培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思的途徑和方法

1、培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思的途徑和方法 摘要 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不僅僅指數(shù)學(xué)知識(shí)、能力等智力因素，也同時(shí)包括情感、態(tài)度、價(jià)值觀等非智力因素。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思性評(píng)價(jià)，切實(shí)促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。本文從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思及其教育價(jià)值、培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)反思的途徑和方法等方面進(jìn)行探討。關(guān)鍵詞 學(xué)習(xí)反思 教育功能 途徑方法義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展，也就是要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。數(shù)學(xué)知識(shí)和技能是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要表現(xiàn)在思維活動(dòng)中。學(xué)習(xí)反思作為一種獨(dú)特的思維活動(dòng)，對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)有著重要的作用，因此，學(xué)習(xí)的反思能力不僅是學(xué)生素養(yǎng)的

2、重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)所不可缺少的。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思性評(píng)價(jià)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。在學(xué)生身心各方面處于發(fā)展和初步定格的初中階段，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思能力是一件必要而有意義的工作。一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思及其教育價(jià)值數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，反思?xì)v來具有重要的地位和作用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思是學(xué)生在完成數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)后，對(duì)自身的認(rèn)知活動(dòng)過程，以及活動(dòng)過程中所涉及的有關(guān)事物的學(xué)習(xí)特征的分析、評(píng)價(jià)和自我調(diào)節(jié)的過程。它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式之一。荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾教授指出“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，“通過反思才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化”。美籍

3、數(shù)學(xué)教育家波利亞也說，“如果沒有了反思，他們就錯(cuò)過了解題的一次重要而有效益的方面”，“通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，學(xué)生們可以鞏固他們的解題能力”。在教學(xué)中，我們常?？吹接胁簧賹W(xué)生做完一道題后不假思索，急于做其余的題目，以為這樣能力就得到提高了。玻利亞在怎樣解題中把解題過程概括為“審題探索表達(dá)回顧”四個(gè)環(huán)節(jié)，明確指出解題回顧是解題過程的最后一個(gè)環(huán)節(jié)。然而在實(shí)際教學(xué)中師生都重視讀題審題、分析題意，如何去探索、尋找解題思路，卻常常忽略了“解題回顧”這個(gè)環(huán)節(jié)，發(fā)揮不了“解題回顧”這個(gè)反思活動(dòng)的教育功能。其實(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決并不等于會(huì)解這道題目，而應(yīng)該更深

4、一步去挖掘題目中隱含的條件，命題的目的，所涉及的知識(shí)要點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步探討解題過程的思維方式是否正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn)?解決問題的策略是否巧妙，還有其他的解法嗎?本題的解法和結(jié)論能否進(jìn)一步推廣?但在現(xiàn)實(shí)的教育實(shí)踐中，對(duì)這一重要的反思環(huán)節(jié)，還未得到足夠的重視，未能形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思習(xí)慣。對(duì)孔夫子的名言“學(xué)而時(shí)習(xí)之”中的“習(xí)”，有人解釋為復(fù)習(xí)，有人解釋為實(shí)踐，其實(shí)我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，解釋為“反思”可能更有一番新意。蘇格拉底說過：“沒有反省的人生是沒有意義的人生”，我們是否也可以說，沒有反思的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是沒有意義的學(xué)習(xí)呢?當(dāng)今社會(huì)，人不僅要努力學(xué)習(xí)，而且要善于學(xué)習(xí)，才能取得學(xué)習(xí)的成功。學(xué)會(huì)反

5、思，才能對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方法進(jìn)行監(jiān)控，才能為自己的學(xué)習(xí)效果承擔(dān)責(zé)任。實(shí)現(xiàn)新課改精神的關(guān)鍵是幫助學(xué)生形成正確的學(xué)習(xí)方式。在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中第三學(xué)段(7一9年級(jí))的問題解決部分明確提出：“通過對(duì)解決問題過程的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)”，這表明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思問題已經(jīng)得到重視。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，是學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力，是學(xué)生進(jìn)行高水平、高效率、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)認(rèn)知所必不可少的環(huán)節(jié)和本領(lǐng)。它得益于教師的精心培育，發(fā)展和成熟于學(xué)生的不斷實(shí)踐之中，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)提高和終身發(fā)展具有特別重要的意義。初中是九年制義務(wù)教育的最后階段，又處于整個(gè)基礎(chǔ)教育的中段，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)方式

6、都是在這個(gè)階段逐漸形成并具備持久的影響力，因而在這一階段培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思習(xí)慣有著極其重要的作用和意義。學(xué)習(xí)的反思具有如下教育價(jià)值：1、情感、態(tài)度、價(jià)值觀方面：諸如培養(yǎng)實(shí)事求是的態(tài)度和理性精神；良好的反饋信息、謹(jǐn)慎，細(xì)心等習(xí)慣；激發(fā)好奇心和求知欲；自我反思性評(píng)價(jià)。2、常規(guī)數(shù)學(xué)思維能力方面：諸如歸納、猜想和合情推理；數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)與數(shù)學(xué)洞察；理性思維與構(gòu)建體系。3、數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力方面：諸如提出數(shù)學(xué)問題和質(zhì)疑能力；建立新數(shù)學(xué)模型并用于實(shí)踐的能力；發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力；推廣現(xiàn)有數(shù)學(xué)結(jié)論的能力；將不同領(lǐng)域的知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)的能力。二數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思的途徑與方法（一）在例題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生反思反思之一：整理思維過

7、程學(xué)生解決問題時(shí)，或多或少都會(huì)帶有一定的“嘗試錯(cuò)誤”，再加上缺乏對(duì)解題過程的反思，沒有對(duì)解題過程進(jìn)行提煉和概括，為完成任務(wù)而解題，導(dǎo)致解題質(zhì)量不高，效率低下。解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路，但是不同的解題指導(dǎo)思想會(huì)有不同的解題效果。養(yǎng)成對(duì)自己的解題進(jìn)行反思的習(xí)慣是具有正確的解題指導(dǎo)思想的體現(xiàn)。為提高解題質(zhì)量和效率，教師應(yīng)幫助學(xué)生整理思維過程，確定解題關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生回顧和整理解題思路，概括解題思路，使解題的過程清晰，思維條理化、精確化和概括化。 例 在教學(xué)“一件工作要在計(jì)劃時(shí)間內(nèi)完成，若甲隊(duì)獨(dú)做，可如期完成；若乙隊(duì)獨(dú)做，就要超期3天完成?，F(xiàn)由甲乙兩隊(duì)合作兩天后，甲有任務(wù)，剩下的由乙去做，剛好在規(guī)定時(shí)間

8、內(nèi)完工。求這件工作計(jì)劃的天數(shù)?！边@一問題時(shí)，教師可通過學(xué)生非常熟悉的基本數(shù)量關(guān)系：工作效率工作時(shí)間=工作總量入手。讓學(xué)生在交流的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用表格形式分析解題思路，并列出方程，然后讓學(xué)生反思解題過程，形成兩類工程問題：一類是工作量具體的工程問題，一類是工作量不具體的工程問題。對(duì)于前者，通常在工作量、工作效率和工作時(shí)間三個(gè)量中，一個(gè)量是已知，一個(gè)量為所求，一般找第三個(gè)量的相等關(guān)系。而對(duì)于后者，工作效率抽象，工作量零散，找相等關(guān)系會(huì)比較困難。這里可提示學(xué)生，從列表格入手、并引導(dǎo)學(xué)生從完成這件工作的時(shí)間順序找相等關(guān)系；從參與者各自完成的工作量找相等關(guān)系；由于甲的加入可如期完工，若乙獨(dú)做，要超期

9、3天，說明了什么?若設(shè)此件工作所需天數(shù)為x，對(duì)于每一種情況列出的方程分別為：（1）2（）=1（2）=1（3）（）=1 通過揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生從不同角度、不同層次上提出解決問題的多種方法，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的求異思維，教師也為學(xué)生學(xué)會(huì)反思做了表率，長期的潛移默化，學(xué)生必形成良好的反思習(xí)慣。反思之二：剖析問題本質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生在解題后對(duì)問題的本質(zhì)進(jìn)行重新剖析，再將思維由個(gè)別推向一般的過程使問題逐漸深化，使思維的抽象程度不斷提高。解決問題后再重新剖析其實(shí)質(zhì)，可以使學(xué)生比較容易地抓住問題的實(shí)質(zhì)，在解決一個(gè)或幾個(gè)問題之后，啟發(fā)學(xué)生反思，從中尋找他們之間的內(nèi)在聯(lián)系，探索一般規(guī)律，可使問題逐漸深化與完善。下例

10、是我縣初三第一次模擬考中的一個(gè)題目：如圖1，直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米、P、Q兩地到l的距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水?，F(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（ ）。MMM.QP.l.QP.l(A).QP.l.QP.l.QP.lM(B)(D)(C)圖1這個(gè)題目的難度不大，卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生選擇的都是選項(xiàng)B，究其原因這個(gè)題目源于課堂一個(gè)常見的題目，再加之復(fù)習(xí)階段超課時(shí)的反復(fù)強(qiáng)化，在學(xué)生的頭腦中已經(jīng)形成思維定勢：利用對(duì)稱求解。導(dǎo)致在考場上出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象。此后筆者在試卷分析中通過下列變式，引導(dǎo)學(xué)生在解題后反思。變式1：如圖1

11、，直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米、P、Q兩地到l的距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，并從點(diǎn)M直接向P、Q兩地供水。則鋪設(shè)的管道最短的是（ ）。（選項(xiàng)同上）變式2：如圖1，直線l是一條河，P、Q兩地相距10千米、P、Q兩地到l的距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水。則鋪設(shè)的管道最短的是（ ）。（選項(xiàng)同上） 通過這一題組變式，使學(xué)生理解了解決此類問題要針對(duì)具體的情景、數(shù)據(jù)分析解決，不能簡單套用，機(jī)械模仿。事實(shí)上這個(gè)題目還可以進(jìn)一步進(jìn)行探討，真正培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。（二）在探討學(xué)法中引導(dǎo)學(xué)生反

12、思 達(dá)爾文指出：“最有價(jià)值的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí)?！睂W(xué)生只有掌握最佳的學(xué)習(xí)方法，才能進(jìn)行創(chuàng)新性學(xué)習(xí)，而教師的引導(dǎo)則是至關(guān)重要的。初中生由于年齡特征及數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的限制，往往表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不求甚解，不善于對(duì)自己的思路進(jìn)行檢查，解題時(shí)常常是一錯(cuò)到底；不對(duì)自己的思考過程進(jìn)行反思，不會(huì)分析、評(píng)價(jià)和判斷自己的思考方法的優(yōu)劣，也不自覺地找出和糾正自己的錯(cuò)誤；不能從自己的思考過程中提煉出其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，不能發(fā)現(xiàn)其中的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，導(dǎo)致自己的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性差。因此，為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，教師應(yīng)該有意識(shí)的進(jìn)行反思技能的講解。 在解決問題的過程中，教

13、師還可以采用出聲想思維的方法暴露自己的思維過程，解完題后帶領(lǐng)學(xué)生一起分析自己思維過程中走過哪些彎路，遇到哪些困難，是什么原因造成的，有什么規(guī)律可吸收等等，這其實(shí)是獲取元認(rèn)知知識(shí)的過程。 學(xué)生解決問題后，教師要帶領(lǐng)學(xué)生一起整理學(xué)生的思維過程，確定解題關(guān)鍵，促使學(xué)生思維條理化、精確化、概括化；引導(dǎo)學(xué)生分析自己具體方法中包含的數(shù)學(xué)基本思想方法，對(duì)具體方法進(jìn)行再加工，從中提煉出應(yīng)用范圍更廣的一般數(shù)學(xué)思想方法；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新剖析，抓住問題的本質(zhì)，并努力將問題推廣到更一般的情形；給出問題的幾種解法，引導(dǎo)學(xué)生分析自己解題方法的優(yōu)劣，優(yōu)化學(xué)生的解題過程，鼓勵(lì)學(xué)生尋找最佳方案等。比如學(xué)習(xí)四邊形時(shí)，

14、涉及到圖形的性質(zhì)和判定方法較多，學(xué)生在應(yīng)用中經(jīng)常發(fā)生張冠李戴。為了解決這類問題，我們可以從學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)開始，將所有圖形的性質(zhì)都用表格按邊、角、對(duì)角線及對(duì)稱性進(jìn)行分類歸納總結(jié)，而將判定方法從特殊到一般構(gòu)建發(fā)展結(jié)構(gòu)圖，并在以后的每堂課前多次重復(fù)再現(xiàn)，自至所有的圖形。實(shí)踐證明，不論從什么角度，處在怎樣的環(huán)境下，只要涉及這方面內(nèi)容學(xué)生的反應(yīng)都很敏感，而且在梯形的學(xué)習(xí)中，通過反思學(xué)生自己就可以將等腰梯形的性質(zhì)和判定納入結(jié)構(gòu)。（三）在訓(xùn)練中積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)反思1、對(duì)當(dāng)天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的反思 在學(xué)完當(dāng)天所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生可以進(jìn)行如下的一些反思活動(dòng)：今天學(xué)了哪些知識(shí)點(diǎn)?我是否都理解了

15、?其中重點(diǎn)是什么?我能否將今天所學(xué)的內(nèi)容組織起來?是在哪些數(shù)學(xué)思想和方法的指引下我們得到這些數(shù)學(xué)知識(shí)的?這些數(shù)學(xué)思想和方法在以前哪些地方遇到過，它們是怎樣起引導(dǎo)作用的?這些數(shù)學(xué)知識(shí)是怎樣產(chǎn)生的?它們會(huì)起到什么作用?它們與我以前所學(xué)的什么數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些本質(zhì)聯(lián)系等等。并將反思的成果及時(shí)記錄在數(shù)學(xué)日記本上，與同學(xué)交流。 例如：學(xué)習(xí)了梯形這一課后，教師可以安排學(xué)生進(jìn)行這樣的反思：今天我們學(xué)了梯形的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合梯形面積公式，你知這個(gè)公式是怎樣發(fā)現(xiàn)的。讓學(xué)生反思分割拼補(bǔ)思想和等積變換方法，進(jìn)一步揭示梯形面積公式與其他面積公式的聯(lián)系，反思當(dāng)b=0時(shí)，就得到三角形面積公式。當(dāng)a=b時(shí)，就能得到平行四邊形的面

16、積公式，所以矩形、菱形、正方形的面積公式也是梯形面積公式的特例，如下圖所示：這樣的反思既強(qiáng)化了學(xué)習(xí)結(jié)果，又深化了學(xué)習(xí)過程，既讓學(xué)生“知其然”，又讓學(xué)生“知其所以然”。既使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程得到優(yōu)化，又進(jìn)行了學(xué)法總結(jié)，同時(shí)也培養(yǎng)了思維能力。2、進(jìn)行階段性學(xué)習(xí)反思 學(xué)生在學(xué)完一單元或在期中、期末時(shí)，應(yīng)該進(jìn)行一個(gè)階段性的反思，也就是，學(xué)生應(yīng)該對(duì)自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維方法、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)目標(biāo)和計(jì)劃等進(jìn)行自我認(rèn)知和評(píng)價(jià)。比如思考這一階段或這一學(xué)期我學(xué)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)，其中哪些是重點(diǎn)內(nèi)容，它們的層次如何，這些知識(shí)我掌握得怎樣，我能否做個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖；這一階段學(xué)習(xí)了哪些重要的數(shù)學(xué)思想和方法，這些思想和方法有哪些其他的作用；我有沒有完成自己所定的階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)劃，有沒有達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)；我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法是否能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，如果不能，我應(yīng)該做哪些調(diào)整等。（四）在學(xué)習(xí)策略中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我認(rèn)識(shí) 在學(xué)生完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)后，可以反思自己在數(shù)學(xué)上，哪些是自己的強(qiáng)項(xiàng)，我是怎么能做到學(xué)好它的，哪些是弱項(xiàng)，我是因?yàn)槭裁丛驔]有學(xué)好它，我接下來應(yīng)該做哪些方面的努力；反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的正確性和自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)劃的可行性，并進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化；總結(jié)一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略、數(shù)學(xué)解題策略等等。隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的逐漸積累，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的逐漸豐富，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思水平也在不斷提高。近幾年的