圖形設(shè)備系統(tǒng)和應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)根底1、矢量運(yùn)算i矢量和:M(xi, yi,z),V2(X2,y2,z2)第七章圖形變換2)矢量的點(diǎn)積：Vi V2 =(xi X2,yi y2,zi z?)vi v2 =0= y _v20= vi -03矢量長(zhǎng)度：Vi = Vi *V-(XiXiy< yiZi)i/2單位矢量v, v2矢量的夾角： COST =Vi| V24矢量的叉積：Vi V2二XiyiZi= (y,Z2 - 丫2乙，乙2 -乙2捲"丫2 X2yJX2y2Z22、矩陣運(yùn)算由mx n個(gè)數(shù)按一定位置排列的一個(gè)整體，簡(jiǎn)稱mx n矩陣。其中,設(shè)一 m行，n列矩陣A：- 正方陣：m = n -M = i:行向量-N

2、 = i:列向量- 兩個(gè)矩陣相等：行數(shù)、列數(shù)均相等，且對(duì)應(yīng)元素也相等； i矩陣加法：設(shè)B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣a iia 2ia i2a 22 bi2 b22ai na 2 na miamnKA2數(shù)乘矩陣:kakaii2i用數(shù) k乘矩陣kakai222A的每個(gè)元素而得到的矩陣；記為:kakaaij稱為矩陣A的第a2i_amikA 或 Ak;ai2a22am2行第j列元素；ai na2namn|t ka3矩陣的乘法運(yùn)算: 那么：C -A *B 二kakaaii©2iai2a22設(shè) A-(引)3 2, Bbiibi2 I|b2ib22')3ib32二(bij)2 3ai3

3、a23I ai1biiai2b2iai3b3iaiibi2ai2b22ai3b322i biia22b2ia23b3ia2ibiia22b2ia23b3i注：只有前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一矩陣的行數(shù)時(shí)才能相乘;如:4)5)n零矩陣的運(yùn)算：矩陣中所有的元素均為零；Am n °m n = Am n單位矩陣：主對(duì)角線各元素等于1,其余皆為0的矩陣。階單位矩陣通常記作：In，對(duì)于任意矩陣 Am nAm n 丨 n = Am n1I =223-4-31_100一1-4-32231'10011-101-5-3=0101-5-31-1 0=010廠121-164i001I i-164L-12

4、 1001由于B也非奇異,A, B互為逆;A=(aij)m x n的行和列互換而得到的nx m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣B是A的逆。如果上式不存在，那么 A是一個(gè)奇異矩陣。而且 A也是B的逆，即6)逆矩陣：假設(shè)矩陣 A存在 A*AJ =AJA = I ，那么稱A-1為A的逆矩陣; 設(shè)A為一個(gè)n階矩陣，如有n階矩陣B存在，且：A*B=BA = I 個(gè)非奇異矩陣，B是A的逆。如果上式不存在，那么 A是B處于對(duì)稱地位，因此當(dāng) A非奇異時(shí)，7)轉(zhuǎn)置矩陣：- 行列互換：把矩陣- 轉(zhuǎn)置矩陣性質(zhì)：那么說明A是A、，記作AT 。1)(AT) T = A2)(A+B) T = A T + B T3)(aA) T =

5、aA T4)(A B)T = B T A1對(duì)稱矩陣：原矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣; 8)矩陣運(yùn)算的根本性質(zhì)：-1)加法適合交換律與結(jié)合律：A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C-2)數(shù)乘適合分配律和結(jié)合律：a(A+B) = aA+aB;-(aB)a(A B) = (aA) B=A (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A矩陣的乘法適合結(jié)合律及分配律：B)C-C+ B-A + CA(B C) = (A (A+B) C = AC (A+B) = C-24矩陣的乘法不適合交換律：當(dāng)A, B可以相乘，女口 即使A，B均為方陣，(1)(2)=T6 -32| 2 4IL 1-2 -3

6、-6 IL 816 24 T-24 1；0 01-3 -61- 2-0 一A, B不是方陣，那么 般情況下，B, A不可相乘;AB和BA也不相等：如3、齊次坐標(biāo)定義：n+1維向量表示一個(gè) n維向量。女口 n維向量(P1,P2,，Pn)表示為(hP1, hP2,上hPn, h)，其中 h稱為啞坐標(biāo)；1、 h可以取不同的值一?同一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)不是唯一的。如普通坐標(biāo)系下的點(diǎn)(2,3 )變換為齊次坐標(biāo)可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、 普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對(duì)多，由普通坐標(biāo)hi齊次坐標(biāo)由齊次坐標(biāo)十hi普通坐標(biāo)3、 當(dāng)h=1時(shí)產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱為“規(guī)格化坐標(biāo)，因?yàn)榍?/p>

7、n個(gè)坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的n維坐標(biāo)定義(Cont.):-(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為：(xh,yh,h)人=hx, yh = hy,h =0- 由(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線Xh 二 hxyh 二 hyZh = h齊次坐標(biāo)的優(yōu)越性：1將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間上的一個(gè)點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。2. 便于表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例如：(x h, y h, h)，令h等于03. 變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)- 便于變換合成- 便于硬件實(shí)現(xiàn)二、 窗口視圖變換1、用戶域和窗口區(qū)a) 用戶域：程序員用來定義草圖的整個(gè)自然空間(WD)：

8、1) 人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。2) 用戶域是一個(gè)實(shí)數(shù)域，理論上是連續(xù)無限的。b) 窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域(W)1) 窗口區(qū) W小于或等于用戶域 WD2) 小于用戶域的窗口區(qū)W叫做用戶域的子域。3) 窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口等等；4) 窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，在第I層窗口中可再定義第1+1層窗口等等。2、屏幕域和視圖區(qū)a) 屏幕域(DC):設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，是有限的整數(shù)域。如圖形顯示器分辨率為10247681 DC0.10230.767b) 視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域；i. 視圖區(qū)用設(shè)備坐標(biāo)定義在屏幕域中ii. 窗

9、口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。iii. 視圖區(qū)可以有多種類型：圓形、矩形、多邊形等。iv. 視圖區(qū)也可以嵌套。3、屏幕域和視圖區(qū)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換- 設(shè)窗口的四條邊界 WXL,WXR,WYB,WYT- 視圖的四條邊界 VXL,VXR,VYB,VYT那么用戶坐標(biāo)系下的點(diǎn)即窗口內(nèi)的一點(diǎn)Xw,Yw對(duì)應(yīng)屏幕視圖區(qū)中的點(diǎn)Xs,Ys ，其變換公式為：VXR _VXLXs =(Xw WXL )+VXLWXR WXLVYT -VYBYs =(Yw WYB )+VYB、一WYT -WYB- 化簡(jiǎn)為:Xs =a Xw bYs =c Ywd1 0 00 1 00 0 1從變換功能上可把T2D分為四個(gè)子矩陣

10、屏幕域和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換Co nt.-1當(dāng)a -c時(shí)，即x方向的變化與y方向的變化不同時(shí)，視圖中的圖形會(huì)有伸縮變化，圖形 變形。-2當(dāng) a=c=1， b=d=O 那么 Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。思考：前面講的窗口t視圖變換時(shí)，假設(shè)窗口的邊和坐標(biāo)軸平行，如果窗口的邊不和坐標(biāo)軸平行呢？Answer:A.先讓窗口 FGHI轉(zhuǎn)-a角，使它和FG'H'I'重合。B.用式進(jìn)行計(jì)算。圖形的幾何變換:維變換矩陣- 注意：T2D可看作三個(gè)行向量，其中表示x軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 表示y軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 表示原點(diǎn)d :對(duì)圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換ef :對(duì)圖形進(jìn)行平移變換。:對(duì)

11、圖形做投影變換。1g:在處產(chǎn)生一個(gè)滅點(diǎn)。g1h:在x=處產(chǎn)生一個(gè)滅點(diǎn)。hi :對(duì)整體圖形進(jìn)行伸縮變換。#0 0、丁 x* y* 1 =x y 1010b 0 i.假設(shè)i1,那么總體縮?。环衲敲?，總 體放大。平移變換1 00(x* y* 1)=(X y 10 10= (x+Txy+Ty 1)JxTy- 平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀比例變換(縮放變換)s00、(x* y* 1)=(x y 1 0Sy0= (Sx x Sy y 1<00b比例變換(Cont.)- 以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn)- 當(dāng)Sx=Sy=1時(shí)：恒等比例變換- 當(dāng)Sx=Sy>1時(shí)：沿x,y方向等比例放大。

12、- 當(dāng)Sx=Sy<1時(shí)：沿x,y方向等比例縮小- 當(dāng)Sx不等于Sy時(shí)：沿x,y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。對(duì)稱變換X*a dy* 1 )= (x y 1) b eI。00、0 =(ax+by dx+ey 1)1丿對(duì)稱變換(Cont.)- 當(dāng)b=d=0,a=-1,e=1 時(shí)，(x* y* 1)=(-x y 1)- 當(dāng)b=d=0,a=1,e=-1 時(shí)，(x* y* 1)=( x -y1)- 當(dāng)b=d=0,a=e=-1 時(shí)，(x* y* 1)=(-x -y 1)- 當(dāng)b=d=1,a=e=0 時(shí),(x* y* 1)=(y x 1)- 當(dāng)b=d=-1,a=e=0 時(shí)，(x* y* 1)=(-

13、y -x 1):與y軸對(duì)稱的反射變換。:與x軸對(duì)稱的反射變換。 :與原點(diǎn)對(duì)稱的反射變換。與y=x對(duì)稱的反射變換。:與y=-x對(duì)稱的反射變換。旋轉(zhuǎn)變換- 注意：0是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度。x cos：y = ;?sin -x' cos()cost cossin ： sin =xcos)- ysin：y' - :?sin(J ) :?sin ： cos 'cos： sin 丁 - xsin寸 ycos寸cos 日sin日0(x* y* 1 ) = (x y 1-sin Bcos90= (xcos日一 ysin& xsin 日+ycos日 1001丿錯(cuò)切變換x* y* 1 i

14、；hx巾d 0、y 1 b 10 =(x +by dx + y 1)<0 0 1 丿1) 當(dāng)d=0時(shí)，(x* y* 1)=(x+by y 1):圖形的y坐標(biāo)不變；- 當(dāng)b>0:圖形沿+x方向作錯(cuò)切位移。 ABC?A1B1C1D1- 當(dāng)b<0：圖形沿-x方向作錯(cuò)切位移。 ABC?A2B2C2D22) 當(dāng)b=0時(shí)，(x* y* 1)=( x dx+y 1)圖形的x坐標(biāo)不變；當(dāng)d>0:圖形沿+y方向作錯(cuò)切位移。 ABC?A1B1C1D1當(dāng)d<0:圖形沿-y方向作錯(cuò)切位移。 ABC?A2B2C2D23) 當(dāng)b=0且d=0時(shí)，(x* y* 1)=( x+by dx+y 1)

15、:圖形沿x, y兩個(gè)方向作錯(cuò)切位移。錯(cuò)切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。復(fù)合變換- 復(fù)合變換又稱級(jí)聯(lián)變換，指對(duì)圖形做一次以上的幾何變換。- 注意：任何一個(gè)線性變換都可以分解為上述幾類變換。說明：-1)平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀；-2)旋轉(zhuǎn)變換仍保持圖形各局部之間的線性關(guān)系和角度關(guān)系，變換后直線的長(zhǎng)度不變;-3)比例變換可以改變圖形的大小和形狀；-4)錯(cuò)切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形畸變；-5 )拓?fù)洳蛔兊膸缀巫儞Q不改變圖形的連接關(guān)系和平行關(guān)系；- 例1 :復(fù)合平移求：P(x,y)經(jīng)第一次平移變換(Tx1,Ty1)，第二次平移變換(Tx2,Ty

16、2 )后的坐標(biāo)P* (x*, y* )； 解：設(shè)點(diǎn)P(x,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P(x y ' 1)，那么：10 0 "P' (x' y' 1 )=(x y 1 010 =(x y 1 T1Jx1 T y1 1 J經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P x* y* 1)'10 o'P * (x* y* 1 A(x' y' 1010="2Ty2b1 0 0100(x y 1 0 1 0010=(xy 1 Tt1TtJx1 Ty1 1iTx2Ty21丿變換矩陣為 Tt=Tt1?Tt2- 例2:多種復(fù)合組合對(duì)一線段

17、先放大 2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0 。解：設(shè)點(diǎn)(x,y)為線段上的任意一點(diǎn),點(diǎn)(x ' ,y ')為點(diǎn)(x,y)放大后的坐標(biāo)，那么：設(shè)點(diǎn)(x ' ,y ')為點(diǎn)(x ' ,y ')經(jīng)平移后的坐標(biāo)為：x ' ,y ' ；1= x那么x ' ；y ' ；1= x ' ,y ' ,1T2(10,0)=x,y,1S2(2,2)T2(10,0)令：M=S2(2,2)T2(10,0)，貝U M即為組合變換。,y ' ,1T2(10,0)- 例3:旋轉(zhuǎn)變換對(duì)參考點(diǎn)F(xf,yf)

18、做旋轉(zhuǎn)變換。解：-1、把旋轉(zhuǎn)中心F(xf,yf)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，即坐標(biāo)系平移(-xf,-yf)，那么：1(xi yi l)=(x y 1】0f Xf0 010 =(x y 1 T(-Xf -Yf )-Vf 1 丿-2、進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換''cos日sin日0Y2 1 )=(x1 Y1 1J -sin& cos日 0 =(X2< 00 b-將坐標(biāo)系平移回原來的原點(diǎn)：Y2 1T '100(x* y* 1 )=(X2 Y211010=(X2Y2 1T(XfYf )宀Yfb- 因此：f 一100(x* Y* 1 )=(X2 Y21010=(X2Y2 1T(XfYf )Y

19、fb=01°- 例4:任意的反射軸的反射變換任一圖形關(guān)于任意的反射軸y=a+bx的反射變換解：1.將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到°, a處：01-a2. 將反射軸已平移后的直線按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)B角，使之與x軸重合&s 日-sin 日 ° 'R-G = sin 日 cos 日 0< °0 b3. 圖形關(guān)于x軸的反射變換1 0 0'T2= 0 -1 0因此:4.將反射軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0角I。01- 例5:通用固定點(diǎn)縮放平移物體使固定點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合； 對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)縮放；用步驟1的反向平移將物體移回原始位置;- 例6 通用定向縮放比例變換中的比例因

20、子 Sx, Sy只能在x軸方向或y軸方向起作用。實(shí)際圖形變換中, 不僅是在x,y方向變換，往往要求在任意方向進(jìn)行比例變換。通過旋轉(zhuǎn)變換和比例變 換的組合，可以實(shí)現(xiàn)任意方向的比例變換。解：定義比例因子 S1和S2。-1.使S1和S2旋轉(zhuǎn)0角后分別與x軸和y軸重合。-2.進(jìn)行比例變換。-3.使S1和S2旋轉(zhuǎn)-0角，返回原始位置。如：圖a為一單位正方形，對(duì)由0,0和1,1兩點(diǎn)構(gòu)成的對(duì)角線方向?qū)嵤┍壤儞Q1, 2:三維齊次坐標(biāo)x,y,z點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為冷，yh,zh, hXh 二 hx,yh 二 hy,Zh =hz,h = 0變換矩陣標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)'3ii312a13314 '3213

21、22323324a31a32a33a34®1a42a43344 j(x,y, z,1)四、形體的投影變換1、投影變換分類平面幾何投影投影中心與平面間距離有夾角影平面的.'透視投影投影中心與投影 平面間距離無限一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視據(jù)投影根正三側(cè) 正二側(cè) 等軸側(cè) 俯視圏 側(cè)視圖 正視圖2、正平行投影平行投影：投影中心與投影平面之間的距離為無限，只需給出投影方向即可；是透視投影的極限狀態(tài)。 根據(jù)投影線方向與投影平面的夾角，分為兩類：正平行投影與斜平行投影正平行投影：投影方向垂直于投影平面；正平行投影包括：正投影三視圖和正軸側(cè)投影1. 三視圖：三個(gè)投影面和坐標(biāo)軸相互垂直。2. 正軸側(cè)：投

22、影面和坐標(biāo)軸呈一定的關(guān)系。二視圖：主正視圖、側(cè)視圖和俯視圖把三維圖形在三個(gè)方向上所看到的棱線分別投影到三個(gè)坐標(biāo)面上。再經(jīng)過適當(dāng)變換放置到同一平面上。變換矩陣正視圖其中a,b為u、v坐標(biāo)下的值-1俯視圖側(cè)視圖0丿 0001b亠tz0 0 10 00 00 1丿f-100°】0-100(u v w 1 )=x y z 1 '0000f txb ty01J00001000(u v w 1 )=(x y z 1 '0100f +tyb +tz013、斜平行投影：斜平行投影一一投影線與投影平面不垂直的平行投影；投影平面一般取坐標(biāo)平面； 斜等測(cè)投影：投影平面與一坐標(biāo)軸垂直；投影線與投影平面成45°角；與投影平面垂直的線投影后長(zhǎng)度不變；斜二測(cè)投影：投影平面與一坐標(biāo)軸垂直；投影線與該軸夾角成arcctg1/2 角；該軸軸向變形系數(shù)為？。即與投影平面垂直的線投影后長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?、透視投影透視投影是一種中心投