四邊形輔助線常用做法

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案四邊形常用的輔助線做法作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等 于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目 的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度,得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。 三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可 以得到全等形，這時(shí)

2、輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心” 和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四：造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造 兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一 線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)。” 五：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積)，往往作底或高為輔助線， 而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，

3、對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。添加輔助線解特殊四邊形題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法 . 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法 平行四邊形是最常見(jiàn)的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線 構(gòu)造平行四邊形.平行四邊形中常用輔助線的添法平

4、行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助 線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題 轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：(1)連對(duì)角線或平移對(duì)角線：(2)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線(4)連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等1 .利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1,已知點(diǎn)O是

5、平行四邊形 ABCM對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形 OCD自平行四邊形 求證:OE與AD互相平分.2 .利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例 2 如圖 2,在4ABC中，E、F 為 AB上兩點(diǎn)，AE=BF ED/AC, FG/AC 交 BC分別為 D, G.求證：ED+FG=AC. 分析：要證明ED+FG=AC0為DE/AC,可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作EH/CD交AC于H得平行四邊形，得ED=HC然后根據(jù) 三角形全等，證明FG=AH.3 .利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3,已知 AD是 ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求證BF=AC.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作

6、法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問(wèn)題.例4如圖5,在 ABC中，/ ACB=90 , / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E是AB上一點(diǎn)，且 AE=AC EF/BC 交AD于點(diǎn)F,求證：四邊形 CDEF是菱形.例5如圖6,四邊形ABC皿菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證 EF+BF的最小值等 于DE長(zhǎng).CA E B文檔大全圖6說(shuō)明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的不是很多，常見(jiàn)的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線.與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型題，一般通過(guò)作輔助線

7、構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問(wèn)題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6 如圖7,已知矩形 ABCDJ一點(diǎn)，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的長(zhǎng).圖7說(shuō)明：本題主要是借助矩形的四個(gè)角都是直角，通過(guò)作平行線構(gòu)造四個(gè)小矩形，然后根據(jù)對(duì)角線得到直角 三角形，利用勾股定理找到PD與PA PB PC之間的關(guān)系，進(jìn)而求到 PD的長(zhǎng).四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問(wèn)題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問(wèn)題的常用輔助線1例

8、7如圖8,過(guò)正方形 ABCM頂點(diǎn)B作BE/AC,且 AE=AC又CF/AE.求證：/ BCF=2 / AEB.通過(guò)連接正方形的對(duì)角線構(gòu)造正說(shuō)明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì) 方形AHBO進(jìn)一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問(wèn)題與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的 .主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和 特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（ 3）作一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和 平行四邊形；（4）延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例 8 已知，如圖 9,在梯形 ABC邛,AD/BC, AB=AC

9、/ BAC=90 , BD=BC BD交 AC于點(diǎn) 0.求證:CO=CD.圖9說(shuō)明：在證明線段相等時(shí)，一般利用等角對(duì)等邊來(lái)證明，本題作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形,進(jìn)而根據(jù)直角三角形知識(shí)解決 .例9如圖10,在等腰梯形 ABC邛,AD/BC, ACL BD, AD+BC=10 DH BC于E.求DE的長(zhǎng).分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過(guò)平移一條對(duì)角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決.E C圖10和中位線有關(guān)輔助線的作法例10如圖11,在四邊形 ABCM, AC于BD交于點(diǎn)0, AC=BD E、F分別是AR CD中點(diǎn)，EF分別交AC BD于點(diǎn) H G.求證：OG=O

10、H.梯形的輔助線口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn),細(xì)心連上中位線二 方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。|通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角 形、平行四邊形。AD4 F pbZEic 8 G F 片 c平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為 三角形、平行四邊形。BB 正 AD延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三 角形。E b/1 BC作舒，轉(zhuǎn)化為直角二 角形和矩形。bzHc E F中位線與腰中點(diǎn)連 線。C、FB ClcC常線 一的它四三識(shí)通適助形歸四

11、題形 中助法是殊豚行豚知缶加輔梯化行問(wèn)角形輔添形特邊平 形綜添的將題平形三 梯用的梯種四是邊角的過(guò)當(dāng)線問(wèn)為邊或問(wèn)題來(lái)解決。輔助線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3)梯形內(nèi)平移兩腰(4)延長(zhǎng)兩腰(5)過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高(6)平移對(duì)角線(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。(8)過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。(9)作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋梁, 將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。(一)、平移1、平移一腰：例 1.如圖所示，

12、在直角梯形 ABCM, / A= 90 , AB/ DC AD- 15, AB= 16, BC= 17.求 CD的長(zhǎng).例2如圖，梯形 ABCM上底AB=3,下底CD=8,月AD=4求另一腰BC的取值范圍。D 川2、平移兩腰：例3如圖，在梯形 ABC邛,AD/BC, / B+ Z C=90 , AD=1, BC=3, E、F分別是AD. BC的中點(diǎn)，連接 EF, 求EF的長(zhǎng)。B G F H C3、平移對(duì)角線:例 4、已知：梯形 ABCM, AD/BC, AD=1, BC=4 BD=3 AC=4,求才形 ABCD勺面積.BHC E例 5 如圖，在等腰梯形 ABCD43, AD/BC, AD=3 B

13、C=7, BD=5J2 ,求證：ACL BD例 6 如圖，在梯形 ABCD43, AD/BC, AC=15cmg BD=20cm 高 DH=12crp 求梯形 ABCM面積。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7 如圖，在梯形 ABCD43, AD/BC, / B=50 , / C=80 , AD=2 BC=5,求 CD的長(zhǎng)。（三）、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 9 如圖 6,在直角梯形 ABCD43, AD/BC, AB AD, BC=CD BE, CD于點(diǎn) E,求證：AD=DE（四）、作梯形的局1、作一條高例10如圖，在直角梯形 ABCD, AB/

14、DC, /ABC=90 ,AB=2DC對(duì)角線 AC BD,垂足為F,過(guò)點(diǎn)F作EF/AB , 交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例 11、在等腰梯形 ABC邛,AD/BC, AB=CD / ABC=60 , AD=3cm BC=5cm求：（1）腰AB的長(zhǎng)；（2）梯形ABCD勺面積.例12如圖，在梯形 ABCD43, AD為上底，ABCD求證：BDAC 證：作 AH BC于E,彳DH BC于F,則易知 AE=DF（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例 13 如圖，在梯形 ABCD43, AB/DC,。是 BC的中點(diǎn)，/ AOD=90 ,求證：AB+ CD=

15、AD2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。1EF = (BC - AD)例14如圖，在梯形 ABCD43,AD/BC,E、F分別是BDAC的中點(diǎn)，求證：(1)EF/AD;(2)23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例 15、在梯形 ABCD43, AD/ BC, / BAD=900 E 是 DC上的中點(diǎn)，連接 AE和 BE,求/ AEB=2Z CBE例16、已知：如圖，在梯形 ABC邛，AD/BC, AB BC, E是CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線段 AE和BE之間有怎樣的 大小關(guān)系？點(diǎn)例17、已知：梯形 ABCD, AD/BC, E為DC中點(diǎn)，EF, AB于F AB=3cmg EF=5cmr求梯形 ABCD勺面積.【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1 .若等腰梯形的銳角是 60。，它的兩底分別為 11cm, 35cm,則它的腰長(zhǎng)為 cm.2 .如圖所示，已知等腰梯形 ABCD, AD/ BC, / B= 60 , AD= 2, BC= 8,則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（）A. 19B. 20C.21D. 223