（3）信號(hào)為正弦信號(hào)經(jīng)時(shí)移的疊加而成，由于每次時(shí)移間隔為半個(gè)周期，所以偶次時(shí)移與奇次時(shí)移的結(jié)果相抵消，結(jié)果如題圖1.2-3 所示；（4）將單位斜變信號(hào)以階梯狀向下平移，結(jié)果如圖1.2-4所示；（5）在時(shí)，在時(shí)，結(jié)果如圖1.2-5 所示；（6）的周期為，結(jié)果如圖1.2-6 所示；題圖1.2-1 題圖1.2-2題圖1.2-3 題圖1.2-4題圖1.2-5 題圖1.2-61.3分別求下列各周期信號(hào)的周期：(1) ；

14、(2) (3) (為正整數(shù)，T為周期)解：（1）因?yàn)椋援?dāng)滿足（k為整數(shù)）時(shí)，即k=1時(shí)，為的周期。同理，的周期為；所以的周期為。（2）因?yàn)椋援?dāng)滿足（k為整數(shù)）時(shí)，即，即k=1時(shí)，為的周期（3）根據(jù)表達(dá)式，可畫(huà)出信號(hào)的波形如題圖1.3所示。題圖1.3從圖中可以看出周期為2T。1.4求下列表示式的函數(shù)值（為常數(shù)）(1) ； (2) (3) ； (4) (5) ； (6) (7) 已知，求解：（1）(2) (3) (4) (5) (6) 上式中為偶函數(shù)，為奇函數(shù)(7) 1.5已知信號(hào)的波形如題圖1.5所示，試畫(huà)出下列各信號(hào)的波形(1)； (2)； (3)題圖1.5解：（1）先將在橫坐標(biāo)軸上向

15、右平衡3，再進(jìn)行壓縮，波形如圖1.5-1所示；（2）過(guò)程及結(jié)果如圖1.5-2所示；（3）過(guò)程及結(jié)果如圖1.5-3所示；題圖1.5-1題圖1.5-2題圖1.5-31.6已知的波形如題圖1.6所示,試畫(huà)出的波形。題圖1.6解：本題有兩種求解方式：解法一：（1）將信號(hào)以縱坐標(biāo)為軸翻褶，得波形;（2）將的波形在橫坐標(biāo)上擴(kuò)伸2倍，得波形;（3）將的波形向右移動(dòng)5，得的波形;過(guò)程如題圖1.6-1所示。圖1.6-1解法二：（1）將信號(hào)以波形向右移動(dòng)5/2，得波形；（2）將波形的在橫坐標(biāo)上擴(kuò)伸2倍，得波形；（3）將的波形以縱坐標(biāo)為軸翻褶，得的波形；過(guò)程如題圖1.6-2所示。圖1.6-21.7求下列函數(shù)的微分和

16、積分（1）；（2）；（3）解：（1）； 因?yàn)?，所以。?）（3） 因?yàn)?，所?.8試證明: 。分析：用兩邊與f(t)的乘積的積分值相等證明，分a>0 、a<0兩種情況。證明：，則；，則綜上所述，1.9粗略畫(huà)出題圖1.7所示各波形的奇、偶分量。 題圖1.9解：根據(jù)信號(hào)的奇、偶分量的定義，先求出，然后根據(jù)和，分別求奇、偶分量。分別如題圖1.9-1和1.9-2. 圖1.9-1圖1.9-21.10試證明因果信號(hào)的奇分量和偶分量之間存在如下關(guān)系式：證明：為因果信號(hào)，則有，其奇、偶分量分別為所以1.11分別求出下列各波形的直流分量：（1）全波整流; （2）升余弦函數(shù)。解：求解信號(hào)波形的直流分量

17、，即為求解信號(hào)的平均值，對(duì)于周期信號(hào)，只需求一個(gè)周期內(nèi)的平均值即可。（1）的周期為，所以其直流分量為： （2）因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)均值為0，所以1.12畫(huà)出下列系統(tǒng)的框圖(1) (2) 解：（1）系統(tǒng)方程兩邊同除以2，得圖1.12-1（2）圖1.12-21.13判斷下列系統(tǒng)是否具有線性、時(shí)不變的和因果性：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) (6) ；(7) ； (8) 解： （1）設(shè)，那么因?yàn)?，所以系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)；，因?yàn)?，所以系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)；由于任意時(shí)刻的輸出只與時(shí)刻的輸入有關(guān)，而與時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān)，所以系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)是非線性、時(shí)變、因果系統(tǒng)。（2）設(shè)，那么因?yàn)椋?/p>

18、所以系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。，因?yàn)?，所以系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。由于任意時(shí)刻的輸出只與時(shí)刻的輸入有關(guān)，而與時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān)，所以系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)是線性、時(shí)變、因果系統(tǒng)。（3）設(shè)，那么因?yàn)椋韵到y(tǒng)為線性系統(tǒng)。，因?yàn)椋韵到y(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。由于任意時(shí)刻的輸出只與時(shí)刻的輸入的微分有關(guān)，而與時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān)，所以系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)是線性、時(shí)不變、因果系統(tǒng)。(4) 設(shè)，那么因?yàn)椋韵到y(tǒng)為非線性系統(tǒng)。，因?yàn)椋韵到y(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。由于任意時(shí)刻的輸出只與時(shí)刻輸入的平方有關(guān)，而與時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān)，所以系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)是非線性、時(shí)不變、因果系統(tǒng)。(5) 設(shè)，那么因?yàn)椋韵到y(tǒng)為線性系統(tǒng)。，因?yàn)椋韵到y(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)在的輸出與時(shí)刻以后的輸入有關(guān)，所以系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)是線性、時(shí)變、非因果系統(tǒng)。(6) 設(shè)，那么因?yàn)?，所以系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。，因?yàn)?，所以系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。因?yàn)橄到y(tǒng)在的輸出與時(shí)刻和時(shí)刻的輸入有關(guān)，所以系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)是線性、時(shí)不變、非因果系統(tǒng)。(7) 設(shè)，那么因?yàn)?，所以系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。，因?yàn)椋韵到y(tǒng)為