平面向量與三角函數(shù)教(學(xué))案

1、第十講平面向量與其應(yīng)用例 1: ABC中，點(diǎn) D在邊 AB上，CD平分/ ACB假設(shè) CB= a, C b, | a| = 1, | b| = 2,那么 CD 例題2.如圖，在直角梯形 ABCD中, AB AD, AD DC 1,AB 3，動(dòng)點(diǎn)P在 BCD運(yùn)動(dòng)，含邊界，設(shè)AP AB ADR，那么的取值圍是例3設(shè)P是ABC 一點(diǎn)，滿足AP x 2y AB y 1 AC x, y R .那么x的取值圍是.pqp q.AABC中，過重心G的直線交邊 AB于P，交邊AC于Q，設(shè)APQ的面積為S , AabC的面積為S2 , AP pPB , AQ qQC，那么iii的取值圍是S2例1.在八ABC中，

2、B 60 , AC J3,那么AB 2BC的最大值為 .例2.在銳角 ABC中，tanA = t 1, tanB = t 1,那么t的取值圍是 .例3.在厶ABC中，設(shè)AD為BC邊上的高，且 AD BC, b, c分別表示角B, C所對(duì)的邊長(zhǎng)，那么b £ c b的取值圍是.例4.在等邊色ABC中，點(diǎn)P在線段AB上，滿足APAB,假設(shè)CP AB PA PB,那么實(shí)數(shù) 的值是.例5.在入ABC中有如下結(jié)論：“假設(shè)點(diǎn) M為人ABC的重心，那么MA MB MC 0 ",設(shè)a, b,3 _c分別為 入ABC的角A, B, C的對(duì)邊，點(diǎn) M為幾ABC的重心.如果aMA bM cMC 0

3、 那3，么角A的大小為 ;假設(shè)a = 3，那么幾ABC的面積為.例6點(diǎn) 0ABC的外心，AB 3, AC 2,假設(shè) AO xAB yAC , x+ 2y 1,那么 cosB .例7.如圖，平面有三個(gè)向量 OA,OB,OC，其中0A與0B的夾角為120° OA與OC的夾角為150°且 oA QB；1, oC 2J3OC OA OB( , R)，那么例8.在口ABCD中，AB 5, AD 4,點(diǎn)P在厶BCD包括周界，設(shè)AP xAB yAD，那么一切點(diǎn)x, y形成區(qū)域的面積為例9.如圖，在 ABC中，AD丄 AB, BC J3 BD , | AD | = 1,那么 AC AD =

4、 例10. 在厶ABC中，AB 3, O ABC的外心，且 OA BC 1,那么AC 例11.平面上三點(diǎn)代B,C，滿足|AB| 2,| BC | 3|CA| 4,那么 AB BC 2BC CA 3CA AB 例12.直線丨與函數(shù)y sin x(x0,)的圖像相切于點(diǎn) A，切l(wèi)/OP , O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為圖像的極值點(diǎn)，丨于x軸交于B點(diǎn)，過切點(diǎn)A做x軸的垂線，垂足為C，那么BA BC 例13. 在ABC中，滿足：AB AC , M是BC中點(diǎn)1假設(shè)|AB| |AC|，求向量AB 2AC與向量2AB AC的夾角的余弦值;2假設(shè)0是線段AM上任意一點(diǎn)，且|廂| |屁|、2，求OAOB OCOA的最小值

5、;3假設(shè)點(diǎn)P是BC邊上的一點(diǎn)，且 AP AC 2AP AB 2 ,|AP| 2，求|AB AC AP |的最小值.13.如圖，在直角ABC中，BC a，假設(shè)長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問PQ與BC的夾角取何值時(shí)BP CQ的值最大？并求出這個(gè)最大值參考答案:1.解析：|5a b|2=(5ab)2 2=25a10a b + b ,2512 10 131 2(-)3249,2故 |5a b1 7.2.解析：a= 2,1，b=一1, m，c= 一 1,2，a + b=1,m 1,又a+ b/ c1 * *2+ m 1 = 0, m=1.3.解析：以0為原點(diǎn),OC, 0B所在的直線為 X軸和y軸建立

6、如下列圖的坐標(biāo)系*由 0A=2 , AOx 1200，所以 A2cos1200,2sin120°，即A-1, ,3 , 易求 B 0,-1 , C3,0，設(shè)OA Xi OB 入2 OC,即-1,J3 入i 0,-1入2 3,0 ,-1 3X2 X 一爲(wèi)>/3- x 入22 3a 3b !c.101034解析：設(shè)向量 a與b的夾角9,有cos 9Ta?b1 2 2 ( 2) =|?|b 嚴(yán)百右而6d(2a b) (3b a) 7a b 3b2 2a217a在 b 方向上的投影=I a I cos 9= 5 x一 =-10 25解析:令cab，那么(6,5)(2, 4)(1,3).

7、(6,5)(2,43 ),c2326 一H23 -1-21 -,2 ,- pa 2ba17ba15b.43522176解析:由題意，a,b 1，且a與b的夾角為1200 ,所以，a b )ab|cos120°-2丁 c2cc(2a b) (2a b) 4a24a bb2 7c 、7，同理可得d v13 .為c與d的夾角，那么n17J91cos & =_ =2/7./131827解析：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為x, y，/ AD是邊BC上的高， AD丄BC , AD丄BC又 C、B、D 三點(diǎn)共線， BC / BD又 AD =x 2, y 1，BC = 一 6, 3，BD =x 3, y 2

8、6(x 2) 3(y 1) 06(y 2) 3(x 3)0以PA、PE為邊作平行四邊形 由正六邊形的性質(zhì)可知| PO| 以PB、PD為邊作平行四邊形 由正六邊形的性質(zhì)可知| PF |PAOE，那么 PO PA PE , | PA | b，且0點(diǎn)在PC上，PBFD，那么 PF PB PD，3b，且F點(diǎn)在PC的延長(zhǎng)線上9解方程組，得x=97 ,y=55點(diǎn) D的坐標(biāo)為97? 丨，AD的坐標(biāo)為-1, ? 55558解析:不妨設(shè)C (m, n)，那么ac 1m,2n ,a b (3, 1)，對(duì)于 c a / b,1-1-77那么有3(1 m)2(2n)；又ca b,那么有3m n 0,那么有m, n93

9、9解析：所求五個(gè)力的合力為PAPB PCPDPE，如下列圖,由正六邊形的性質(zhì)還可求得 | PC | 2b故由向量的加法可知所求五個(gè)力的合力的大小為b 2b 3b 6b，方向與PC的方向一樣.e i + 3e2= ei 4e2,10.解析：BD = CD CB = 2 e 1 e2T A、B、D 三點(diǎn)共線，.存在實(shí)數(shù)人使 AB = XBD ,. 2 e 1 + ke2=入e 1 4e2于是可得 2，解得k = 8.k 411.證明：設(shè) OA = a, OB = b, OC = c,那么 BC = c b, CA = a c, AB = b a./ |OA|2 + |BC |2= |OB |2+

10、| CA |2= |OC |2 + |AB |2 a2+ c b2= b2+ a c2= c2+ b a2即 c b = a c= b a,故 AB - OC = b ac = b c a c = 0.BC QA = c b a= c a b a= 0, AB _L OC , BC _L OA , 點(diǎn)O是/ABC的垂心.12.解析:設(shè)ABACb , AP1a , AQ2b，因?yàn)镚是厶ABC的重心,故AG1 (一3(ab),131a因?yàn)镻G與PQ共線，所以PQ又PGAGAPAQAP2bPG，即(11)1a (32)b 0,又a與b不共線，所以(31)，消去，得11)那么S11),|AP|IAQ|sinBAC| AB| | AC | sin BAC21_3?1(13)2 2)當(dāng)P與B重合時(shí)，11,當(dāng)P位于AB中點(diǎn)時(shí),，§S24 19,2)S 4 1故S 9,2.但因?yàn)镻與B不能重合，故13.解析:*AB AC, AB AC0.TAP AQ,